微分法を学びたいと思ってます。
”xの関数yをxで微分すると dy/dx である。”
というだけでなく、 dx、dy の意味から説明してくれるような
例えば、dz=2xdy+y^2dxの意味が分かるような入門書が
あったら教えてください。お願いします。

A 回答 (1件)

無限小のオーダーの話でしたら、解析学の本を見れば大抵載っていると思いますが。


(記号は異なる可能性があります)

「解析入門I」杉浦光夫、東京大学出版会
「解析概論」高木貞治、岩波書店
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
がんばって勉強します。

お礼日時:2002/03/31 18:59

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Qz=(-x/y)*(dy/dx) を dz/dxで微分すると?

z=(-x/y)*(dy/dx) を dz/dxで微分すると?


微分に関して分らない問題があります。

あるテキストの解法の途中で、

「z=(-x/y)*(dy/dx) ⇒ dz/dxで微分 ⇒ dz/dx=(2/y)-(2x/y^2)*(dy/dx)」

となっているのですが、この原理について、調べてみてもなかなか見つかりません。
どなたか原理の分かる方おられませんでしょうか。

Aベストアンサー

>z=(-x/y)*(dy/dx) ⇒ dz/dx ⇒ dz/dx=(2/y)-(2x/y^2)*(dy/dx)
これは間違い。

正:dz/dx=-(dx/dx)*(1/y)*(dy/dx)-x*d(1/y)/dy)*(dy/dx)-(x/y)*d(dy/dx)/dx
=-(1/y)*(dy/dx)+(x/y^2)*(dy/dx)^2-(x/y)*d^2 y/dx^2

Q(d/dx)∫(a~b)f(x,y)dy=∫(a~b)(d/dx)f(x,y)dyの成立条件

(d/dx)∫(a~b)f(x,y)dy(つまり、f(x,y)をyで積分(定積分)したものをxで微分したもの)を考えます(ただし、(a~b)は積分範囲を表し、aやbは定数であって、xの関数ではありません)。
これは多くの場合、∫(a~b)(d/dx)f(x,y)dy(つまり、f(x,y)を先にxで微分してからyで積分したもの)と等しくなります。しかし、まれに一致しない場合があります。例としては、f(x,y)=(sin xy)/y (x>0)の場合が挙げられます。
そこで、
(d/dx)∫(a~b)f(x,y)dy=∫(a~b)(d/dx)f(x,y)dy
が成立するための必要十分条件を教えていただきたいと思っています。
もし簡単には述べられない条件でしたら、何のどこを参照すればこのことが論じられているのかを具体的にご教示いただけると幸いです。

Aベストアンサー

積分と微分の順序交換については
必要十分条件は一般にはありません.
ただし,十分条件は知られています.

リーマン積分の範囲だと
f(x,y)が連続で,f_y(x,y)も連続くらいの条件があれば
d/dy∫f(x,y)dx = ∫f_y(x,y)dx
くらいがいえるはずです.
#積分区間とかは省きます.

その十分条件で一番便利だろうと思われるものは
ルベーク積分の言葉で記述されます.
興味があれば,「ルベーク積分」の本を
追いかけてください.
・ルベークの有界収束性定理
・L^1空間
というようなものが理解できれば,順序交換の定理は理解できます.

Qx^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2

x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)
となるのはなぜですか?
教えてください。

Aベストアンサー

1+r+r^2+・・・+r^(n-1)=(1-r^n)/(1-r)

r=x/yとおくと

1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)={1-(x/y)^n}/{1-(x/y)}
故に、
{1-(x/y)^n}={1-(x/y)}{1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)}

両辺にy^nを乗じて
x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)

Qxの関数yについて(x^2)y-e^(2x) = sin yが成り立つときのdy/dx

自分の解答に自信がないので、下記の解答で誤りがあったら指摘してください(逆に誤りがないなら合っていますとコメントください)
解答.
(x^2)y-e^(2x) = sin y
まず両辺をxで微分して
2xy+(x^2)y'-2e^(2x) = y'cos y
整理して
y'(x^2-cos y) = 2(e^2x-xy)
(I) x^2-cos y ≠ 0のとき
y' = 2(e^2x-xy)/(x^2-cos y)
(II) x^2-cos y = 0のとき
x^2 = cos yより
y = arccos x^2
∴y' = -2x/√(1-x^4)

Aベストアンサー

#1です。

A#1の補足質問について
>(I)の場合の答えの右辺にyが含まれているのは適切なのでしょうか?
>(x^2)y-e^(2x) = sin(y)
は陰関数表現しか表せない関数関係式のため y'も
xだけの式で表すことはできません。
y=f(x)の形で表せない場合はy'の式にxだけではなくyが含まれるのが普通で、解答としても問題ありません。

>(II)の場合の回答中に「交点では e^(2x)-xy≠0なので」とあるのですが、それはどうやってわかるのでしょうか?
(x^2)y-e^(2x) = sin(y)…(A)
x^2-cos(y)=0…(B)
e^(2x)-xy=0…(C)
を同時に満たす実数(x,y)の組がが存在しないことを示せば良いですね。
方法は問いません。
(A)のグラフが添付図の黒の曲線のようになります。通常
この曲線でy'を求めるには
xに対してyが一価関数でないとy'が定義出来ません。
yあるいはxの変域を限定すればその変域では一価関数にすることは可能です。
あるいは、yが一価関数になるxの変域に限定すればその変域でy'を求めることも可能です(例えば|x|>1の変域に限定)。
x,yに何らかの変域を定めて一価関数に出来たとすれば、(A),(B),(C)の共有点におけるy'が定義できます。
添付図の黒の曲線が(A)の曲線、水色の曲線が(B)の曲線、赤色の曲線が(C)の曲線で3つの曲線が一点で交わる共有点は存在することはありません。

従って、、
>「交点では e^(2x)-xy≠0なので」
が言えますね。

#1です。

A#1の補足質問について
>(I)の場合の答えの右辺にyが含まれているのは適切なのでしょうか?
>(x^2)y-e^(2x) = sin(y)
は陰関数表現しか表せない関数関係式のため y'も
xだけの式で表すことはできません。
y=f(x)の形で表せない場合はy'の式にxだけではなくyが含まれるのが普通で、解答としても問題ありません。

>(II)の場合の回答中に「交点では e^(2x)-xy≠0なので」とあるのですが、それはどうやってわかるのでしょうか?
(x^2)y-e^(2x) = sin(y)…(A)
x^2-cos(y)=0…(B)
e^(2x)-xy=0…(C)...続きを読む

Q(y-x)dy/dx=y ヒント:u=(y-x)

こんにちは。
こんな簡単な微分方程式も解けない理系の大学生です。
本当に恥です。

(y-x)dy/dx=y ヒント:u=(y-x)
について解き方を教えてもらえないでしょうか。

x=y=0という解を一応出してみたのですが、いかんせん自信がありません。

(y-x)dy/dx=y...(1)

u=y-xより
y'=1=(dy/dx)

(1)より
y-x=y
x=0

yy'=y
y'=1
y=x
y=0

という考え方をしたのですが。
もう自信が全然なくて...

Aベストアンサー

(y-x)dy/dx=y

u=y-x

両辺を x 微分すると,

du/dx=dy/dx-1 故に,dy/dx=du/dx +1
これらを (y-x)dy/dx=y に入れると

u(du/dx +1)=u+x
u*du/dx +u=u+x
u*du/dx =x

この微分方程式を解くと,積分定数を c として,

∫u du =∫x dx + c

(1/2)u^2=(1/2)x^2 + c

この式に  を入れれば,

(1/2)(y-x)^2=(1/2)x^2 + c

(1/2)(y^2-2xy+x^2)=(1/2)x^2 + c

(1/2)x^2 が消えるので,

(1/2)(y^2-2xy)= c
(1/2)y(y-2x)= c

y(y-2x)= 2c

積分定数 2c を C と書くと

y(y-2x)=C

となり,y(y-2x)=C が微分方程式 (y-x)dy/dx=y の一般解です.

<検算>

y(y-2x)=C の両辺を微分すると,
y'(y-2x)+y(y-2x)'=0
y'(y-2x)+y(y'-2)=0
yy'-2xy'+yy'-2y=0
2yy'-2xy'-2y=0
yy'-xy'-y=0
(y-x)y'-y=0
(y-x)y'=y

となりますから,一般解 y(y-2x)=C 正しいです..

(y-x)dy/dx=y

u=y-x

両辺を x 微分すると,

du/dx=dy/dx-1 故に,dy/dx=du/dx +1
これらを (y-x)dy/dx=y に入れると

u(du/dx +1)=u+x
u*du/dx +u=u+x
u*du/dx =x

この微分方程式を解くと,積分定数を c として,

∫u du =∫x dx + c

(1/2)u^2=(1/2)x^2 + c

この式に  を入れれば,

(1/2)(y-x)^2=(1/2)x^2 + c

(1/2)(y^2-2xy+x^2)=(1/2)x^2 + c

(1/2)x^2 が消えるので,

(1/2)(y^2-2xy)= c
(1/2)y(y-2x)= c

y(y-2x)= 2c

積分定数 2c を C と書くと

y(y-...続きを読む


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