「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

(d/dx)∫(a~b)f(x,y)dy(つまり、f(x,y)をyで積分(定積分)したものをxで微分したもの)を考えます(ただし、(a~b)は積分範囲を表し、aやbは定数であって、xの関数ではありません)。
これは多くの場合、∫(a~b)(d/dx)f(x,y)dy(つまり、f(x,y)を先にxで微分してからyで積分したもの)と等しくなります。しかし、まれに一致しない場合があります。例としては、f(x,y)=(sin xy)/y (x>0)の場合が挙げられます。
そこで、
(d/dx)∫(a~b)f(x,y)dy=∫(a~b)(d/dx)f(x,y)dy
が成立するための必要十分条件を教えていただきたいと思っています。
もし簡単には述べられない条件でしたら、何のどこを参照すればこのことが論じられているのかを具体的にご教示いただけると幸いです。

A 回答 (1件)

積分と微分の順序交換については


必要十分条件は一般にはありません.
ただし,十分条件は知られています.

リーマン積分の範囲だと
f(x,y)が連続で,f_y(x,y)も連続くらいの条件があれば
d/dy∫f(x,y)dx = ∫f_y(x,y)dx
くらいがいえるはずです.
#積分区間とかは省きます.

その十分条件で一番便利だろうと思われるものは
ルベーク積分の言葉で記述されます.
興味があれば,「ルベーク積分」の本を
追いかけてください.
・ルベークの有界収束性定理
・L^1空間
というようなものが理解できれば,順序交換の定理は理解できます.

この回答への補足

回答ありがとうございます。要するに、ルベーグ積分の「微分と積分の順序交換の定理」が一番便利な(=包括的な?判別がしやすい?)十分条件を述べているのですね。その定理の内容は、これまでのヒントがあれば自分でも調べられると思いますが、「ルベークの有界収束性定理」と「L^1空間」の基本的なことがわかっていれば理解できる程度の定理なのであれば、定理をそのまま紹介していただけると、最も助かります。
なお、
>f(x,y)が連続で,f_y(x,y)も連続くらいの条件があれば
>d/dy∫f(x,y)dx = ∫f_y(x,y)dx
>くらいがいえるはずです.
というのは、私の提示したf(x,y)=(sin xy)/y (x,y>0)がすでに例外となると思うのですが、いかがでしょう(回答者様の記号の使い方では、f(x,y)=(sin xy)/x (x,y>0)の場合)。

補足日時:2006/10/13 22:44
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この回答へのお礼

だいぶ前になってしまいましたが、回答ありがとうございました。その後、かなり限定された十分条件さえわかっていればとりあえず自分にとっては問題ないことがわかり(かつ、その十分条件は自分で考えつき)ましたので、しばらくはそのままにしてしまっておりました。しかし、昨日、本屋に行ってルベーグ積分の教科書を何冊かぱらぱらとめくり、「積分記号のもとでの微分」に関わる定理で、なかなか使い勝手のよいものを見つけ、「ああ、おそらくこの定理のことをおっしゃっていたのだろうな」と合点しました。
もしその定理のことをおっしゃっていたのだとすれば、「便利」というのは「判別がしやすい」ということであろうかと思います。
私の理解が正しければ、積分区間が有限の場合は、リーマン積分でもルベーグ積分でも十分条件は簡単なものになるが、無限が入るとリーマン積分では条件が複雑になる(私が質問時に提示した事例はまさにそこで引っかかるものでした)のに対して、ルベーグ積分では判別が比較的簡単な十分条件が知られている、ということだと思います。

お礼日時:2006/11/11 17:50

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