ある参考書をみて座標の平行移動では、

ベクトルの成分が変化しない

と書いてありました。しかし、位置ベクトルの成分は変化していて、その理由に

”始点を固定している束縛ベクトルは、その成分が変わる。”

と書いてありました。意味が全然分かりません。始点の固定されていないベクトルは、成分が変化しないというのはどういう意味でしょうか?

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A 回答 (2件)

 


  分かり易いように、二次元で考えましょう。三次元の場合は、成分変数が一つ増えて、三個になるというのが違いです。
 
  二次元ヴェクトルは、二つのスカラー量(つまり、普通の数)で定義され、(x,y)みたいに書きます。こういう風に書いているヴェクトルは、「普通のヴェクトル」で、この成分xとyは、座標が平行移動しても変化しません。何故なら、こういう普通のヴェクトルは、特定の点に固定されておらず、どこか点を決めると、例えば、(2,4)というような座標上の点を決めて、ここを「始点」だとすると、(2+x,4+y)という点に向けて延びた形のヴェクトルになるからです。
 
  これは、(x,y)という非束縛ヴェクトルを、仮に(2,4)という点を始点として見た場合で、このヴェクトルは、好きな始点(a,b)を選ぶと、(x+a,y+b)という点が自動的に「終点」になるのです。(x,y)というヴェクトルは、始点か終点か何かを決めると、或る特定の位置に来るのですが、それを決めていない場合は、空間平面の自由な場所にあるとも云えるのです。
 
  平行移動というのは、X軸やY軸を「回転させず」、ただ、原点だけをX,Y軸に平行に移動させることです。以前に(3,5)だったところに原点(0,0)’が移動すると、平面上の図形などは、X軸は、-3、Y軸は-5移動したことになります。図形自体は動いていないのですが、枠である、座標軸が平行に移動したので、こういう風に図形のある座標値が変化するのです。
 
  平行移動の場合、非束縛ヴェクトルつまり普通のヴェクトルは、(x,y)も、(x-a,y-b)も同じことだったので(始点が一緒に移動すれば同じヴェクトルです。この場合、原点(0,0)を始点として、(x,y)を考えていたところ、原点が(a,b)に移動しても、(x-a,y-b)から(a,b)へと向かうヴェクトルになるので、実質ヴェクトルの成分は、(x,y)で同じなのです……図を描いて考えて見てください。言葉では、なかなか分かりにくいです。a,b,x,yなどに具体的な数を入れて考えると分かり易いです)。
 
===============================================================
  (以下、回転の場合の話で、パスしても構いません)
 
  ところが、座標軸の回転が起こると、例えば、原点を始点にした普通のヴェクトルの場合、(x,y)がたまたま(0,1)つまり、X軸の成分が0で、Y軸成分が1の場合を例に考えると、座標軸が45度反時計回りにまわると、以前のX,Y軸と45度の傾きに新しい座標ができ、元のヴェクトルは、(√2,√2)になります(これも図を描いて確認してください。言葉では分かりにくいです)。
 
  つまり、普通のヴェクトルも、座標軸が回転すると、成分が変化します。
 
  (ここまで、パスしてください)
===============================================================
  
  他方、「束縛ヴェクトル」というのは、始点とか終点が、どこか決まった所にあるのです。普通のヴェクトルは、好きな点を始点にでき、そこから、ヴェクトルを延ばしてよいのですが、束縛ヴェクトルは、この自由に選べるはずの「始点」や「終点」などが、決まっているヴェクトルです。
 
  「位置ヴェクトル」は、始点が原点にあるヴェクトルのはずです。その時、或る位置(a,b)に延ばした位置ヴェクトルは、普通のヴェクトルとして考えると、x軸の値がaで、y軸の値がbですから、(a,b)のヴェクトルということになります。けれども、このヴェクトルは、始点が原点で、終点が、決まった位置にあります。
 
  そこで、座標軸の平行移動が起こると、まずそれは原点が移動するということになります。(0,0)の原点が(α,β)に移動して、この点が新しい原点(0,0)’になるのが、平行移動です。最初の位置(a,b)は、新しい座標では、(a-α,b-β)’の位置に来ます。すると、原点を始点と決めた位置ヴェクトルは、(0,0)’から(a-α,b-β)’に延ばしたヴェクトルということで、X軸の成分が、a→(a-α)、Y軸の成分が、b→(b-β)で、成分が変化してしまいます。
 
  このように、始点を原点とかに決め、特定の位置へと延ばした位置ヴェクトルは、座標の平行移動で原点が移動すると、成分が変化するのです。しかし、この場合も先に述べたように、普通のヴェクトルは、始点も終点も自由に選べるので、成分は変化しないのです。(x,y)という普通のヴェクトルは、座標軸が平行移動しても、変化ないのです。
  
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この回答へのお礼

siegmundさんもstarfloraさんも御回答本当にありがとうございました。
完全に納得いたしました。これで勉強進みます!

お礼日時:2002/03/31 19:10

具体例で見るのがいちばんわかりやすいでしょう.



     y   図1

     │
     │     B
     │
     │  A
     │
─────┼───── x
    O│      
     │
     │
     │

図1で AとBの座標は A(3,2),B(6,4) です.
ベクトルABの成分表示は (6-3,4-2) = (3,2) です.
Aの位置ベクトルは OA で成分表示なら (3,2)
Bの位置ベクトルは OB で成分表示なら (6,4)

座標軸を左に1,下に1だけ平行移動したのが下の図2.
A,B の座標は A(4,3),B(7,5)
ベクトルABの成分表示は (7-4,5-3) = (3,2) です.
Aの位置ベクトルは OA で成分表示なら (4,3)
Bの位置ベクトルは OB で成分表示なら (7,5)

    y   図2

    │
    │      B
    │
    │   A
    │
    │
────┼─────── x
    │O     
    │
    │
    │

つまり,座標軸が平行移動しても AB の相対的位置関係は変わりません
(原点の場所には無関係です).
一方,Aの位置ベクトルは原点OからAへのベクトルです.
座標軸を移動すればAとOとの位置関係は当然変わり,
それに従ってAの位置ベクトルも変化します.
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Q位置ベクトルの考え方

位置ベクトルの考え方でよく分からない点があります。

例えば点O(0,0)を原点とする座標平面があって、点A(2,2)はOからx軸方向へ2、y軸方向へ2移動したものです。

ベクトルは向きと大きさで定義されますよね。
なので座標を定めるという行為は、向きと大きさを決めるということだと思っています。
(x,y軸方向へどれくらい動かすかを決めると、自動的にOからどの方向にどれくらいの大きさの矢印が伸びるかが決まるから)

これがベクトルを定めると(x,y軸方向へどれくらい動かすかを決めて向きと大きさを決めると)、点の位置が定まる(座標が決まる)ということですよね?

また、始点は原点ではなくてもいいんですよね?

ということは点X(1,1)を始点として、点A(2、2)は始点Xからx軸方向へ1、y軸方向へ1移動した点、つまり点Xに関する点Aの位置ベクトルと考えていいということでしょうか?
もしこうでない場合、どう考えるのでしょう?

質問の要点は、

(1)私の位置ベクトルの解釈の正しさ(おかしい部分があれば指摘していただけるととても嬉しいです)
(2)始点の取り方について

この2つです。

よろしくお願いします!

位置ベクトルの考え方でよく分からない点があります。

例えば点O(0,0)を原点とする座標平面があって、点A(2,2)はOからx軸方向へ2、y軸方向へ2移動したものです。

ベクトルは向きと大きさで定義されますよね。
なので座標を定めるという行為は、向きと大きさを決めるということだと思っています。
(x,y軸方向へどれくらい動かすかを決めると、自動的にOからどの方向にどれくらいの大きさの矢印が伸びるかが決まるから)

これがベクトルを定めると(x,y軸方向へどれくらい動かすかを決めて向きと大きさを決める...続きを読む

Aベストアンサー

まず、ベクトルについて:
ベクトルに始点は無いです。貴方も書いているように、
ベクトルは長さと方向を持つもので、始点は持ちません。
紙に矢印(「有効線分」と呼ぶとそれらしい?)を書くと
始点終点がありますが、平行移動で移りあう有効線分を
同じと見なしたものが「ベクトル」であって、
ベクトルには始点の情報は残っていないのです。

次に、位置ベクトルについて:
上記の事情で、ベクトルと始点とを両方指定すると
有効線分が決まり、その終点も決まります。
共通の始点を固定しておくことで、終点の位置と
ベクトルとを一対一対応さたのが「位置ベクトル」です。
位置ベクトルにはその共通の始点が必要で、
それを「基準点」とか「原点」とか呼びます。
原点は、好きな場所に置いて構いません。
教科書等の例題で △ABC を扱うとき、
ベクトルAB = ベクトルb, ベクトルAC = ベクトルc と置く
…とやることがあるでしょう? この点 A が、
位置ベクトルの「原点」です。

質問の状況では、貴方は点 X を位置ベクトルの原点に
しようとしている訳ですが、それ以前に、
点 O が原点だったり、X の座標が (1,1) だったりする
座標系が平面上に設定されているのですね。
貴方の位置ベクトルの原点と、与えられた座標系の原点を
「原点」という言葉で混同したのが、混乱の源です。
そこで混乱するなら、位置ベクトルのほうは「原点」でなく
「基準点」と呼んでおくのが安全かもしれません。
その両者は別のもので、一致させる必用は特にありません。

まず、ベクトルについて:
ベクトルに始点は無いです。貴方も書いているように、
ベクトルは長さと方向を持つもので、始点は持ちません。
紙に矢印(「有効線分」と呼ぶとそれらしい?)を書くと
始点終点がありますが、平行移動で移りあう有効線分を
同じと見なしたものが「ベクトル」であって、
ベクトルには始点の情報は残っていないのです。

次に、位置ベクトルについて:
上記の事情で、ベクトルと始点とを両方指定すると
有効線分が決まり、その終点も決まります。
共通の始点を固定しておくことで、終点の位...続きを読む

Q単位法線ベクトルの問題なんですが。。。

曲面 4x^2y+z^3 = 4 上の点P(1, -1, 2)における単位法線ベクトルnを求めよ.

という問題です.

他の質問を見てf = (x,y,z) = 4x^2y+z^3-4
とするのはわかったのですがgradfがわからないです。。。

Aベストアンサー

未消化のgrad fを使わなくても以下のように出来ます。
いずれにしてもただ丸写しするのではなく教科書や講義ノートや参考書など
を復習して基礎的なことを勉強して、理解するだけの自助努力が大切です。

f(x,y,z)=4(x^2)y+z^3-4=0

全微分して
 8xydx+4(x^2)dy+3(z^2)dz=0

点P(1,-1,2)の座標を代入
 -8dx+4dy+12dz=0
 4(-2,1,3)・(dx,dy,dz)=0
法線ベクトル:±(-2,1,3)
 |(-2,1,3)|=√(4+1+9)=√14
単位法線ベクトルn=±(-2,1,3)/√14

Q位置ベクトルの始点(起点)は必ず原点?

高校で位置ベクトルについて学んだ時、位置ベクトルの始点がどこにあっても良いような答案作りをしました。
むしろ始点がどこなのか明示しないようなやり方を「位置ベクトル」と呼んでいるのだと思っていました(従って成分を用いるのはベクトルの差のみに対して)。

しかし、ネットで色々検索しますと原点を始点とし、座標とベクトルの成分を必ず同一視するかのような書き方がなされているものを散見します。

高校数学において、という限定で構いませんが、そもそも「位置ベクトル」とはどんな考え方に対して使っているのでしょうか?
ベクトルの最初で「→OA=→aとする」とやりましたが、教科書の「位置ベクトル」という章はその後だったと思うのです。

Aベストアンサー

NO.2 補足への返答です。

あまり堅く考えてもしかたがないかもしれません。

まず「位置ベクトル」という言葉は一般的には始点を原点にして
終点をモノの位置とするような幾何ベクトルです。
これ以外の意味で使う場合は誤解を覚悟するべきでしょう。

しかし、始点を原点以外に明示して、その点からの相対位置を位置ベクトル
と呼んでも、それが明示してあればなんの支障もないでしょう。

両方「位置ベクトル」と呼んでもかまわないのではないでしょうか?

もうひとつ、私が言いたかったのは、物理の一般座標のように
線形性の無い非幾何ベクトルで位置を表す場合もあるということです。
この場合、原点というものはなく、座標は数値の並びでしか
ありません。

多分高校の範疇を超えてしまいますが、こんなものも
「位置ベクトル」と呼ぶ場合が有るということを頭の片隅に
置いていただきたいです。

Q位置ベクトルについて

今ベクトルを勉強しているのですが、位置ベクトルの考え方がよくわかりません。
位置ベクトルというのは、点Oを基点に考えるので、ベクトルの始点を点Oに持っていって考える、ということと解釈しているのですが、
そうすると、
位置ベクトルで表されたベクトルは、その終点がベクトルを表す事になるので、終点だけを考えればよいから便利、ということでしょうか?

位置ベクトルはけっこう大事だと思うので、位置ベクトルの考え方のポイントを教えていただけたらうれしいです。よろしくお願いしますm(__)m

Aベストアンサー

stripeさん、こんばんは。
今はベクトルについて勉強されているんですね。

>位置ベクトルというのは、点Oを基点に考えるので、ベクトルの始点を点Oに持っていって考える、ということと解釈しているのですが、

そうですね。
位置ベクトルというのは、その名のとおり、位置を表すベクトル、と考えていいでしょう。
たとえば、点A(2,3)という点があったとして、それを表す位置ベクトルは、

OA=(2,3)

ですよね。
また、線分MNの中点Pの位置ベクトルは、
点M、点Nの位置ベクトルを、それぞれ
→   →
OM, ON
とすると、
→   →   →    
OP=(OM+ON)÷2

のようになりますよね。
その点Pの位置を、相対的に、原点を中心として表したときに
どうなるのだろうか?みたいな感じだと思ってください。

>位置ベクトルで表されたベクトルは、その終点がベクトルを表す事になるので、終点だけを考えればよいから便利、ということでしょうか?

その点の位置関係を、相対的に表せる、ということで大変便利なのです。
原点Oを定めておくと、平面上の点Aの位置は、
ベクトルOAによって、定まりますよね。
このとき、→ →
     a=OAを点Aの位置ベクトルといい、
位置ベクトル→        →
      aの点を、たんに、点aと呼ぶこともあります。

>位置ベクトルはけっこう大事だと思うので、位置ベクトルの考え方のポイントを教えていただけたらうれしいです。

位置ベクトルは、ベクトルの中でもかなり重要ポイントです。
考え方のポイントというか、コツは、図形の証明なんかでも
「とにかく位置ベクトルで考えてみよう!」
ということです。

たとえば、今まであたりまえのような定理として使ってきた
「三角形ABCの、底辺をBCとしたときに、
AB,ACの中点M,Nを結ぶ線分MNは、
底辺BCに平行で、長さはBCの半分である」

などという定理も、位置ベクトルを用いれば、分かりやすく証明されます。
上の問題は、平行、かつ半分、を示せばよいので
→     →
MN=(1/2)BC
がいえればよいですね。
三角形の3点A,B,Cの位置ベクトルを、
→ → →    →  →
a, b, cとして、MN、BCを、それぞれで表してみましょう。

頑張ってください。慣れると大変便利でベクトルが得意になりますよ。
ご参考になればうれしいです。

stripeさん、こんばんは。
今はベクトルについて勉強されているんですね。

>位置ベクトルというのは、点Oを基点に考えるので、ベクトルの始点を点Oに持っていって考える、ということと解釈しているのですが、

そうですね。
位置ベクトルというのは、その名のとおり、位置を表すベクトル、と考えていいでしょう。
たとえば、点A(2,3)という点があったとして、それを表す位置ベクトルは、

OA=(2,3)

ですよね。
また、線分MNの中点Pの位置ベクトルは、
点M、点Nの位置ベクトルを...続きを読む

Q「ノルム、絶対値、長さ」の違いについて

あじぽんと申します。よろしくお願いします。

ベクトルや複素数などに出てくる「ノルムと絶対値と長さ」というのは同じことを違う言葉で表現しているのでしょうか?
手元にある書籍などには全てが同じ式で求められています。
同じ式で表現されていても意味は少しづつ違っていたりするのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して定義できます。
数に対しては「長さ」という言い方はあまり聞かないと思います。
例えば、「3」の長さというような言い方は耳になじまないと思います。
一方、ベクトルの場合は、「矢印」という「線」になりますので「長さ」が定義できます。



最後の「ノルム」は、線形空間に対して定義できます。(もちろん実数、複素数やベクトルも線形空間です)
ノルムの条件を満たせばノルムになるため、複数のノルムが考えられます。
そのため、「(1,1)というベクトルに対するノルムは?」
という質問に対しては、「どのノルムを使うか?」という条件が欠けているため厳密に言うと「解答はできません」。
例としてよく扱われるノルムは「ユークリッドノルム」と言われ、通常のベクトルの長さと等しくなります。

ベクトルに対するノルムでは、「最大値ノルム」というのが他の例としてよく使われます。
これは、ベクトルの各要素の最大値で定義されます。
(例:(3,1,5)というベクトルの最大値ノルムは、3つの数字の最大値である5になります)

ノルムというと、線形空間であれば定義できるため、
f(x) = 3x^2+5x
という数式に対するノルムというのも考えられます。
(数式は、定数倍したり、足し算したりできますよね)
数式に対して「絶対値」とか「長さ」と言ってもピンと来ないですよね。

しかし、まだやられていないかもしれませんが、数式に対するノルムというのは存在します。


そうすると、なんでこんなんがあるねん。って話になると思います。

ここで、ベクトルに対してある定理があったとします。

それがさっきのような数式など他の線形空間でも成り立つんだろうか?
というのを考えるときに「ノルム」の登場です。

その定理の証明で、「ベクトル」として性質を使わずに「ノルム」の性質だけを使って証明ができれば、
それは「ベクトル」に対する証明でなくて「ノルムを持つもの」に対する証明になります。
(ちょっと難しいかな?)


このようにして、定理の応用範囲を広げるために「長さ」や「絶対値」の考え方をベクトルだけでなく「線形空間」という広い考え方に適用できるようにしたのが「ノルム」になります。

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して...続きを読む

Q3次元座標2点からの直線式の求め方

お世話になります。

3次元座標2点からの直線式(ax+by+cz=0)の求め方を教えて下さい。

2次元座標であれば、1つの傾きから算出できるのですが、3次元座標になると、X-Y平面、Y-Z平面での傾きの使い方がこんがらかってしまいます。
基本的な質問で申し訳ありませんが、よろしくお願い致します。

座標1 = (x1,y1,z1)
座標2 = (x2,y2,z2)

以上

Aベストアンサー

> 直線式(ax+by+cz=0)の求め方を教えて下さい。
3次元座標では(ax+by+cz=0)は原点を通る平面になり、直線の式ではありません。ax+by+cz=dは平面の一般式です。

2点を通る直線の式には公式があります。
以下のように簡単に導けます。
点(x1,y1,z1)を通り方向ベクトル(x2-x1,y2-y1,z2-z1)の直線ですから
媒介変数形式で
(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
と成ります。
これを変形してすれば
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)
と3次元座標の直線の式となります。

Q平面のベクトル内積=0で垂直になる理由?

平面と平面の位置関係が垂直になる時、内積がゼロになることに関しまして、

なぜなのかを、可能ならば 直感的に理解したいです。

ベクトルの基本は勉強しましたが・・・ 

突然、「垂直ならば この計算の答えがゼロになる」 と教わっただけで、まだ腑に落ちないでいます。

もしも良い説明がありましたら、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

>なぜなのかを、可能ならば 直感的に理解したいです。

visualにいうこととして、幾何学的に考えてはどうですか。

ベクトルA↑とベクトルB↑の内積IPは

IP=A↑・B↑=|A↑||B↑|cosθ

であって|A↑|、|B↑|はベクトルの大きさ、θはA↑、B↑のなす角度です。

IP=A↑・B↑=0



θ=90°

を意味することが解ります。

いいかえるとIP=A↑・B↑はA↑がB↑に落とす影(射影)であって、垂直なら影が0ということです。

0でない場合はA↑とB↑は平行成分を有して、相互に影を落とすということです。

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Q一本のベクトルに直交するベクトルについて

あじぽんと申します。質問があります。

3次元空間にベクトルAが一本だけあるとします。
さらにベクトルAに直交するベクトルがいくつもあるとします。

ベクトルAの座標がわかっている時に、
ベクトルAに直交するベクトルの座標を、どれか一つだけ計算にて求めることは出来るのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんばんは。

ちょっと待ってください。

「3次元空間にベクトルAが一本だけある」
と書かれていますが、
ベクトルというのは、向きと大きさ、言い換えれば、始点と終点の関係があるだけであって、
「空間にベクトルがある」
という言葉自体がおかしいです。

そして、
「ベクトルAの座標がわかっている時」
と書かれていますが、
ベクトルには座標というものは存在しません。
成分があるだけです。(上記で言った、向きと大きさ(始点と終点の関係)のことです。)


とはいえ、
成分が(a1、b1、c1)という3次元ベクトルがあるとしましょうか。
それに垂直なベクトルの成分を(a2、b2、c2)と置きます。
このとき、両者の内積はゼロになるわけですから、
a1,b1,c1,a2、b2、c2には、次の関係が成り立ちます。

内積 = a1・a2 + b1・b2 + c1・c2 = 0

>>>ベクトルAに直交するベクトルの座標を、どれか一つだけ計算にて求めることは出来るのでしょうか?

上の式を満たすようなベクトルを作ればよいだけです。
たとえば、b2とc2をゼロにしちゃえば、いとも簡単に1つ作れます。


以上、ご参考になりましたら。

こんばんは。

ちょっと待ってください。

「3次元空間にベクトルAが一本だけある」
と書かれていますが、
ベクトルというのは、向きと大きさ、言い換えれば、始点と終点の関係があるだけであって、
「空間にベクトルがある」
という言葉自体がおかしいです。

そして、
「ベクトルAの座標がわかっている時」
と書かれていますが、
ベクトルには座標というものは存在しません。
成分があるだけです。(上記で言った、向きと大きさ(始点と終点の関係)のことです。)


とはいえ、
成分が(...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。


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