傾きが√3で円C:x^2+y^2=1と二つの共有点をもちその線分の長さが
√2であるような直線を求めよ。という問題です。
途中の問題がありましたがこの部分がわからなかったので
ほかは割愛しました。足りない条件があったらすいません・・・

あと・・・x^2+y^2-2tx-2(1-t)y=0がある。
tが実数全体を動くときのこの円の中心の軌跡とこの円の通りえない円全体の集合を
求めよという問題です。わかりやすくよろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

[問1・答1]


2つの交点は傾き√3の直線上にあるので、x座標が異なることに注意します。
このx座標の差は、2点間の距離が√2であることより、
√2 * 1 / √{1^2+(√3)^2} = 1/√2
と計算できます。(x座標の差が1/√2であることと、線分の長さに関する条件が同値であることに注意)
求める直線の式をy=√3x+cとおくと、交点の座標に関して
x^2+y^2=1
y=√3x+c
が成り立ちますので、代入して整理すると
4x^2 + 2c√3x + c^2-1 = 0
x^2 + (c√3/2)x + (c^2-1)/4 = 0
が分かります。
この方程式が2つの実数解を持ち、その差が1/√2であればいいのですから、
(解の和)^2 - 4*(解の積) = (1/√2)^2 = 1/2
が成り立てばOKです。解と係数の関係より、この式は
(-c√3/2)^2 - (c^2-1) = 1/2
となります。整理してc^2=2、つまりc=±√2を得ます。
従って、求める方程式はy=√3x±√2となります。

[問1・答2]
円の中心から、求める直線に下ろした垂線の長さを計算します。
2つの交点と円の中心、を頂点とする三角形は、各辺の長さが1,1,√2であることが分かっているので、
この垂線の長さは簡単に計算できて、1/√2となります。
また、この垂線は求める直線と直交しますので、傾きは-1/(√3) = -1/√3となります。
この直線上の点で、原点からの距離が1/√2であるものの座標は、
x^2+y^2 = (1/√2)^2 = 1/2
y = -(1/√3)x
を連立して解けば求まり、結果は(√6/4, -√2/4), (-√6/4, √2/4)となります。
後は、y=√3x+cがこれらの点を通る時のcをそれぞれの点について計算すればよく、c=±√2よりy=√3x±√2が答えとなります。


[問2・答1]
まず、tを定数と見なしてx^2+y^2-2tx-2(1-t)y=0の中心の座標を求めます。
式変形により
(x-t)^2 + {y-(1-t)}^2 = t^2 + (1-t)^2 = 2t^2-2t+1
となりますので、中心の座標は(t, 1-t)です。
tを動かした場合の中心の軌跡は、(x,y) = (t, 1-t)をパラメータ表示と思えば
x=t, y=1-tより、y=1-xとなります。
この円の通り得ない点、は次のように考えます。
「この円が通過する点」=「あるtに関してこの円上にある点」=「あるtに関してこの方程式が成り立つような座標(x,y)を持つ点」
こう考えた場合、
「ある点(x,y)がこの円の通過する領域上にある」=「(x,yを定数と考えて)この式が成り立つようなtが存在する」
ということが分かります。
つまり、x,yを定数と見て、この式をtに関する方程式と見なし、この方程式が解を持つようなx,yの範囲を求めれば良いわけです。
tについて式を整理すると、
2(y-x)t + (x^2+y^2-2y) = 0
となります。従って、x≠yの時にはこの式は明らかに解を持ちます。
x=yの時にはx^2+y^2-2y=0であることが必要十分です(この時にはtの解は任意、ということになります)。
今、x=yの場合を考えていますから、これは2x^2-2x=0、つまり、x=0,1と同値です。
まとめれば、点(x,y)が軌跡に含まれることと、x≠yまたはx=0またはx=1を満たすことは同値である、ということになります。
求めるのは軌跡に含まれない点ですから、この否定を考えて
{(x,x)|但しx≠0かつx≠1}
が求める集合になります。
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この回答へのお礼

[問1・答2]がわかりやすかったです。
ありがとうございました。

お礼日時:2002/03/31 09:34

1.円に内接する正方形の1辺が√2だから


正方形を60°回転するとx切片が +-√2/√3だから
y=√3(x+-√2/√3)=√3x+-√2


2.
いつも(0,0)と(1,1)を通る,中心がy=-x+1
上の円をいくつか描いてみるとこの円が通らない点が分かるよ。

円の中心の軌跡
y=-x+1
円の通りえない点全体の集合
((x,y)| y=x,ただし,(0,0)と(1,1)を除く)

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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2002/03/31 09:35

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Aベストアンサー

>この場合では、領域がx軸に関して対称だから、前者の場合も後者の場合もたまたま答えが同じになるけれど

本当にそうなります?
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Q線形です (1)を x+3y-2z=0 x-2y+4z=0 x^2+y^2+z^2=1をもちいて 答

線形です
(1)を
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x-2y+4z=0
x^2+y^2+z^2=1をもちいて
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(2)では外せきが8,-6,-5となり
おおきさの5ルート5で割ると
+-の答えにはなりませんでした
どちらが正しいのでしょうか?

Aベストアンサー

外積からでてきた単位べクトルは、外積の定義から、ベクトルa、bに垂直ですよね。
だからそれと正反対のベクトルも、ベクトルa、bに垂直な単位ベクトルだから、これも答えに入れれば
よいのです。つまり外積から出した単位ベクトルの各成分に(-1)をかけた成分のベクトルも答えに
なります。そしてこうして出した2つのベクトルは、先に内積で出した2つのベクトルと一致します。

Qx+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x=yであることを証明せよ。

クリックありがとうございます(∩´∀`)∩

 ★x+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x=yであることを証明せよ。

この問題について説明をお願いします。

Aベストアンサー

おおざっぱな説明になりますが、左の式を
z=-x-y
として、それを右の式のzに代入します。
それを展開してまとめると
x^2-2xy+y^2=0
という式になります。
あとはこれを因数分解すれば
(x-y)^2=0
となるので、x=yという答えがでます。
与えられた条件がほかになければこれでいいはずです。

Q(1)半径rの円x^2+y^2=r^2と直線3x+y+10=0が共有点

(1)半径rの円x^2+y^2=r^2と直線3x+y+10=0が共有点をもつとき、rの値の範囲を求めなさい。
(2)円x^2+y^2=18と直線y=x+mが共有点をもつとき、定数mの値の範囲を求めなさい。
(3)半径rの円x^2+y^2=r^2と直線4x-y+17=0が異なる2点で交わるとき、rの値の範囲を求めなさい。
(4)円x^2+y^2=5と直線y=3x+mが接するとき、定数mの値の範囲を求めなさい。
(5)半径rの円x^2+y^2=r^2と直線x-3y-10=0が共有点を持たないとき、rの値の範囲を求めなさい。

解き方含め教えてください!!
お願いします。

Aベストアンサー

(1)
共有点を持つ、つまり実数解をもつということです。
実数解をもつということは、判別式DがD≧0となればよいのは分かりますね?
さて、何と何が実数解をもつかというと、x^2+y^2=r^2と3x+y+10=0ですね。
3x+y+10=0をy=-3x-10と変形して、これをx^2+y^2=r^2に代入して、xの2次方程式にしてD≧0を計算すればいいわけです。

(2)
同様に考えましょう。
y=x+mをx^2+y^2=18に代入してxの2次方程式にして、D≧0を計算すればmの値の範囲が分かるはずです。

(3)
異なる2点で交わる。つまり重解を持たずに実数解をもつ場合です。このとき判別式DはD>0となります。
他の考え方は一緒です。
4x-y+17=0を変形してx^2+y^2=r^2に代入し、その2次方程式の判別式DをD>0として計算するだけです。

(4)
接するとき、つまり重解をもつ時です。この時判別式DはD=0となります。

(5)
共有点を持たないときは、実数解をもたないときになります。
D<0ということです。


長くなりましたが、判別式の使い方さえ把握していれば全部同じ考え方で解ける基本問題ですね。

(1)
共有点を持つ、つまり実数解をもつということです。
実数解をもつということは、判別式DがD≧0となればよいのは分かりますね?
さて、何と何が実数解をもつかというと、x^2+y^2=r^2と3x+y+10=0ですね。
3x+y+10=0をy=-3x-10と変形して、これをx^2+y^2=r^2に代入して、xの2次方程式にしてD≧0を計算すればいいわけです。

(2)
同様に考えましょう。
y=x+mをx^2+y^2=18に代入してxの2次方程式にして、D≧0を計算すればmの値の範囲が分かるはずです。

(3)
異なる2点で交わる。つまり重解を持たずに実数解をもつ...続きを読む

Q{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

n → ∞のとき、
{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

また、n → ∞のとき、
{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 → π√2/8

らしいのですが、証明がかいてありませんでした。
どうか証明を教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関数 f(x)=√{(1-x^2)/2}
上限関数 g(x,Δ)=√[{(1+Δ)^2-x^2}/2] (但しΔ=1/n)
階段関数 {√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/n=√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]

(1)x=k/nのところで、階段の高い方より上限関数 g(x,Δ)が大きい事を示します。但しk=1~nです。
x=k/nの階段の高い方は√[{n(n+1)-(k-1)k}/(2n^2)]です。
x=k/nの上限関数 g(x,Δ)=g(k/n,1/n)=√[{(1+(1/n))^2-(k/n)^2}/2]=√[{(n+1)^2-k^2}/(2n^2)]
(上限関数) ≧ (階段関数の高い方) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
(n+1)^2-k^2 ≧ n(n+1)-(k-1)k を示せば十分です。
{(n+1)^2-k^2}-{n(n+1)-(k-1)k}=n-k+1≧0 より明らかです。

(2)x=k/nのところで、階段の低い方より下限関数 f(x)が小さい事を示します。但しk=0~nです。
x=k/nの階段の低い方は√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]です。
x=k/nの下限関数 f(x)=f(k/n)=√[{(1-(k/n)^2}/2]=√[(n^2-k^2)/(2n^2)]
(階段関数の低い方) ≧ (下限関数) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
n(n+1)-k(k+1) ≧ n^2-k^2 を示せば十分です。
{n(n+1)-k(k+1)}-(n^2-k^2)=n-k≧0 より明らかです。

以上の事から階段関数は下限関数 f(x)と上限関数 g(x,Δ)の間に入る事がわかりました。
下限関数の面積をF,上限関数の面積をG(n),階段関数の面積をA(n)とすると、
F ≦ A(n) ≦ G(n) となります。
F=∫[0→1]f(x)dx=(1/√2)(単位円の面積÷4)=π(√2)/8
G(n)=∫[0→(1+Δ)]g(x,Δ)dx=(1/√2)(半径(1+Δ)の円の面積÷4)={π(√2)(1+Δ)^2}/8 (但し Δ=1/n)
つまり階段関数の面積はπ(√2)/8以上{π(√2)(1+1/n)^2}/8以下になります。
n→∞で階段関数の面積はπ(√2)/8に収束します。

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
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