教えて!gooにおける不適切な投稿への対応について

平面における三角形の面積は、外積(平行四辺形の面積)を
2で割って求められました。
空間における三角形の面積を求めようと、外積を求め2で割っても
三角形の面積になりませんでした。
なぜなのでしょうか?

gooドクター

A 回答 (8件)

>外積=ベクトルなんでしょうか?


そうです!! ここが、質問者さんが勘違いされていたところですね。
外積と呼ばずに「ベクトル積」と呼べ(覚えれ)ば、誤解しなかったですね。
これに対し、内積はスカラー積とも呼ばれています。

参考URL:http://www12.plala.or.jp/ksp/formula/mathFormula …
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質問者の計算間違いです。


私が計算したらちゃんと√21になりましたけど。

ベクトルAB(-1,2,0)とベクトルAC(-1,0,4)の外積は
(8,4,2)というベクトルです。

このベクトルの大きさ(すなわち面積)は
√(8*8 + 4*4 + 2*2) = 2√21
です。
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この回答へのお礼

外積=ベクトルなんでしょうか?
なんだかこんがらがってきました。
どうもありがとうございました。

お礼日時:2006/10/22 19:23

そもそも「外積」を間違っています.


(高校レベルでの)ベクトルの外積というのは,
二つの空間ベクトルに対して,
それらと同時に直交するベクトルの一つを求める計算です.
平面ベクトルに対しては定義されません.

あなたがいってるのはむしろ「行列式」というものです.
a c
b d
という行列に対して,ad-bcを行列式といいますが,
平面ベクトル(a,b),(c,d)によって作られる
平行四辺形の面積が|ad-bc|で表されるので
三角形の面積はその半分になります.

これの三次元版はこんな簡単なものではありませんし,
三次元の場合は「平行六面体」が相手になります.
つまり,三つの空間ベクトル(a,b,c),(d,e,f),(g,h,i)に対して
これらが作る平行六面体の体積は
行列
a d g
b e h
c f i
の行列式の絶対値です.更に,三次正方行列の行列式は
aei+dhc+gbf-gec-hfa-idbという複雑な形です.
#もっと次元があがっても同じで,行列式の絶対値を
#体積要素とかいうこともあります

この回答への補足

二次元でのA(a,b)、B(c,d)に対しての行列式
ad-bcの絶対値は平行四辺形の”面積”を表す。

三次元でのA(a,b,c),B(d,e,f)に対しての行列式
bf-ec+cd-fa+ae-dbの絶対値は平行六面体の”体積”を表す。

二次元の時は平行四辺形を半分にすれば三角形だから
三角形の面積が求まるが、三次元の時は行列式の絶対値は
体積を表すからそれを半分にしても立体がふたつに分割される
だけで三角形にならないから、面積など求められるわけもない。

・・・ということでよろしいでしょうか?そして私の間違いは、
”たまたま”2次元で通用することを3次元に持ち込んだことによる
とかんがえてよろしいでしょうか?

補足日時:2006/10/21 16:51
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ちゃんと、外積の「絶対値」の半分を求めましたか?



AとBの外積の「絶対値」は、
 SQRT{(A.A)(B.B)-(A.B)^2} --- (A.B)はAとBの内積
に等しいはずなので、検算してみて。

この回答への補足

SQRT{(A.A)(B.B)-(A.B)^2}=SQRT{5*17-1^2}=SQRT{84}
△ABC=1/2*SQRT{84}=√21
すごいです!できました!
でも、何故2次元の場合は行列(?)の絶対値を2で割ればよかったのに、
3次元の場合は行列(?)と外積の絶対値が全く関係ないのでしょうか?
(以下は2次元と3次元の違いを自分なりにまとめてみた結果です。)

【2次元】
A(a,b)、B(c,d)
内積 A・B=(a,b)・(c,d)=√(a^2+b^2)*√(c^2+d^2)*cosθ
外積 A×B=(a,b)×(c,d)=√(a^2+b^2)*√(c^2+d^2)*sinθ
外積の絶対値 |ad-bc|
行列? ad-bc

【3次元】
A(a,b,c),B(d,e,f)
内積 A・B=(a,b,c)・(d,e,f)=√(a^2+b^2+c^2)*√(d^2+e^2+f^2)*cosθ
外積 A×B=(a,b,c)×(d,e,f)=√(a^2+b^2+c^2)*√(d^2+e^2+f^2)*sinθ
外積の絶対値 |bf-ec+cd-fa+ae-db|ではなく、SQRT{(A.A)(B.B)-(A.B)^2}
行列? bf-ec+cd-fa+ae-db

補足日時:2006/10/21 16:42
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三次元ベクトル二つの外積は、三次元ベクトルです。

外積の定義、および外積と平行四辺形の面積の関係を確認しましょう。
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この回答へのお礼

実はこの質問をする前に、Googleで”外積”で検索してそのページの
検索結果全てに目を通しました。外積の定義も確認したのですが、
外積=三角形の2倍という思い込みが強すぎて、ただの演算(?)という
ことに気づきませんでした。三角形の面積はあくまで副次的なものなんですね。
どうもありがとうございました。

お礼日時:2006/10/21 16:04

2辺の長さを求めても駄目でしょう?


底辺×高さ÷2だもの

この回答への補足

よろしければもう少しわかりやすい説明を
していただけないでしょうか?
2辺の長さというのがよくわかりません。
よろしくお願いします。

補足日時:2006/10/21 15:58
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 あなたの計算過程をお示しください。

この回答への補足

問題は次のようになります、
A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,4)が与えられていて三角形の面積を求めよ、
というものです。
私は、ベクトルAB(-1,2,0)とベクトルAC(-1,0,4)から外積が、
|8-0+0+4+0+2|=14 となったので、2で割って7を答えとしましたが、
答えは√21でした。

補足日時:2006/10/21 14:31
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実際の問題はどのようなものでしょうか?

この回答への補足

問題は次のようになります、
A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,4)が与えられていて三角形の面積を求めよ、
というものです。
私は、ベクトルAB(-1,2,0)とベクトルAC(-1,0,4)から外積が、
|8-0+0+4+0+2|=14 となったので、2で割って7を答えとしましたが、
答えは√21でした。

補足日時:2006/10/21 14:26
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