量子力学初心者です。

いろいろ本を読んでみたのですが、波動関数を複素数で表すのは単に便利であるとか、オイラーの式とか、二乗すれば確率となる…など数学的には分かりますが、波動関数を複素数で表す直感的で本質的な理由はあるのでしょうか?
また、電子などが粒子性と波動性を持つことと、波動関数が複素数であることは関係しているのでしょうか?
最後に電気・電子回路でも複素数を用いますが、単に便利さのためでしょうか?

よろしくお願い致します。

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A 回答 (6件)

 ディラックの教科書では次のような説明がされています。


 量子力学では、波動関数の振幅を変えても状態としては同じものと見なされます。そうすると、2つの状態|A>と|B>を重ね合わせた状態|R> = c1|A> + c2|B> は、c1、c2が実数だと、自由度は1つしかなくなります(c1とc2の比で状態が決まります)。c1とc2が複素数だと、自由度は2つとなります(|A>、|B>の振幅の比の自由度と、位相の自由度)。このような訳で、波動関数は複素数である必要があるそうです。
 物質の粒子性と波動性を説明する基本原理は重ね合わせの原理であり、それを記述するためには、複素数を使うことが必要だと考えられます。
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この回答へのお礼

お返事遅れて申し訳ありません。

自由度という考え方からの説明はとても参考になりました。

ありがとうございました。

お礼日時:2006/11/16 22:07

直感的な理由は残念ながらありません。


なぜなら、複素数の絶対値の2乗なら観測できるが、複素数(虚数)そのものを反映する観測結果は得られないからです。
複素数の絶対値の2乗を観測できると言うのは、電子波の干渉のことです。外村さんの実験をご存知でしょうか....
電子波(ドブロイ波)の干渉の結果によるスクリーン上の明暗には、
どこにも虚数を意味する実験結果などありません。

量子力学で虚数が現れるのは、そうしないとつじつまが合わないというだけです。1/c^2(∂^2u/∂t^2)=∂^2u/∂x^2という通常の、つまり
実数の波動方程式だと、粒子のエネルギーをE=hν=p^2/2m,
運動量p=h/λという、粒子の波動性と粒子性、双方を満たすような条件にしたときに式が満たされないからです。
E=hν=p^2/2m,p=h/λという式が正しいであろうことは、それ以前から
言われていたから、それらは満たされていなければならず、
そうして矛盾なく完成された波動方程式にih∂Ψ/∂t=HΨというように
時間に関して一階微分の拡散型になり、さらに虚数iが含まれていたというだけの話です。h=hバーです。
なお、電気回路における虚数は、完全な便法です。
sinやcosで電流や電圧を表すより、e^jωtとした方が微分ごとに
形が変わらなくてすむということ、
初めに電圧をcos(sin)とすれば計算の最後に、電圧として実数部(虚数部)を取れば、途中の計算は全てe^jωtでやってしまってよいからです。何故なら、複素数の実数部と虚数部は、全く関係なく分離されて計算できるからです。電圧をcosωtとしましょうか...
tについて二回微分すれば、V"(t)=-ω^2cosωtです。
では、e^jωtをtについて二回微分して、最後に実数部を取ります。
d^2/dt^2(e^jωt)=d^2/dt^2(cosωt+jsinωt)
=-ω^2cosωt-jsinωtですから、
Res[d^2/dt^2(e^jωt)]=-ω^2cosωtですよね。つまり、
オイラーの公式により、実数部と虚数部は独立して微分できるから、
電圧としてcosをとれば実数部にのみ注目すれば良いし、
sinなら虚数部のみ見ればいいのです。それで、もちろん実際の計算では初めからe^jωtをわざわざオイラーの公式で分解する必要などなく、
e^jωtの微分をやっていればいいのです。最後に実数部か虚数部を取ればいいだけです。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2152885.html
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ただ混乱させることをいうかもしれませんが。



一度ハイゼンベルグの行列力学を見てみるといいと思います。
そこで、フーリェ級数が出てきますが…

あとは虚数とはcosとsinの位相差と関係していて
icos(x)=exp(pi/2){exp(ix)+exp(-ix)}/2=sinx
という関係とも関係が無いとはいえなそうですね。

波の振幅と位相を考えてみるといいかもしれませんね。
波動関数を二乗すると、位相は外から見えません。
波動関数を微分すると、位相が外から見えてきます。
位相というのが不確定性定理のあれと…
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No.1の回答が最もらしいです。


量子論の基本に気になるのでしたら、
「新版量子論の基礎」清水明(サイエンス社)
を読んでみると良いと思います。
まあ僕らのようなプロは量子論の出発点の公理
の1つとして鵜呑みにしてるのであまり問題
のような気がしませんが。ただ単に、そうする
と物理現象の説明が大体つくという理由で十分
だと思ってしまっています。基本的に物理の
方程式が成り立つ理由なんてそんなにはっきり
した理由なんてありませんよ。それは相対論
もしかりです。用は自然界を記述するための
モデルなんです。
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私も、量子力学初心者です。

私は逆に、複素数で表すことをなるほどなぁと納得がいきました。それは、世界は目に見えるものと見えないもので成り立っていると思うからです。有限なものと無限なもの、限定されたものと限定されないもの、現実性と可能性・・・と、対立するもので世界は作られている、あるいは、そう人は認識するのだと思います。

電子の粒子性は実、波動性は虚と思います。これらをあわせもっている電子を複素数で表現するのは合理的と考えます。
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この回答へのお礼

お返事遅れて申し訳ありません。

量子力学には哲学的な考え方もひつようだと感じました。

ありがとうございました。

お礼日時:2006/11/16 22:08

 まず、


>電気・電子回路でも複素数を用いますが、単に便利さのためでしょうか?
というのはその通りです。ただし、量子力学の場合は「便利だから」という理由で複素数が使われているわけではありません。

>波動関数を複素数で表す直感的で本質的な理由はあるのでしょうか?

直感的で本質的な理由はないと思います。波動関数を複素数で表す理由としては、量子力学の公理をつくるときに、物理量(可観測量)とは複素内積空間(ヒルベルト空間)上の自己共役演算子によって表される、とするからというのが最も一般的な表現です。

 ところで、よく量子力学の本などにも書いてあるのですが、複素数を使うのってそんなに不思議なのでしょうか。実数よりも複素数のほうが一般的なので複素数で表現するほうがかえって自然なことだと私は思います。最終的に実数になればいいわけですし。
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現在、分子軌道法について勉強しているのですが、波動関数の動径波動関数について調べても理解できない点があったので、どなたかご存知でしたら、ご教授頂ければと思います。

質問1)
 動径関数は、クーロン場に由来する関数であるため、原子核からの距離rの関数として表されますが、なぜ1sは動径関数の値は正のみをとり、2sからは負の値も取り得ることが可能なのでしょうか?
 動径関数は、空間的な電子の広がりを支配しているため、負の値の意味がよくわかりません。
 よろしくお願いします。

質問2)
 波動関数は動径関数と球面調和関数の積で表されますが、球面調和関数の位相因子はどのような意味をもつのでしょうか?
 動径波動関数で、空間的な電子の広がりを表現するために、正負の値を取り得るのなら、なぜ球面調和関数が必要なのでしょうか?
 よろしくお願いします。

以上ですが、自分の勉強不足という点もあり、なかなか理解できず、困惑しております。ご教授よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

■動径波動関数が負の値を取り得る理由
ある位置(r,θ,φ)で電子を見出す確率は、波動関数 Ψ(r,θ,φ) に比例するのではなく、波動関数の絶対値の二乗 |Ψ(r,θ,φ)|^2 に比例します。水素原子では、動径波動関数を R(r), 球面調和関数を Y(θ,φ) とすれば Ψ(r,θ,φ)=R(r)Y(θ,φ)と表されますから、ある位置(r,θ,φ)で電子を見出す確率は

 |Ψ(r,θ,φ)|^2=|R(r)|^2×|Y(θ,φ)|^2

となって、動径波動関数の絶対値の二乗 |R(r)|^2 に比例します。動径波動関数がある位置で負の値を取っても、その位置で電子を見出す確率は正の値になるので、動径波動関数が正負の値を取っても問題ないです。

■なぜ球面調和関数が必要なのか?
動径波動関数 R は r だけの関数です。もし波動関数 Ψ が、θとφに依らないのだったら、球面調和関数はいらないです。しかし、s軌道以外の波動関数はθとφに依存するので、球面調和関数が必要になります。
 例えば2pz軌道(または2p0軌道)は、θ=π/2 となる位置、つまりxy平面上では値がゼロになります。また原子核を中心とする球面上の点を考えると、θ=0とθ=πの位置で波動関数の絶対値が最大になります。
 「動径関数が空間的な電子の広がりを支配している」というような説明は、私もみたことがありますけど、「動径波動関数だけでなく球面調和関数もまた空間的な電子の広がりを表現している」と考えたほうがいいと私は思います。
 
 原子軌道の大きさ:どのくらい広がっているのかを動径波動関数が表現している。
 原子軌道のかたち:どのように広がっているのかを球面調和関数が表現している。

■原子軌道の位相と節面
「球面調和関数の位相因子」というのが何を指しているのかよく分からないのですけど、教科書の原子軌道の節面に関する説明をよく読めば、おそらく疑問が解けるのではないかと思います。原子軌道の節面とは、Ψ(r,θ,φ)=0を満たす平面、球面、円錐面です。Ψ(r,θ,φ)=R(r)Y(θ,φ)ですから、節面には、R(r)=0を満たす球面と、Y(θ,φ)=0を満たす平面または円錐面があります。波動関数が正の値をとる空間領域と負の値をとる空間領域は、節面によって分けられていますから、原子軌道の位相は、節面と深い関係があります。
 分子軌道法で大事なのは、球面調和関数に由来する節面の方です。動径波動関数に由来する球形の節面は、原子間の化学結合の形成には、あまり関係しません。軌道の一番外側の位相だけが大事だからです。例えば2s軌道では、原子核に十分近い領域は十分離れた領域の逆位相になりますけど、ふつう2s軌道を図で表すときには、外側の位相だけを書きます。このことは、球面調和関数に由来する節面を持つ2p軌道を図で表すときに、正と負の両方の位相を必ず書くのとは対照的です。

■動径波動関数が負の値を取り得る理由
ある位置(r,θ,φ)で電子を見出す確率は、波動関数 Ψ(r,θ,φ) に比例するのではなく、波動関数の絶対値の二乗 |Ψ(r,θ,φ)|^2 に比例します。水素原子では、動径波動関数を R(r), 球面調和関数を Y(θ,φ) とすれば Ψ(r,θ,φ)=R(r)Y(θ,φ)と表されますから、ある位置(r,θ,φ)で電子を見出す確率は

 |Ψ(r,θ,φ)|^2=|R(r)|^2×|Y(θ,φ)|^2

となって、動径波動関数の絶対値の二乗 |R(r)|^2 に比例します。動径波動関数がある位置で負の値を取っても、その位置で電子を見出す確率は...続きを読む

Q量子力学と複素数の関係

ある本にシュレーディンガーが量子力学的現象を複素数を用いた確率によって示したというようなことが書いてありましたが、複素数によって示される確率というのは実数によって示される確率が日常的に感覚の対象となる巨視的現象と結びついていることと対照的なものに対応しているからなのでしょうか。又このことが量子現象は数学を用いなくては理解できないということにもなるのでしょうか。

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量子力学では,粒子性と波動性を併せ持つような性質を考えます.それを表現するのに,振幅と位相を表現できるような数を使う必要があります.(つまり,表現するものが2次元です.)このため複素数を使っているのだと思います.実際の確率は大きさなので複素数の絶対値のようなものになります.(実際は2乗)なので実数です.なぜ位相がいるかというと#1さんの言うように干渉という現象を説明するためです.
>量子現象は数学を用いなくては理解できないということにもなるのでしょうか.
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Q調和振動子の波動関数

調和振動子のポテンシャル中にある相互作用していない2つの電子において量子数nのエネルギー固有状態を記述する波動関数ψn(x),スピン波動関数をφ^{±}とする。
I基底状態Etot=2*E1を記述する2電子波動関数を全てもとめよ
II第一励起状態Etot=E1+E2を記述する2電子波動関数を全てもとめよ

上記の問題を考えているのですが,スレーター行列式に代入するとどちらも波動関数が0になって解が求まりません。
どのようにとけば2電子波動関数を求められますか?

Aベストアンサー

#4の補足について。

OKです。

Q共役複素数関数。。。

量子論などで使われている共役複素数関数(φ*)はなんなのか教えてください。
たとえば、∫lφl^2dx=∫φ^*×φdx=1 (φ^*:共役複素数関数)・・・0<x<Lまでの電子の存在確率は1。
これ(φ^*:共役複素数関数)はどのような関数で何故使われているのですか?

Aベストアンサー

複素数値関数φ(x)=p(x)+q(x)i (i:虚数単位)
p(x),q(x)は実関数(実数値をとる)として
普通の共役複素数
φ^*=p(x)-q(x)i
ですね.

何で複素数かって? 量子力学では粒子を記述する波動関数は複素数値で, 観測される物理量は,例えば存在確率ならば, lφl^2=p^2+q^2を考えている領域で積分したものに比例する実数ということになっているので...
そうでない満足できる理論がほかに作れるなら別ですが.

Q波動関数の状態ベクトルについて

波動関数は|ψ>だと理解していたのですが,ある教科書で波動関数ψ(r,t)は
ψ(r,t)=<r|ψ)
とされていました.

波動関数|ψ>は,無限個の波動関数の重ねあわせだと思うのですが(←正しいでしょうか?),
なぜ位置rとの内積が波動関数となるのがよくわかりません.
ご教授お願いいたします.

Aベストアンサー

ディラックやランダウ・リフシッツの教科書に載っていると思います.詳しくはそのような本で調べましょう.

位置演算子qの固有値rとそれに属する固有関数|r>にはq|r>=r|r>が成り立ちます.|r>によって状態ketベクトル|ψ>を展開すると

|ψ>=∫ψ(r',t)|r'>dr'

となります.ψ(r',t)は展開係数(重み)です.これとbraベクトル<r|の内積をとると,規格化直交性<r|r'>=δ(r-r')により,

<r|ψ>=∫ψ(r',t)<r|r'>dr'=∫ψ(r',t)δ(r-r')dr'=ψ(r,t)

これが問題の式です.

つまり,波動関数(シュレディンガー方程式の解)とは状態ベクトルを位置演算子の固有関数で展開したときの展開係数なのです.

量子力学は無限次元線形代数です.有限次元線形代数はすでによく学んでいると思います.だいたい,そこでの内容を当てはめて考えれば理解しやすいと思います.

質問者様のような疑問が生じるのは,ほとんどの初等的な教科書はシュレディンガー流に書かれているからです.ハイゼンベルクの行列力学を直接学んでいる人は少ないと思います.ハイゼンベルク流の量子力学,ディラックの量子力学を学んではじめてこの手の疑問はすっきりとするでしょう.そのためには冒頭に挙げたような教科書に進まなければなりません.

ディラックやランダウ・リフシッツの教科書に載っていると思います.詳しくはそのような本で調べましょう.

位置演算子qの固有値rとそれに属する固有関数|r>にはq|r>=r|r>が成り立ちます.|r>によって状態ketベクトル|ψ>を展開すると

|ψ>=∫ψ(r',t)|r'>dr'

となります.ψ(r',t)は展開係数(重み)です.これとbraベクトル<r|の内積をとると,規格化直交性<r|r'>=δ(r-r')により,

<r|ψ>=∫ψ(r',t)<r|r'>dr'=∫ψ(r',t)δ(r-r')dr'=ψ(r,t)

これが問題の式です.

つまり,波動関数(シュレディンガー方程式の解)...続きを読む

Q体膨張係数について教えて下さい!

学校のレポートで、『エタノールを含む液体の体膨張係数をしらべよ。』というものが出たんですけど、どなたか分かる方いらっしゃいませんか??私には何のことかさっぱり分からないので分かる方、ぜひぜひ教えてください。

Aベストアンサー

1.メスシリンダー等に,例えば100ccのお酒を入れる.(V1=100cc)
2.そのときの温度を計る(T1℃)

3.例えば50℃にする.(T2=50℃)
4.そのときの体積を計る.(V2cc)

体積膨張率α(1/℃)は,
α=((V2-V1)/V1)/(T2-T1)
となります.
ここで(V2-V1)をV1で割っているのは,
体膨張率や線膨張率は,きちんと単位をかけば,(1/℃)ではなく,
(cc/cc/℃)又は(mm/mm/℃)である為です.

言葉で書けば,
「1℃温度上昇によって膨張する体積の,元の体積に対する割合」
です.
1℃上昇したとき,体積は(1+α)倍になる,と言うことです.

Q光は波動関数を持たないのですか?

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5021911.html


ここの質問で物質波の波動関数はスカラーであり、縦波も横波も持たないと教えて頂いたのですが、
では光の場合はどうなのでしょうか?

光は横波しかもたないわけですが、光の波を光の波動関数であると考えるとスカラーではないのはなぜなのでしょうか?
或いは光の波が波動関数ではないのだとすると、光が波動関数を持たないのはなぜなのでしょうか?

それと出来れば光が縦波を持たず、横波しか持たない理由を教えて下さい。

よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

こんばんは。

次第に話が難しくなってきましたね。

光は物質波ではありません。物質のシュレディンガー方程式に相当するものが、電磁場の場合は、ベクトルポテンシャルAの従う、波動方程式です。でもこれだけでは、よくわかりませんね。しかも、光子の粒子性がまだ見えてきません。そこでAをフーリエ変換するのです。すると、変換の各項の係数が調和振動子の振る舞いに類似していることが分かります。調和振動子は容易に第二量子化ます。それと同じように電磁場を量子化すればよいのです。今述べたことを振り返ってみると、電磁場は一回しか量子化しなかったのに第二量子化が得られたということになります。したがって、ベクトルポテンシャルAは、シュレディンガー方程式の波動関数ψに相当するということが言えそうです。Aはスカラーではなく、ベクトルですよね。このことが普通の物質波との大きな違いです。

真空中を伝わる光が縦波を持たず、横波しか持たない理由(誘電体中では縦波の成分をもつこともあります)マクスウェルの方程式から直接導かれる性質です。

それではまた。

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
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(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q波動関数の絶対値の2乗について

波動関数の絶対値の2乗は確率密度と習ったのですが、ピンときません、なぜ、波動関数の絶対値の2乗は確率密度といえるのでしょうか?
回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

1粒子の波動関数であれば, 「波動関数の絶対値の2乗」を全空間で積分すると 1 ですね.

Qブリュアンゾーンの物理的な意味

 ブリュアンゾーンは、逆格子空間のウィグナーサイツセルとして定義されますが、物理的にはどんな意味があるのでしょうか。いまいち具体的なイメージがわきません。キッテルを使って勉強しているのですが、回りくどくてよくわかりません。
 さらに、フォノンの波数ベクトルが-π<Ka<-πに限定されると、なぜそこがブリュアンゾーンに対応しているのでしょうか。
 数式はキッテルに載っているので、できるだけ物理的な意味やイメージをお教えいただければと思います。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

○ブリユアンゾーンがなぜ波数なのか?

#1で述べた通り、そもそも逆格子空間とは、波数空間なのです。ですから、その一部であるブリユアンゾーンも当然波数ですよね。

○なぜウィグナーサイツセルがブリルアンゾーンになるのか?

例えば、いきなり三次元で考えると難しいので、二次元(x-y平面)の正方格子で考えます。基本格子ベクトルa1,a2から実際に基本逆格子ベクトルb1,b2を計算してみてください。y軸方向のベクトルと、x軸方向のベクトルになったと思います。
基本逆格子ベクトルb1とb2を線形結合をとることにより、一般の逆格子ベクトルGが得られますが、ゼロベクトルを別とすれば、逆格子ベクトルGの中で大きさが最も小さいのは、b1,b2含めて全部で4つですよね。この4つのベクトルを原点から書いてみて下さい。
で、結論から言いますと、これらのベクトルの垂直二等分線で囲まれた領域(四角形)がブリユアンゾーンとなるわけですが、それは何故かを考えます。
いま、
(1)このような四角形を逆格子ベクトルだけ移動させて張り合わせていくと、全平面を埋め尽くすことができますよね。また、
(2)四角形の内側の点から逆格子ベクトルだけ離れた点はすべて四角形の外側にあることになります。(つまり、ブロッホ波の波数kの周期的な任意性による重複がこの四角形の中にないってこと。)
ブロッホ波の波数kの任意性の周期は基本逆格子ベクトルですから・・・・もうこの四角形の内部の点だけを考慮すればいいことになりますよね!だから、こうやって定義された四角形はブリユアンゾーンとなるわけです。

この考え方が他の構造にも適用できます。

○ブリユアンゾーンがなぜ波数なのか?

#1で述べた通り、そもそも逆格子空間とは、波数空間なのです。ですから、その一部であるブリユアンゾーンも当然波数ですよね。

○なぜウィグナーサイツセルがブリルアンゾーンになるのか?

例えば、いきなり三次元で考えると難しいので、二次元(x-y平面)の正方格子で考えます。基本格子ベクトルa1,a2から実際に基本逆格子ベクトルb1,b2を計算してみてください。y軸方向のベクトルと、x軸方向のベクトルになったと思います。
基本逆格子ベクトルb1とb2を線形...続きを読む


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