1.∫{x,0}(x-t)f(t)dt=x^4-x^2
(上がx下が0)
を満たす整式f(t)を求めよ。
2.平面上の点A(a,a-1)から放物線y=x^2に引いた2つの接線の接点をP,Qとする。
直線PQと放物線y=x^2とで囲まれた部分の面積SとAが直線y=x-1上を動くときのSの最小値を求めよ。
3.複素数平面上においてzは原点Oの中心とする半径1の円周上を動くとする。
w=(z-i)/(z-1-i)とおくとき       (虚数単位i)
wの描く曲線と絶対値|w|の最大値およびそのときのzの値を求めよ。

一応こたえつきなのですが理解できないので・・・
詳しくお願いします

A 回答 (3件)

1)関数が二つかけてあるときの積分の公式があったはずです。

まずはそれをやってみてください。右辺はとりあえず忘れて、左辺だけの式変形をとりあえずやってみてください。

2)まず図を描いてください。最初は接線P、Qの式を求めるところからです。面積SはP、Qの式を使った積分で出てきます。
後半は、最小値と言えば微分ですね。

3)wが必ず通る点があったはず。必ず図が描けるはずです。また、偏角などを駆使して求める問題だったと思います。

数学はまずやってみることですよ。
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(1)は一通り勉強しているならば、解けないとやばい。


(2)はちょっとやってみないとわからんが、いくつかの基本が出来ていればなんとかなるでしょう。
アドバイスとしては、「計算は上手くやること」。1/6公式を知らなくても、変数変換でいくらでも簡単に解けるから。最後に、「Aがy=x-1上を動くとき」というのは、A=任意=すべてのaについてということ。問題を解いてないので詳細はわからんが、面積S=f(a)であらわせられるんだろう。で、aが任意の実数のときSの最小値を求めなさいということ。
(3)は、逆の対応の考え方でやる。大学への数学では、「逆手流」という名前で紹介されている。

w=(z-i)/(z-1-i)から、      (虚数単位i)
この式から、zがひとつ決まると(存在すると)、wも一つ決まる(存在する)関係にあることがわかる。
ということは、wが存在するには、zが存在しなくてはならないことも自明。

w=f(z)の式の形で、zを動かして、wの値の範囲を考えるのも一つの方法だ。この問題の場合、z=cosθ+isinθとして、w=g(θ)を導き、θを0≦θ≦π/2の範囲をくまなく調べ尽くせばよい。
しかし、zが複素数の場合、複素数のままで解いた方が楽な場合がある。そこで、z=f^-1(w)を導き、「zは原点Oを中心とする半径1の円周上を動く」=|z-(0)|=1⇔|z|=1 (NO1の方は勘違いされいるぞ)というzの存在条件に乗せてやればよい。つまり、この場合、


|f^-1(w)|=1

この式から、|w|を取り出して整理すれば、wがどんな図形かわかるではないか。

それでは、お礼に答えを書いてくれ。
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(1)tで微分する


(2)面積をaで表す
(3)w=(z-i)/(z-1-i)をzについてとき、そのあと|z-1|=0に代入
わからんかったらメールでどうぞ
近くだったらあって教えてもいいけどね

この回答への補足

上でも書きましたが答えはついているので
方法はわかるんですけど、
模範解答の方法では理解できないので
解いた回答をみたいのですが・・・

補足日時:2002/04/10 18:16
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