吊り橋のケーブルの形は放物線？

Question

学校図書の中学校３年数学の教科書には、
「（略）・・・くさりは懸垂線と呼ばれる放物線に似た形になりますが、因島大橋などのように重量の大きいつり橋では、ケーブルは放物線をえがくことが知られています。」という記述があります。
また、表紙をめくると長崎県佐世保市の西海橋の写真があり、橋げたが放物線であることを連想させます。

「放物線である」ことの真偽を教えてください。

YHU00444 · Accepted Answer

まず、ケーブルが自重で垂れ下がっている状況では、その形状が「懸垂線」になるのは皆さんのご説明の通りです。（これは「変分法」の典型例）

一方、ここでANo.2に示された状況下、つまり、ケーブル・吊材の質量が床版に比べて極めて軽く無視できる状況を考えてみましょう。

吊り橋の中間点をx=0とするxy座標を引き、ケーブルの各点(x,y)での張力をT=(T_x,T_y)、x方向に単位長さあたりの床版の質量をMとしてつりあいを求めると
T_y(x+dx)-T_y(x)=M*dx , T_x(x+dx)-T_x(x)=0
となるからT_yのみで考えてOK。よってT_yを区間[0,x]で定積分してT_y(x)=M*x。
ところで、Tは張力なのだから各点でケーブルの方向に掛かっているはずで、その成分もケーブルの傾きと一致している。だからdy/dx=T_y/T_xで、よってdy/dx=(M/T_x)*x。
この右辺のかっこ内が定数であることを考えれば、あとはxの積分で二次が出てくるのは自明の理かと。

SortaNerd · Answer

とりあえず感覚的に回答しますと、

ケーブルのみを吊った場合、質量源はケーブル自身ですので、ケーブルの長さが質量に比例します。
重さのないケーブルに橋桁を吊った場合、質量は橋桁の長さに比例するので、橋桁とケーブルが角度をなしている端部分ではケーブルの単位長さに対して質量が少なくなります。

と言うわけで、少なくとも懸垂線ではないです。計算するとNo5さんの回答のようになるのでしょう。

a-saitoh · Answer

ケーブル自体の重量が大きい場合ではなく、「重量の大きな橋げたがしたにぶら下がっている場合」といいたいのだとおもいますよ。

いくら重くても橋げたなしのケーブルだけだったら懸垂線です。

530529 · Answer

一般には双曲線関数と呼ばれる物かと思います。
単にケーブルの両端を固定して張ったとすれば、
「懸垂線」となるでしょう。
ただ、理想的な場合はともかく、現実には放物線での近似になるかも知れません。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E9%96%A2%E6%95%B0

chirubou · Answer

気になって調べてみたら、重量の大きい場合は懸垂曲線ではなく、放物線になるようです。

参考URL：http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/quadratic/reference/bridge.html

alpha123 · Answer

あれは正しくは「懸垂線」じゃないかな？
http://www001.upp.so-net.ne.jp/a-sasano/catenary.htm

吊り橋のケーブルの形は放物線？

まず、ケーブルが自重で垂れ下がっている状況では、その形状が「懸垂線」になるのは皆さんのご説明の通りです。

とりあえず感覚的に回答しますと、

ケーブル自体の重量が大きい場合ではなく、「重量の大きな橋げたがしたにぶら下がっている場合」といいたいのだとおもいますよ。

一般には双曲線関数と呼ばれる物かと思います。

気になって調べてみたら、重量の大きい場合は懸垂曲線ではなく、放物線になるようです。

あれは正しくは「懸垂線」じゃないかな？

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