1.∫{x,0}(x-t)f(t)dt=x^4-x^2
(上がx下が0)
を満たす整式f(t)を求めよ。
2.平面上の点A(a,a-1)から放物線y=x^2に引いた2つの接線の接点をP,Qとする。
直線PQと放物線y=x^2とで囲まれた部分の面積SとAが直線y=x-1上を動くときのSの最小値を求めよ。
3.複素数平面上においてzは原点Oの中心とする半径1の円周上を動くとする。
w=(z-i)/(z-1-i)とおくとき       (虚数単位i)
wの描く曲線と絶対値|w|の最大値およびそのときのzの値を求めよ。

一応こたえつきなのですが理解できないので・・・
詳しくお願いします

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A 回答 (3件)

1)関数が二つかけてあるときの積分の公式があったはずです。

まずはそれをやってみてください。右辺はとりあえず忘れて、左辺だけの式変形をとりあえずやってみてください。

2)まず図を描いてください。最初は接線P、Qの式を求めるところからです。面積SはP、Qの式を使った積分で出てきます。
後半は、最小値と言えば微分ですね。

3)wが必ず通る点があったはず。必ず図が描けるはずです。また、偏角などを駆使して求める問題だったと思います。

数学はまずやってみることですよ。
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(1)は一通り勉強しているならば、解けないとやばい。


(2)はちょっとやってみないとわからんが、いくつかの基本が出来ていればなんとかなるでしょう。
アドバイスとしては、「計算は上手くやること」。1/6公式を知らなくても、変数変換でいくらでも簡単に解けるから。最後に、「Aがy=x-1上を動くとき」というのは、A=任意=すべてのaについてということ。問題を解いてないので詳細はわからんが、面積S=f(a)であらわせられるんだろう。で、aが任意の実数のときSの最小値を求めなさいということ。
(3)は、逆の対応の考え方でやる。大学への数学では、「逆手流」という名前で紹介されている。

w=(z-i)/(z-1-i)から、      (虚数単位i)
この式から、zがひとつ決まると(存在すると)、wも一つ決まる(存在する)関係にあることがわかる。
ということは、wが存在するには、zが存在しなくてはならないことも自明。

w=f(z)の式の形で、zを動かして、wの値の範囲を考えるのも一つの方法だ。この問題の場合、z=cosθ+isinθとして、w=g(θ)を導き、θを0≦θ≦π/2の範囲をくまなく調べ尽くせばよい。
しかし、zが複素数の場合、複素数のままで解いた方が楽な場合がある。そこで、z=f^-1(w)を導き、「zは原点Oを中心とする半径1の円周上を動く」=|z-(0)|=1⇔|z|=1 (NO1の方は勘違いされいるぞ)というzの存在条件に乗せてやればよい。つまり、この場合、


|f^-1(w)|=1

この式から、|w|を取り出して整理すれば、wがどんな図形かわかるではないか。

それでは、お礼に答えを書いてくれ。
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(1)tで微分する


(2)面積をaで表す
(3)w=(z-i)/(z-1-i)をzについてとき、そのあと|z-1|=0に代入
わからんかったらメールでどうぞ
近くだったらあって教えてもいいけどね

この回答への補足

上でも書きましたが答えはついているので
方法はわかるんですけど、
模範解答の方法では理解できないので
解いた回答をみたいのですが・・・

補足日時:2002/04/10 18:16
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x-2y+4z=0
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なります。そしてこうして出した2つのベクトルは、先に内積で出した2つのベクトルと一致します。

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x、y∈Rに対して
x*y=log(e^x+e^y)
と定義すると、
(x*y)+z=(x+z)*(y+z)
が成り立ちます。
分配法則の*と+を逆にしたような感じですが、この*から何かしらの代数的な事実が従うのでしょうか?
この*の意味は何なのでしょうか?

x*x=aのとき、x=√aと定めと、
√(a*b)≧(a+b)/2
といった相加相乗平均の関係の類似は成り立つようですが。

Aベストアンサー

e^x=X, e^y=Y, e^z=Z と置いて考えましょう。
e^(x*y)=e^x+e^y → Z=X+Y
e^(x+y)=e^x*e^y → Z=X*Y
つまり、正の数の加算と乗算になります。

>分配法則の*と+を逆にしたような感じですが

まさにその通りです。入れ替えて見てください。

>√(a*b)≧(a+b)/2

通常の相加相乗平均とは逆ですね。

Q∫∫【D】2x|y|dxdy, D={x^2+y^2≦1,x^2+y^2≦2x}

∫∫【D】2x|y|dxdy, D={x^2+y^2≦1,x^2+y^2≦2x}
という重積分について質問です。∫∫【D】2x|y|dxdyと∫∫【D】2xydxdyってどう違いますか?

この場合では、領域がx軸に関して対称だから、前者の場合も後者の場合もたまたま答えが同じになるけれど、理屈としては、y座標が負になっている部分をx軸に関して折り曲げた結果として、図形がx軸に関して対称だったために、y座標が正の部分を2倍することになったと考えればよいのでしょうか?
言葉が下手で、伝わりにくい文章ですみません。

Aベストアンサー

>この場合では、領域がx軸に関して対称だから、前者の場合も後者の場合もたまたま答えが同じになるけれど

本当にそうなります?
2xyはyについて奇関数、2x|y|はyについて偶関数です。
前者をx軸について対称な領域で積分すると"0"に、後者を同じ領域で積分するとx軸よりも上側の領域での積分の2倍になります。

Qx+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x=yであることを証明せよ。

クリックありがとうございます(∩´∀`)∩

 ★x+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x=yであることを証明せよ。

この問題について説明をお願いします。

Aベストアンサー

おおざっぱな説明になりますが、左の式を
z=-x-y
として、それを右の式のzに代入します。
それを展開してまとめると
x^2-2xy+y^2=0
という式になります。
あとはこれを因数分解すれば
(x-y)^2=0
となるので、x=yという答えがでます。
与えられた条件がほかになければこれでいいはずです。

QV = {(x,y,z) | x^2 + y^2 + z^2 <= a

V = {(x,y,z) | x^2 + y^2 + z^2 <= a^2, x^2 + y^2 <= b^2} (a>b>0)の体積|V|

次の立体V = {(x,y,z) | x^2 + y^2 + z^2 <= a^2, x^2 + y^2 <= b^2} (a>b>0)の体積|V|を求めよ、
という問題で答えは
|V| = 2*∫∫_[x^2 + y^2 <= b^2] √(a^2 - x^2 - y^2) dx dy
= (4π/3)(a^3 - √{(a^2 - b^2)^3}).
となっています。

この問題の途中で、これ以上積分が出来そうにない部分が出てきますので、どうか助けてください。自分のやったところまで書きますと
|V| = 2*2*∫[0,b] dx 2*∫[0,√(b^2 - x^2)] √(a^2 - x^2 - y^2) dy
= 8*∫[0,b] [(1/2){y√(a^2 - x^2 - y^2) + (a^2 - x^2) arcsin(y√(a^2 - x^2))}]_[0,√(b^2 - x^2)]
= 4*∫[0,b] √(b^2 - x^2)√(a^2 - b^2) + (a^2 - x^2) arcsin{√(b^2 - x^2)/√(a^2 - x^2)} dx
…ここが、「これ以上積分が出来そうにない部分」です(実際、計算機でもこれ以上は計算してくれません)。
ただ、本に載っている例の値 a=1, b=1/2 を入力すると 1.46809 という答えになり、本の答え (4π/3)(a^3 - √{(a^2 - b^2)^3}) に a=1, b=1/2 を入力した場合とまったく同じ答えになります。

さて、手計算で (4π/3)(a^3 - √{(a^2 - b^2)^3}) を求めるにはどうすればよいのでしょうか?

V = {(x,y,z) | x^2 + y^2 + z^2 <= a^2, x^2 + y^2 <= b^2} (a>b>0)の体積|V|

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|V| = 2*∫∫_[x^2 + y^2 <= b^2] √(a^2 - x^2 - y^2) dx dy
= (4π/3)(a^3 - √{(a^2 - b^2)^3}).
となっています。

この問題の途中で、これ以上積分が出来そうにない部分が出てきますので、どうか助けてください。自分のやったところまで書きますと
|V| = 2*2*∫[0,b] dx 2*∫[0,√(b^2 - x^2)] √(a^2 - x^2 - y^2) ...続きを読む

Aベストアンサー

ミスが多くてすみません。

>a^2-b^2=t とおけば
は、コピペを失敗しました。

正しくは、
「a^2-r^2=t とおけば」です。時間を浪費させてしまったようで、
申し訳ないです。

rからtの置換です。これでつじつまが合うはずです。


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