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球体の回転エネルギーは0なんですか?
教科書を見てみると球体の慣性モーメントは、ゼロになると解釈できるのですが、回転の速度や球体の大きさでエネルギーが変わるように感じます。

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A 回答 (8件)

遅くなり大変申し訳ないです。



古典論的な議論は、それはそれとして矛盾はないと考えています。

ただ、もしかすると全般的に議論を修正せざるを得ないかも
しれないです。統計力学で、エネルギー等分配の法則というのがあって、これは分子の自由度1つにつき1/2kTのエネルギーがあるというものですけど、通常、重心座標の並進の自由度3に加え、分子の回転の自由度、振動の自由度について付与されます。この回転の自由度というのが、例えば二原子分子ならθとφです。θが、二原子の相対位置ベクトルのz軸となす角度、φが、相対位置ベクトルをxy平面に射影したものが
x軸となす角度です。それらの二つの座標につき、1/2kTのエネルギー
が付与されます。

つまり、仮に二原子の軸を中心に回転するだけだとしたら、
θもφも0のままです。だから、仮に分子軸の周りに回転していたとしても、エネルギーは付与され得ないと言うことになります。
エネルギー等分配則に従わないからといって、分子軸の周りの回転が
0であると断定はできませんが、その可能性は高いのかもしれません。
単原子分子の場合にも同様なことがいえると思います。
統計力学的にもこうなので、ちょっと
古典力学で説明は出来ないかもしれません。

なお、少し付け加えると、単原子分子=球体ではないと思います。
エネルギーの状態により、形は変化すると思います。水素原子の
s状態(角運動量0の状態)の形(電子の確率分布)は、球体といわれます。
でも、p,d等では球体ではありません。だから、単原子分子の
軸の周りの回転エネルギーが統計力学的に0というのは、
一概に"量子論的球体"の慣性モーメント(能率)が軸対称性により0だからだ、とも即断は出来ないと思います。
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♯6の内容、少し変でしたので一部訂正します。



まず、分子軸の周りだけ回転していても、
φの自由度だけはありますよね。だから、その分1/2kT
分配されておかしくない。でも、統計力学の教科書(岩波、物理入門コース)を見ると、
並進の自由度3に加え、自由度がプラス1されたものに対応する
二原子分子の比熱のデータがありません。プラス2されたものなら
あるのです。比熱はfR/2=f[cal/K]で、3があって、4がなく5以上なら
あるというものです。なおR=2cal。つまり、分子軸の周りにだけ回転するものに
対応するエネルギーの吸収がないということです。
ここで、3があるとさりげなく書きましたが、これは希ガス原子の
比熱のデータです。つまり単原子分子のものです。
単原子分子の比熱がfR/2=f[cal/K]≒3ということは、単原子分子
の回転によるエネルギーの吸収がなく、並進のみエネルギーの吸収があるということです。
やはり、近似うんぬんではなく根本的に回転していないということでしょうかね。回転がないなら確かに慣性モーメントもありませんか...
私もこれ以上は分かりません。
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この回答へのお礼

grothendieckさん、sky fireさんありがとうございました。
書いていただいた参考文献を探してみて、改めてそれを見ながら考えてみたいと思います。
こちらが参考にしていた教科書は、物理化学の教科書(アトキンス)なのですが、そこでも定容熱容量の部分で「単原子気体では運動モードは並進しかない」という一文があったので熱力学的に考えるなら単原子分子の回転はないと考えていいのかもしれません。まだ、詳しく読んでないので確かかわかわかりませんが。。。

お礼日時:2006/11/06 10:58

原子核の殻模型は平均ポテンシャルの中を核子が独立に運動するとし、原子と同じ様に内側の軌道から核子がつまって行くと考えます。

球形核とは「核子がs軌道にしか入っていない核」ではなく、一番外側の軌道が埋まっている核(閉殻)です。単原子分子になるのは一番外側の軌道が埋まっている原子だと思います。何度も言いますが、私は原子・分子のことは知らないのでこれ以上のことを言うのは控えます。
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原子核の教科書を見て頂きたいのですが、変形核の回転運動は書いてあっても球形核の回転運動は書いてないはずです。

変形核も球形核も大きさは大して違わないのになぜ変形核だけが回転運動をするのでしょうか。原子核がある軸の周りに軸対称な形をしているとき、この軸に関する慣性能率は0です。このことはどの本にでも書いてあるのですが、一つだけ挙げるとすれば
 池田清美、高田健次郎「原子核構造論」p.134
角運動量の固有値はJを整数としてJ(J+1)という形をしています。私は分子の回転・振動のことは知らないのですが、単原子分子でJ(J+1)という形の回転スペクトルは観測されていないのではないでしょうか。
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質問を整理しましょう。


一般的な"球体"について慣性モーメントは、球の半径a,質量Mとして
I=2/5Ma^2です。I=∫∫∫ρ(x^2+y^2)dxdydzで計算できます。
回転に伴う運動エネルギーは、U=1/2Iω^2
U=∫∫∫1/2ρ(x^2+y^2)ω^2dxdydz=1/2Iω^2です。回転のエネルギーも
慣性モーメントも0ではありません。だから、量子論における"球体"
の角運動量、回転エネルギーが0だとしても、球体全体に一般化は出来ません。
目に見える大きさの球体が回転する時、その球体を構成する
各々の無数にある原子は、回転してはいますが自転ではなく、公転です。それらの総和がU=1/2Iω^2となり、I≠0でもあるということです。

なお、二酸化炭素の軸の周りの回転対称性が球体と同じだからといって、
それが即、原子核の球体の回転対称性→回転により状態が変わらない
→回転していない、ということと同じレベルに議論されるとも思いません。原子核は原子の大きさの10万分の1か、そのレベルの大きさです。
<<CO2などの直線回転子では回転軸を分子軸にとったときの慣性モーメントはゼロになると書いてあった
というのは、あくまで軸の取り方により、古典論においてI=ΣΔmr^2により定まるrの大きさが、分子軸を軸にすれば小さくなるから、という
ような古典論の意味だと思います。

なお、水素原子を例にとって見ると,確かに基底状態のsは角運動量
は0です。角運動量L=Iωと対応させて、I=0と考えることは出来なくも
ないでしょう。でも、他のp,d,f...状態では角運動量は0ではありません。Iω≠0だから、単原子でもI=0とはいえないと思います。
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この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございます。
今回の回答とANo.3の方の回答からも量子論における球体と一般的な球体を区別しなければならないのはわかりました。上半分の一般的な球体の回転エネルギーの話は理解できたのですが、下半分の話がいまいち理解できませんでした。CO2は回転軸を分子軸と垂直に取ったときに比べて分子軸を軸に取ったときはrが小さくゼロとみなせるだけであって、1原子分子の回転には適用できないと言うことですか?

お礼日時:2006/11/01 21:54

私は分子の回転・振動のことは知らないのでお答えするのは適当ではないのですが、有限な大きさの物体の運動は原子核の理論でも扱われています。

量子論では球の慣性能率はご指摘の通り0です。しかし回転のエネルギーが0というより球は回転しないとされています。角運動をJ、慣性能率をI とすると回転の運動エネルギーは J^2/(2I) なので慣性能率が0なら角運動量が0でない限りエネルギー無限大になってしまいます。量子論では同種粒子は区別できないとして扱わなければならないことはよく知られています。ある軸の周りに回転不変性がある時、物体をこの軸を中心として回転させても回転前の状態と区別できないのでこの軸まわりの回転は量子論では考えません。原子核でも分子でもこれは同じだと思います。原子核では非球形核でのみ回転スペクトルが観測されています。
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この回答へのお礼

量子論は苦手なので原子核の非球形核については良くわかりませんが、理解がかなり深まりました。ありがとうございました。

お礼日時:2006/10/30 12:42

確かに、二酸化炭素の分子軸を軸に取ったら、回転のエネルギー


は限りなく0に近いと思います。Oの中心を通って垂直に軸を取れば
大きくなるとは思いますが。確かに、単原子分子の慣性モーメントを
考えるとすれば、小さい値になるでしょう。でも0ではないと思います。原子核にも電子にもスピンはあるし、電子の"公転"による
軌道角運動量は存在しますから。それらの合成が原子の回転の
エネルギーです。ただ、原子スケールになると、回転しているのではなく電子雲を考えることになり、それは電子の確率分布ですから、
原子の回転は厳密には回転ではないと思います。マクロな量、通常の物体になると量子力学的に平均して回転しているように見えるだけです。
また、普通の球体を考えて慣性モーメントがあるのは、その球体の内部の質点は、球体が自転する時、自転軸の周りで各々公転していますよね。だから、質点の公転の慣性モーメントを認めるなら、球体の慣性モーメントは0ではありません。2/5Ma^2です。
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球体の慣性モーメントは0ではありませんが..

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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
球体というのは、括りが大きすぎたかもしれません。
私が見た教科書では、分子の平均回転エネルギーについて書いたもので、CO2などの直線回転子では回転軸を分子軸にとったときの慣性モーメントはゼロになると書いてあったので、1原子分子の慣性モーメントはゼロになると考えました。そこから、ひょっとしたら球体の回転による慣性モーメントはゼロではないかと思ったのですが。。。

お礼日時:2006/10/25 13:17

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例えば、高さh(m)の斜面の上から球を転がすとします。
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でも、この慣性モーメントIは、半径をr(m)、質量をm(kg)とすると2/5mr^2、また、角速度ωは、球の速さをv(m/s)とすると、v/rで表されるので、この関係式を使って速さを求めると、v=(10/7gh)^0.5となり、この球の半径rを含まない式になります。
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どなたか分かりやすく説明して頂けないでしょうか?

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http://7899.hito.thebbs.jp/one/1155483938

参考URL:http://7899.hito.thebbs.jp/one/1155483938

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Aベストアンサー

 
 
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 (申し訳ありません!この質問忘れてましたご免なさい。)


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 余談;
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http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=908588
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=901153

 もし流体に摩擦が無かったら; 上記の「粘性抵抗」も「慣性抵抗」も「揚力」も起きません。
 
 

 
 
>> 物体は1秒間にVm進み、気体のほうは1秒間に1/2Vm進む、つまり物体に追い越される。「物体が気体を追い越しながら気体を押す」という点が理解し難い。 <<

 (申し訳ありません!この質問忘れてましたご免なさい。)


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Q回転エネルギーとは

回転エネルギーというものがいまいち分かりません。
もし、斜面に剛体を転がした場合はじめ剛体がもっていた位置エネルギーは運動エネルギーと回転エネルギーに変わり、その分斜面方向の加速度は減少するのでしょうか。

Aベストアンサー

回転のエネルギーというのは運動エネルギーの一種です。
車輪の回転を考えてもらえば分かりますが軸の周りの回転は回転という運動です。重心が動かない場合でも可能な運動が回転なのです。
斜面で剛体を転がした場合は回転と落下とが同時に起こります。滑らずに転がる場合であれば1回転で重心は円周分の距離だけ斜面に沿って落下します。

>位置エネルギーは運動エネルギーと回転エネルギーに変わり、
この文章で運動エネルギーと書かれている内容は重心の運動エネルギーです。
位置エネルギーは運動エネルギー(重心の運動エネルギーと重心周りの回転の運動エネルギー)に移ります。
回転のエネルギーに移る量が多ければ重心の運動エネルギーに移る量は少なくなります。

缶ジュースを2本用意してください。片方は飲んでしまいます。そこに小石と発泡スチロールをつめてジュースの詰まっている缶と同じ質量にします。中の小石が動かないようにうまくつめてください。
板でスロープを作って2つの缶を同時に転がします。
どちらの缶が速く落ちるでしょうか。
やってみればはっきりと差が分かります。
やる前に予想して下さい。理由も考えてください。
(この文章を書いている間に#3が出ました。アスパラガスの例ではあまりハッキリと差が出ないと思います。アスバラガスは缶に固定されていないからです。小石と発泡スチロールを詰めたものは私が授業で実際に使ってきたものです。教室の後ろにいる生徒が見てもはっきりと違いが分かります。)

回転運動では慣性モーメントという量が出てきます。
#2の回答にはN=αIという式が出ています。Iは「回転の起こりにくさを表す量」だと書かれています。モーメントという言葉は高等学校では力のモーメントとして出てきました。Nはその力のモーメントです。ところが今までモーメントだと思っていたものが「トルク」という言葉に代わり、新しく「慣性モーメント」という別の量が出てきたのです。わけが分からなくなります。
F=ma
N=αI
の対応関係もただ2つのよく似た公式というだけの受け取り方になってしまいます。おまけにIを求める計算で「面倒だなあ!」という印象になってしまい案す。
回転のエネルギーというのが普通の運動エネルギーと違ったものという印象になってしまうようです。

回転の運動エネルギーを普通の運動エネルギーとつないで見ます。

質量mの物体が半径rの円周上を角速度ωで回転しているとします。
運動エネルギーは
(1/2)mv^2=(1/2)m(rω)^2=(1/2)mr^2ω^2
です。この表現は回転という言葉があっても普通の運動エネルギーのイメージです。違和感はないと思います。
ここでの物体は暗黙のうちにボールのような塊を考えています。
でも円周上に均一にこの質量が分布している場合でも同じはずです。
スポークの質量を無視できれば車輪(車輪状の物体)の回転がこれに当てはまります。
車輪の慣性モーメントIはここに出ているmr^2です。(1/2)Iω^2です。
円盤になれば半径の異なる車輪を重ね合わせて考えればいい事も分かります。質量m、半径rの円盤が角速度ωで回転している時の運動エネルギーを(1/2)Iω^2と書くとI=(k)mr^2と車輪の場合からの修正が出てきます。k<1です。半径が0~rまでの車輪の運動を重ね合わせたものですから質量の全てがrの所にある場合よりもエネルギーは小さくなっているはずです。#1に円柱の場合はk=1/2とかかれています。半径が1/√2の車輪の場合と同じだという意味です。

慣性モーメントを「回転の起こりにくさ」というのであれば質量は「動きにくさ」と言わなければ対応が付きません。運動方程式や運動エネルギーのなかのmをただ質量と呼ぶのであればIを「回転の起こりにくさ」と呼ぶのはハードルを1つ増やす事になります。
私は上に書いたように
回転の運動エネルギーを角速度ωを使って表したときの質量に対応する量とするのが分かりやすいのではないかと考えています。
回転の運動エネルギー=(1/2)Iω^2
とした時のIです。(これは#1でも書かれています。)
剛体の回転の場合、剛体の各部分によって速さが変わりますから(1/2)mv^2という式が使えなくなります。使うことが出来るのはvではなくてωです。こういうことも学習し始めたばかりの時にはなかなか踏まえにくいものです。剛体であってもvの値が1つに決まる場合は質点の場合と区別する必要はないということも分かります。車輪のような場合です。

いろんな言葉使いや式がギャップを作ってしまい、回転のエネルギーが運動エネルギーとは別のものという近寄りがたい印象を与えるようになってしまっているのではないでしょうか。

回転のエネルギーというのは運動エネルギーの一種です。
車輪の回転を考えてもらえば分かりますが軸の周りの回転は回転という運動です。重心が動かない場合でも可能な運動が回転なのです。
斜面で剛体を転がした場合は回転と落下とが同時に起こります。滑らずに転がる場合であれば1回転で重心は円周分の距離だけ斜面に沿って落下します。

>位置エネルギーは運動エネルギーと回転エネルギーに変わり、
この文章で運動エネルギーと書かれている内容は重心の運動エネルギーです。
位置エネルギーは運動エネ...続きを読む


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