三つのベクトルa→=(1.1),b→=(1,-1), c→=(1.2)に対して、
(1)xa→+yb→で表せられるベクトルがc→に垂直であるとき、xとyとの間に成り立つ関係式を求めよ。
(2)さらに、このベクトルの大きさが2√5であるとき、xa→+yb→をもとめよ。
この問題大体とけたのですけど、最後の部分だけ、教科書の解答通りになりませんでした>_<
まず(1)はxa+ybなので、x(1.1)+y(1、-1)=(x+y、x-y)より、垂直の公式は=0となるので、これに当てはめて式を作ると、y=3xと求まりました。
(2)は、題意にさらにこのベクトルの大きさが2√5であるときというので、|xa+yb|=2√5とまず考え、
(1)の時にxa+yb=(x+y、x-y)と求まっているので、
(x+y)`2+(x-y)`2=2√5の二乗より
x`2+y`2=10と求まり
(1)よりy=3xと求まっているので上の式に代入すると、
x=±1、y=±3 と求まりました。
ここまでは出来たのですけど、最後の部分で教科書をみると
答えが
∴xa+yb=(4,-2)、(-4,2)と解答でなってます。
これはどうやってx=±1、y=±3 から(4.-2)、(-4,2)と求めたのかわかりませんでした。>_<
どなたか教えてください宜しくお願いします!!!
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
ベクトルを頭に描きます。
aは原点から(1,1)に向かうベクトル、bは原点から(1,-1)に向かうベクトル、
x・aは原点から(x,x)に向かうベクトル、y・bは原点から(y,-y)に向かうベクトル、
x・a+y・bは原点から(x,x)に向かうベクトルに、起点を(x,x)に移したy・bベクトルを加える、
つまり、(x,x)から(x+y,x-y)に向かうベクトルを描き加え、
原点からその終点(x+y,x-y)に向かうベクトルを描く。これが問題のベクトルとなります。
(1)
原点から(x+y,x-y)に向かうベクトルが、原点から(1,2)に向かうベクトルcと直交している。
従って、{(x-y)/(x+y)}・(2/1)=-1
これから、2(x-y)=-(x+y)、つまり、y=3x
(答えられたように、1・(x+y)+2・(x-y)=0 としても同じ結果を得ます。)
(2)
さて、原点から(x+y,x-y)に向かうベクトルの大きさは、√{(x+y)^2+(x-y)^2}であり、
yは既に3xに等しいことを知っている。
従って、√{(x+3x)^2+(x-3x)^2}=√(20・x^2)であり、これが2√5に等しいとされている。
√(20・x^2)と2√5を比較して、共に正であることが確認できるので無条件で自乗してもよい。
自乗すると、20・x^2=20、故にx=±1で、これから、y=±3
問題のベクトルの終点は、(x+y,x-y)だから、数値を代入して上号のとき、(1+3,1-3)=(4,2)
下号のとき、(-1+3,-1-3)=(2,-4)
従って、答えは (4,2) または (2,-4)
No.1
- 回答日時:
仮定は、
a=(1.1),b=(1,-1) ・・・(A)
導出した小結論は、
y=3x ・・・(1)
(x,y)=(±1,±3) (複合同順) ・・・(2)
(A),(2)から、解答に結びつく。
すなわち、
i)x=1のときはy=3で、このとき、
xa+yb=(1,1)+3(1,-1)=(4,-2)
)x=-1のときはy=-3で、このとき、
xa+yb=-(1,1)-3(1,-1)=(-4,2)
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