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質問があります。今ルベーグ測度について勉強しているのですが,ルベーグ測度0というのはどういう意味なのでしょうか??

A 回答 (4件)

はじめまして。



測度というものは、集合の”大きさ”と捉えてよいと思います。ですから、測度0というのは、”大きさ”がないという意味と考えてはどうでしょう。

数学を少しはかじっていますが、専門ではないのでちゃんとした説明できないことをお許しください。
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#3のconnykellyです。


>点の集合はルベーグ測度0になるのでしょうか??
何の点の集合のことでしょうか。有理数の点の集合の場合はルベーグ測度は0になります。ところで私もあまり詳しくないのでそろそろボロがでそうですが(笑い)、#3の参考URLからの引用「各有理点の長さはどんな小さな正の数εよりも短いのでそれらを全部(「アレフ0」個=可算個だけ)加えてもε+ε/2+ε/4+ε/8+・・・=2εよりも短いので合計で 0 ということになります。つまり、無限小を「可算個」集めても、無限小のままですが「非可算個」集めると有限な大きさになることもある、というわけですね。面積や体積でも同じような話ができます」というところを適当なテキストを参照されながらよく吟味されればと思います。。。

参考URL:http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2 …
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ルベーグ測度を理解するには無限集合論を勉強する必要があることはご存知のことと思います。

そこでルベーグ測度0という意味合いですが、参考URLにこの辺りの消息が書かれていますので一度ご覧になられてはいかがでしょうか。
以下、そこからの引用
「一般的な話としては「ルベーグ測度」=長さ、面積・・・を考える際には「濃度」が「可算」か「非可算」かで大きな差があります。たとえば閉区間[ 0 , 1]の長さは1ですが、有理数=有理点の個数は「可算」、つまり「アレフ0」個なので長さは 0 です、したがって、連続無限個「アレフ1」個の無理数=無理点のみの長さは差し引き1ですね。」という調子です。
http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2 …

参考URL:http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2 …
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この回答へのお礼

おれいが遅くなってすいません。ありがとうございました。もう一つ質問があるのですが,点の集合はルベーグ測度0になるのでしょうか??

お礼日時:2006/10/21 13:38

ルベーグ測度が0というのは,文字通りルベーグ測度が0ということになるわけでこれ以上説明しようがないのですが,問題は,ルベーグ測度が0となる集合(零集合とよびます)にはどのような性質があるかということを問題にしているものと思います.


点は,ルベーグ測度0で,また可算無限個の点集合もルベーグ測度の可算加法性により,ルベーグ測度0となります.また,カントール集合のような不可算無限点集合もこの可算加法性により求めることができ,0となります.
ルベーグ積分の巧妙な点は,このようなルベーグ測度が0となる点を除外して考えることができる点にあります.
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Q有理数の測度

有理数の集合の測度が0であることの証明は
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3714410.html
が定石だと思うのですが、その証明の過程で起こってることがとっても不思議です
「稠密な集合の1点1点を幅のある区間で覆っている」のに、Rを覆えないどころか、区間の幅の和がいくらでも小さくなっちゃうなんて。。。

このことについて、「なるほど~」と思える解説を教えてください
(集合の濃度にはあまり触れずにおねがいします)
よろしくおねがいします

Aベストアンサー

#1です。

> うーん、集合和を有限で止めている覚えはないんですけど。。。

なるほど、質問の意図を読み違えていました。

> だからRを覆っているということはないはずです。

あまり、触れないように避けたのですが、Rって、実数集合のことだったんですね。
Rationalかと思ったのですが、有理数は、普通Qでしたよね。
たしかに、Rは、覆っていませんでした。

Rを覆っていないというのは、どんどん小さくなっていく加算無限の区間列の和集合に含まれないような実数が、どこかわからないけど、存在するといったイメージでしょうが、
実際、区間列の生成方法をうまく決めれば、そのような実数を探し出すことができそうな気がします。

そのような実数があったとして、その実数の近くのどの有理数をとっても、
その有理数を含む区間は狭すぎて、その実数を含まない状況になっていると想像できます。

専門家でなく、また、結構ブランクがあるので、ちゃんとした確認までしてませんが、
(と言い訳させていただきますが)
たぶん、あっているのではないでしょうか?

#1です。

> うーん、集合和を有限で止めている覚えはないんですけど。。。

なるほど、質問の意図を読み違えていました。

> だからRを覆っているということはないはずです。

あまり、触れないように避けたのですが、Rって、実数集合のことだったんですね。
Rationalかと思ったのですが、有理数は、普通Qでしたよね。
たしかに、Rは、覆っていませんでした。

Rを覆っていないというのは、どんどん小さくなっていく加算無限の区間列の和集合に含まれないような実数が、どこかわからないけど、存在す...続きを読む

Qルベーグ可測集合ってなんですか???

ルベーグ可測集合を上手く捉えられません。

頭が悪いので簡単に説明して下さい。

今の自分の解釈は、

長さや面積や体積を持つ図形はどんな集合と言えるか?↓

ルベーグという名前の人が、これら(の図形)は測ることが出来るので、

長さや面積や体積を持つ図形の集合を「ルベーグ可測集合」と名付けた。

        長さ確定図形・・・・・・・・・・・・   1次元ルベーグ可測集合
        面積確定図形・・・・・・・・・・・・   2次元ルベーグ可測集合
        体積確定図形・・・・・・・・・・・・   3次元ルベーグ可測集合  という。

私の疑問は、Q1.長さや面積や体積を持つ図形以外に、ルベーグ可測集合に属するものは無いのか???

ということと、

Q2.「全ての図形はルベーグ可測というわけではない」  とは、どういう意味なのか???

ということです。測ることが出来ないくらい巨大な(宇宙サイズ?)図形に対して言ってるんですかね???

ちなみに、

面積(体積)がゼロの図形は、面積(体積)が0で確定しているので、面積(体積)を持つというそうです。
ってことは、面積(体積)0の図形はルベーグ可測集合に属しますよね?

面積が0の図形とは、円盤じゃなくて円周のこととか、
体積が0の図形とは、壁の無いお家(柱、骨組み)のこととか・・・ですか???

なんか的外れなことを言っていたらすみません・・・・

すっごく分かりやすく教えて下さい。

ルベーグ可測集合を上手く捉えられません。

頭が悪いので簡単に説明して下さい。

今の自分の解釈は、

長さや面積や体積を持つ図形はどんな集合と言えるか?↓

ルベーグという名前の人が、これら(の図形)は測ることが出来るので、

長さや面積や体積を持つ図形の集合を「ルベーグ可測集合」と名付けた。

        長さ確定図形・・・・・・・・・・・・   1次元ルベーグ可測集合
        面積確定図形・・・・・・・・・・・・   2次元ルベーグ可測集合
        体積確定図形...続きを読む

Aベストアンサー

次元は本質的ではないです。ちょっと誤解をうみやすい説明でしたね。
すみません。

理解のために、ユークリッド空間に限定してみましょう。例えば数直線(一次元)を全体集合とする場合で考えましょう。そして、長さの概念を考えましょう。ひとつの点(からなる集合)は、長さが0です。0、1区間[0,1](これも集合です)の長さは1です。数直線全体の長さは無限大です。(0でも無限大でも、定まっていれば長さです)ここまではえがける図で表現できます。

それでは、区間[0,1]の中の有理数からなる集合Xの長さは? これは図ではえがけませんが集合です。集合Xの長さを考える時に、複数の細かい区間で覆っていくことを考えます。有理数の集合は可算ですから、有理数をQ1,Q2,Q3,Q3,,,と番号をふることができます。例えば、Q1を長さ1/2の区間で囲み、Q2は長さ1/2~2で囲み、Q3は1/2~3で囲み、、、、と。この場合、覆う区間の長さの合計は、等比級数の和で1になります。次に覆う区間を短くしていきます、たとえば、Q1を長さ1/2~2の区間で覆い、Q2は長さ1/2~3で覆い、Q3は1/2~4でおおいと、、、(先ほどの等比級数であらわれた長さをひとつ、ずらしたものです)、、、この区間の長さの合計は1/2になります。このように、おおう区間をどんどん細かくしていくと、区間の長さの合計は0に収束します。この収束値0を、区間[0,1]の中の有理数からなる集合Xの長さとしましょうというのがルベーグの考え方です。(有理数からなる集合Xは可算ですから、こんなことは本当は必要ないのですが)、長さを決めるこのような方法を、数直線のいろいろな部分集合に適用して考えていきましょうというわけです。


以上の方法で集合の長さが決まり、どんな分割の方法であれ、わけられた部分の長さの合計が、その集合の長さと一致すれば、正しく長さを定めたことになりますが、それができない場合があるというのが、ルベーグ可測でない場合です。例えば、以下のリンクにあります

pauli.isc.chubu.ac.jp/~fuchino/papers/nagoya-logic-seminar-05.pdf

平面(2次元)を全体集合とし、その部分集合の面積を考える場合、長方形からなる区間でおおっていくことになります。そして、おおう区間を細かくしていって、、、おおう長方形の合計の面積の収束先を面積としましょうというわけです。

次元は本質的ではないです。ちょっと誤解をうみやすい説明でしたね。
すみません。

理解のために、ユークリッド空間に限定してみましょう。例えば数直線(一次元)を全体集合とする場合で考えましょう。そして、長さの概念を考えましょう。ひとつの点(からなる集合)は、長さが0です。0、1区間[0,1](これも集合です)の長さは1です。数直線全体の長さは無限大です。(0でも無限大でも、定まっていれば長さです)ここまではえがける図で表現できます。

それでは、区間[0,1]の中の有理数からなる集合Xの長...続きを読む

Q測度ゼロを持つ。の証明がどうしてもできません

[定義]E⊂Rが測度ゼロ"measure zero"を持つとは
0<∀ε,∃{I(n)}:有限か可算の区間の集合 such that E⊂∪[n∈N]I(n) 且つ Σ[n∈N]L(I(n))<ε
但し,L(I(n))は区間I(n)の長さを表す。

が測度ゼロの定義だと思います。その上で

[問]次を示せ。
(1) もしE1,E2が測度ゼロを持つならE1∪E2が測度ゼロを持つ。
(2) もし各E(n),n=1,2,… が測度ゼロを持つなら∪[n=1..∞]E(n)も測度ゼロを持つ。

の問題で四苦八苦してます。
ご助言賜りますよう宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

E1,E2,E3,…が測度0ならば、任意のε>0に対して、
E1は区間の長さの和がε/2未満の区間の和集合に含まれる
E2は区間の長さの和がε/2^2未満の区間の和集合に含まれる
E3は区間の長さの和がε/2^3未満の区間の和集合に含まれる
・・・
として行けば、E1∪E2∪E3∪…は区間の長さの和が、
ε/2+ε/2^2+ε/2^3+…=ε未満の区間の和集合に含まれる。
よって、E1∪E2∪E3∪…の測度は0である。
というような方針ではどうでしょうか?
良く2つの場合はε/2を使ったり、3つの場合はε/3を使ったりしますね。
これと同じ要領でε/anでΣanが収束するようなものを考えました。

Q上極限、下極限が理解できません

大学で習っているのですが、limsupやliminfなどが定義を見ても、どういう意味なのか理解できません。

上界、下界、上限、下限については例があったので、なんとか理解することができました。


X={1,2,3}⊆Zのとき、下界の1つとして0がとれる。

こんな感じで、簡単な例つきで説明して下さると、理解できると思うのですが・・・。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

上極限

sin(n)で考えましょう。nは自然数です。
sin(n)は振動しているので極限はないけど、
「nが大きい時(というか初めからだけど)1を超えることはない」
「1付近の値を何回も(無限回)とる」
から1が上極限です。
ことばでいえば、
「ずっと先のほうでは、上極限の値より大きくならない」
(極限の意味でです。∀ε>0に対し上極限+εより大きくならないってことです)



この例では下極限はー1ですね。

(sin(n)-1)*n の場合だと、
上極限は0で、下極限は「なし」(-∞)となりますね。

Q数学科の大学院卒の方々は就職後、数学をあきらめるのか?

数学科の大学院では、研究者向けの内容を勉強していていると思います。
研究者になれる人はまれで、ほとんどが挫折して、就職していくと思います。
就職先では、たとえ数学を使う仕事であったとしても、大学院での内容とは完全に異なると思います。

社会人になると、そのような仕事のために、時間と情熱を使い、数学を勉強し続けたくても、現実には困難と思います。

実際、数学科の大学院卒の方々は就職後、数学をあきらめるのでしょうか?

あきらめないにしても、どのような数学の方向性を目指していらっしゃるのでしょうか?

Aベストアンサー

 基礎数学にせよ応用数学にせよ、その気になれば就職口はあります。

 知り合いの後輩で、今年度ソニーに就職した人がいます。
 大学院時代の専攻は符号理論で、楕円暗号の研究をしていたとか。

 他、大規模科学計算の必要なところなら、電子回路の設計にせよ、大規模な統計処理にせよ、プラント設計におけるモデリングにせよ、いろいろと仕事はあります。
 No. 1 さんの仰るような金融商品のデザインや、株価動向の解析(いわゆる経済数学、経営工学など)といった仕事もあります。

 それらの経験を通じて、やがて大学に戻るというキャリアを積む人もいますよ。
 中には趣味レベルながら内容的には高水準の基礎数学の研究を続けている人だって居ます。

 大学等で数学の研究職に拘って生きている人は極めて稀ですが、数学に触れ続けるだけなら数学科卒でなくてさえ可能だと思います。
 就職する人だって、挫折して研究者の途を諦めた人ばかりではありません(再受験などを経て、別の分野で研究職を目指す人もいるくらいですし)。

QBorel集合の例

「実数直線R上のボレル集合体 B(R) は、R 内の任意の区間を含む最小の完全加法族である」のは正しいと思いますが、実数直線上の完全加法族で、B(R)を真に含んでいるものの例はあるのでしょうか?
(ただし、Rには通常の位相を入れるものとします。)

Aベストアンサー

ANo.2です。すでにANo.4で指摘されていますが、ボレル非可測なルベーグ可測集合の作り方は以下の通りです。
1. ルべーグ非可測集合を用意する(これには選択公理を使う)
2. カントール関数を使って1のルベーグ非可測集合をカントール集合の中に写像する
3. 2の像はカントール集合の部分集合なのでルベーグ測度ゼロ、従ってルベーグ可測になる
4. カントール関数は連続なので2の像はボレル可測ではない(これがボレル可測なら1もボレル可測になってしまう)

あと、検索したら非ボレル集合の構成方法がありました。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9C%E3%83%AC%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88
ただこの例の集合がルベーグ可測かどうかは分かりません。

Q集積点が、まったく分かりません!!

集積点の意味がまったくわかりません。詳しく教えてください。

Aベストアンサー

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるようなx以外のAの要素が存在するような点」
と言い替えられます。

直観的な言い方をすれば、x∈XがAの集積点であるとは
「xのどんな近くにも(x以外の)Aの点がある」
と言う条件をみたすような点のことです。

ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。
集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。
すなわちx∈XがAの孤立点であるとは
xがAの要素であり  …(S1)
かつxのある近傍とAの共通部分にx以外のAの点が含まれない。…(S2)
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなAの要素はxだけであるような点」
となります。

注意していただきたいのはx∈AであることはxがAの集積点であるためには
必要でも十分でもないということです。
xがAの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、Aの点でないような
Aの集積点も存在します。
しかし孤立点と言う概念は集合Aの要素に対して与えられる概念ですから、Aに
属さない点が(S2)の条件だけ満たしてもそれをAの孤立点とは呼びません。

あとは距離空間(ユークリッド空間)での簡単な例を挙げておきますのでイメージをつかんで下さい

例(1)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| x^2 + y^2 < 1} ∪ (2.0)
とします。つまりAは原点中心半径1の開円盤と点(2,0)の和集合です。
するとAの集積点(の集合)は
{(x,y)∈X| x^2 + y^2 ≦ 1}
すなわち原点中心半径1の開円盤とその境界となります。
点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。

例(2)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| y = sin(1/x) ,x∈(0,∞) }
とします。Aの集積点(の集合)はA自身と集合
B={(0,y)∈X| y∈[-1,1] }
の和集合です。

例(3)Xを1次元ユークリッド空間として
A= { 1/n | n=1,2,…}
とします。原点{0}はAの集積点です。しかしA自身の点はすべて孤立点です。

例(4)Xを1次元ユークリッド空間として
Aは開区間(0,1)の有理点。すなわち
A= { x∈(0,1)|xは有理数 }
とします。Aの集積点(の集合)は閉区間[0,1]です。

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるよう...続きを読む

Qボレル集合族って何ですか???

ボレル集合族を、イマイチ上手く捉えられません。

頭の悪い自分なりに考えたのですが、

自分の解釈が正しいのか全く分かりません。

指摘お願いします。

ちなみに自分なりの解釈↓

全体集合Ω={ω1、ω2、・・・・・}  Ωの元の個数はM個

Ωの部分集合の全ての集合F={Ω、Φ、ω1、ω2、・・・、(ω1ω2)、・・・} 
  Fの元の個数は2^M個で、FはΩのσ加法族

A⊂Fがあるとき、Aの次に、Aを含む最小のσ加法族:Bが存在する。
このBが、ボレル集合族で、ボレル集合族の元をボレル集合という。

つまり↓

Ω={ω1、ω2、・・・・・}

F={Ω、Φ、ω1、ω2、・・・、(ω1ω2)、・・・}

A⊂F

A={・・・・・・・}
B={A、・・・・・・・・・・}         BはAのσ加法族
C={A、B、・・・・・・・・・・}       CはBのσ加法族
D={A、B、C、・・・・・・・・・・}     DはCのσ加法族
E={A、B、C、D、・・・・・・・・・・}   EはDのσ加法族




A∊B∊C∊D∊E・・・で、 B、C、D、E・・・はAを含むσ加法族で、

B、C、D、E・・・のうち最小なものはBなので、BはAのボレル集合族である。

ってことですかね???

よく分からないのは、ボレル集合族の条件に、Ω∊B とありますが、

私の解釈だと、Ω∊B となっていません。 ???って感じです。

ちなみに私の解釈だと、全ての集合には、そのボレル集合族が存在します。
で、ある集合がボレル集合族ということは、その集合の元を集合とする集合があるってことです・・・?


頭が悪いので、むちゃくちゃ簡単に教えてもらわないと理解出来ません。

図書館で確率論の教科書を色々呼んだんですが、難しく書かれてあって、???です。

助けて下さい。

ボレル集合族を、イマイチ上手く捉えられません。

頭の悪い自分なりに考えたのですが、

自分の解釈が正しいのか全く分かりません。

指摘お願いします。

ちなみに自分なりの解釈↓

全体集合Ω={ω1、ω2、・・・・・}  Ωの元の個数はM個

Ωの部分集合の全ての集合F={Ω、Φ、ω1、ω2、・・・、(ω1ω2)、・・・} 
  Fの元の個数は2^M個で、FはΩのσ加法族

A⊂Fがあるとき、Aの次に、Aを含む最小のσ加法族:Bが存在する。
このBが、ボレル集合族で、ボレル集合族の元をボレル集合という...続きを読む

Aベストアンサー

ごめんんさいA^cは書き方がまずかったです。
Aの唯一の要素であるa=(ω}の補集合a^cが(ω2,ω3...ωm}と書くべきでした

ボレル集合族の定義自体は書かれている通りです。
ただそれは、全集合Ωで定義されるσ加法族の一つでしかないということです。

Q可測集合の測度について

ユークリッド空間の可測集合Eの測度が>0のとき

Eの内点は存在するでしょうか?

Aベストアンサー

実数全体(1次元ユークリッド空間)を全体空間として、0 < x < 1 なる無理数全体を E とすれば、E は、次を満たします。

1 Borel 集合(したがってLebesgue 可測)
2 測度は 1 (したがって > 0 )
3 内点を持たない

Q同型とは?

複素解析の本に
『複素数からその共役にうつる演算は体Cの1つの自己同型である』
とか
『体Cの同型で部分体Rの元を動かさないものはα→α(つまりなにも動かさぬ同型)とこの共役に限る』
とあるんですが、『同型』という言葉の定義について何も書いてありません。

同型とはなんですか?

Aベストアンサー

2つの体KとLが同型というのは、
KとLが同じ構造をしている
ということで、ぶっちゃけた話
KとLは同じものだと思ってもさしつかえないよ
ということです。
(これは私の同型というものに対するイメージです。)

厳密には、
2つの体KとLが同型というのは、KからLへの同型写像がある
というもので、同型写像とは
全単射な準同型写像
のことです。
KからLへの準同型写像とは
任意のa,b∈Kに対し f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b)
を満たすKからLへの写像(関数)fのことです。

例を1つ。
R^2={(x,y)| x,yは実数}と複素数体Cは同型です。
R^2からCへの写像fを
f(x,y)=x+iy (iは虚数単位)
と定めるとfは同型写像になるからです。
R^2とCは同型なのですから
R^2とCはほとんど同じものだと考えてよいことになります。

また、自分から自分への(つまりCからCとか)の同型写像を
自己同型写像、あるいは略して自己同型といいます。
f(x+iy)=x-iy というある複素数をその共役に写すという写像fは
自己同型写像になりますよ、というのが
>『複素数からその共役にうつる演算は体Cの1つの自己同型である』
の述べていることです。

詳しく知りたいのでしたら代数学の本をひもとく必要がありますが、
そこを理解しないと先へ進めないということもないでしょうから、
(というのは質問にある『体Cの同型でうんぬんなんてのは
複素解析を学ぶ上でははっきり言ってどうでもいいことだからです)
頭の片隅にでも残しておいて飛ばしてもいいと思いますよ。

2つの体KとLが同型というのは、
KとLが同じ構造をしている
ということで、ぶっちゃけた話
KとLは同じものだと思ってもさしつかえないよ
ということです。
(これは私の同型というものに対するイメージです。)

厳密には、
2つの体KとLが同型というのは、KからLへの同型写像がある
というもので、同型写像とは
全単射な準同型写像
のことです。
KからLへの準同型写像とは
任意のa,b∈Kに対し f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b)
を満たすKからLへの写像(関数)fのことです。

例を...続きを読む


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