任意の形状(例えば線分AB)が平面鏡で反射した場合にどのような反射像になるか、アルゴリズムを式で導出したいのですが、光学の教科書等をめくってみても平面鏡での反射像の作図などしか載ってないので、どなたかそのようなことが書いてある参考書等がおわかりでしたらお教えください。

ちなみに光学は初心者です。

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zo-3」に関するQ&A: ZO-3!について

A 回答 (2件)

繰り返しになります。

物体f(x,y,z)の像g(x,y,z)は以下のように計算されます。
平面鏡が(X,Y,Z)空間でX=0の平面に来るように座標系(x,y,z)と(X,Y,Z)との一次変換
x = R X + p
y     Y + q
z     Z + r
という変換をする。ここでRは回転を表す行列で、Rの転置行列がRの逆行列になっているような3×3行列です。
そして、
f(x,y,z)を(X,Y,Z)座標に移したものをF(X,Y,Z)とするとき、像はG(-X,Y,Z)となる。これを再び(x,y,z)座標に移したのが像g(x,y,z)ですね。
実際の計算では、同じ事を、式をもう少し整理して行っていますが、原理は同じです。

lay tracing の場合も同じ事で、ただ時間の順序を逆にして、「目(点と考えます)から光線が飛び出したとして、それが何処に当たるか」を計算すると効率が良い、というものです。光線が鏡面にぶつかると、そのぶつかった局所では「平面鏡」と同じとして扱います。この場合、目の像が何処に出来るかを計算し、「鏡面に光がぶつかった位置」と「目の像」とを結ぶ直線上に何か物体があれば、その物体の色を拾ってきて、「目から飛び出した光線で捉えた色」として記録する訳です。しかしその物体がまた鏡面だったりすると、さらに光は反射し…という計算を繰り返さねばなりません。大抵のソフトでは何回か以上の反射は無視して計算しています。
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この回答へのお礼

今回もわかりやすく回答していただきありがとうございました。
f(x,y,z)→F(X,Y,Z)→G(-X,Y,Z)→g(x,y,z)
という流れというわけですね。

今回初めて教えて!gooを使いましたが、私もstomachmanさんのように
自分がわかる質問には積極的に答えていきたいと思います。

お礼日時:2002/04/11 12:47

こいつは幾何学の問題でしょう。


 平面鏡ですよね。平面鏡が置いてある平面を3次元空間のx=0の平面であるとしましょう。(そうなっていなかったら、座標系を回転・平行移動して、x=0の平面に鏡が来るようにしてやります。)すると、物体の各点の座標を(x,y,z) (x>0)とするとき、その点の像は(-x,y,z)に出来ます。
 鏡の大きさが十分大きければ、これでおしまい。
 でももし鏡が小さいのなら、観測者の位置(xo,yo,zo)から像(-x,y,z)が見えないかもしれない。鏡からはみ出してしまっているわけです。これは、鏡の領域を「穴」だと思えばよい。(xo,yo,zo)と(-x,y,z)を結ぶ直線がこの穴を通るなら、見えるし、通らないなら見えない。
 CGをやっていらっしゃるなら、こういう言い換えの方が分かり易いかな?:鏡の形の領域(x=0の平面上にあります)を底面とし(xo,yo,zo)を頂点とする錐(たとえば鏡が四角形なら四角錐)を考えて、この錐をx<0の方に延長した空間領域を考えます。この空間領域で像をclippingしてやれば、鏡の中に写る像だけがレンダリングできる。

この回答への補足

早速の丁寧なご回答、ありがとうございます。
更なる理解を深めたいため、少し補足をさせていただきます。

stomachman さんのおっしゃることは、参考書等でなんとなくわかって
いたのですが、よりわかりやすい説明でイメージをはっきりさせることが
できました。ありがとうございます。

私がここ1ヶ月程ずっとわからないのは、物体f(x)が平面鏡で反射すると
像g(x)はどのようになるか、ということです。光線追跡ソフトなどで
どのような式変換が行われて、f(x)→g(x)になるかを知りたいのです。

stomachmanさんを含めどなたか、もしよろしければ再度ご回答をいただけると幸いです。P.S.CGには手をつけておりません。

補足日時:2002/04/11 10:21
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よく、コイン洗車を利用するのですが、もの凄い高圧の水流を吹き付けても、細かな汚れって落ちないですよね。
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何故でしょうか?

Aベストアンサー

こんにちは。

細かい汚れのほうは、表面積が小さいわけなので、水圧がかかっても、かかる力は、

(力) = (水圧) × (汚れの側面の面積) … (1)

によって小さくなります。

これが大きな汚れの塊としますと、汚れの横から、また汚れとボディーの間にできた隙間(取っ掛かり)から水が浸入することにより、はがす方向に大きな力が働きます。

大きな汚れと小さい汚れの違いは、それらの側面の面積だけではなく、小さい汚れであれば、汚れとボディーの間にできた隙間(とっかかり)も非常に小さく、ANo.1にも書かれているように水にも粘性がありますので、その小さい隙間には入りにくいわけです。

ボディー面
 |
 |○ ←小さい汚れのイメージ
 |↑
  ボディーと汚れの間に水が入りにくい

ボディー面
 | ○
 |○○○
 |○○○ ←大きい汚れのイメージ
 | ○
 |↑
  隙間:ボディーと汚れの間に水が入り易い


このように一定の水圧に対して、小さい汚れは有利ということがわかります。

例えば、大きい汚れとして、ボディーとの取っ掛かりがまったくなくなるように滑らかにボディーにつながるような形状で、薄くしかも、水圧によっても壊れないようなものをボディーに貼り付ければ、いくら高圧の水を吹き付けてもその汚れは落ちないことは容易に推察できますね。

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こんにちは。

細かい汚れのほうは、表面積が小さいわけなので、水圧がかかっても、かかる力は、

(力) = (水圧) × (汚れの側面の面積) … (1)

によって小さくなります。

これが大きな汚れの塊としますと、汚れの横から、また汚れとボディーの間にできた隙間(取っ掛かり)から水が浸入することにより、はがす方向に大きな力が働きます。

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拡大ミラーを使って反射望遠鏡を作ることはできますが、倍率は低いものに
なります。望遠鏡の倍率は対物ミラーの焦点距離÷アイピースの焦点距離です。
高倍率を狙うなら、対物ミラーの焦点距離は長く、アイピースの焦点距離は
短くする必要があります。

ところで、家庭用の凹面ミラーは顔を拡大して見るためのものなので
焦点距離は短いです。多分150mmくらいかそれ以下かもしれません。
アイピースとして専用のものを使えばその焦点距離は5mmくらのものも
ありますが、もし市販の単レンズ(虫眼鏡など)を使うと焦点距離はおそらく
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見やすいモノ(低倍率で、鏡面の凹みが少ないもの、顔が歪み無く見えるもの)
が良いです。

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凹面鏡は直径の大きなちゃんとした放物面鏡を選び、アイピースはレンズ式のルーペを選び、
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ANo.3です。

補足に関して。
拡大ミラーを使って反射望遠鏡を作ることはできますが、倍率は低いものに
なります。望遠鏡の倍率は対物ミラーの焦点距離÷アイピースの焦点距離です。
高倍率を狙うなら、対物ミラーの焦点距離は長く、アイピースの焦点距離は
短くする必要があります。

ところで、家庭用の凹面ミラーは顔を拡大して見るためのものなので
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Qバスマジックリンで風呂の汚れが落ちない

バスマジックリンの宣伝ではこすらずに泡で汚れを落とせる。とありますが、汚れが落ちません。ため込んだ汚れではなく、新バスルームです。なぜでしょうか?実はこすらないと落ちないのですか?妊婦のため簡単に掃除をしたいのですが・・・。

Aベストアンサー

こすらずに泡で落とすためには大量に吹き付けないと駄目でした。
ドラッグストアで安いときに買ってもすぐ減ってしまいます。
私はまず浴槽を軽く濡らしてから吹き付けます(スポンジに吹き付けると少し節約)
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Q一般の鏡での反射は空気からガラスの境でなく全反射・・。

ガラスの底のメッキ面で反射してますね。そこでは全反射なんでしょうか?全反射とは偏光のない反射のことでしょうか?密から疎への境界で全反射と習った記憶は正しいでしょうか。ガラスの底のメッキで全反射なら、ガラスよりメッキの方がやわらかいのでしょうか。質問が多くてすみません。

Aベストアンサー

>ガラスの底のメッキ面で反射してますね。そこでは全反射なんでしょうか?

これは#1さんの答えにあるように全反射とは異なります。全反射はよくスネルの法則で議論されます。
n1sinθ1=n2sinθ2
#1さんの説明にもあるように、この式で解がない場合が全反射です。
でも鏡って面に垂直にのぞきませんか。
つまりθ1=0なのでsinθ=0となって、どんなn1、n2の値によらずにθ2=0という答えがあるのです。

つまり垂直にのぞく場合は全反射は絶対に起きないのです。

それではメッキ面の反射はなにかということになりますが、金属のような透明でないものを考える場合は、
複素数の屈折率n+ikを考えなければならないのです。

空気(約屈折率1)から金属n+ikに垂直入射の反射率はR={(n-1)~2+k~2}/{(n+1)~2+k~2}
金属はnに比べてkが大きいので、n^2<<k^2となり、
100%に近い反射率が得られます。

>全反射とは偏光のない反射のことでしょうか?

だと思います。

>密から疎への境界で全反射と習った記憶は正しいでしょうか。
密、疎というのを屈折率が大、小と置き換えると
「屈折率大から小への境界での反射は(角度が充分に
大きければ)全反射する。」というのが正しいです。
どんな角度で入射しても全反射するということではありません。

>ガラスの底のメッキで全反射なら、ガラスよりメッキの方がやわらかいのでしょうか。
そもそも全反射ではないですが、屈折率とものの硬さは関係がないと思います。光の波と力学的な波を
ごちゃにされているのではないでしょうか?

>ガラスの底のメッキ面で反射してますね。そこでは全反射なんでしょうか?

これは#1さんの答えにあるように全反射とは異なります。全反射はよくスネルの法則で議論されます。
n1sinθ1=n2sinθ2
#1さんの説明にもあるように、この式で解がない場合が全反射です。
でも鏡って面に垂直にのぞきませんか。
つまりθ1=0なのでsinθ=0となって、どんなn1、n2の値によらずにθ2=0という答えがあるのです。

つまり垂直にのぞく場合は全反射は絶対に起きないのです。

それではメッキ面の反射はなにかということ...続きを読む

Q作業着の泥汚れを落とすには、どの洗剤がよいですか?ハイターでも落ちないので、オススメの洗剤を教えてく

作業着の泥汚れを落とすには、どの洗剤がよいですか?ハイターでも落ちないので、オススメの洗剤を教えてください。

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付けおきならアリエールを使いますが、洗濯機に入れる前の汚れ部分の手洗いにはかないません。
ウタマロ石鹸や廃油石鹸が良く落ちます。
まあ作業着だとまた汚れるからと普通に洗濯する事も多々あります。
http://www.e-utamaro.com/products/sekken

Q2枚の平面鏡を互いに60°の角で向かい合わせ、2枚の鏡から等距離の点P

2枚の平面鏡を互いに60°の角で向かい合わせ、2枚の鏡から等距離の点Pに小物体を置く。小物体の像はいくつできるか。



という問題で、解答を見たのですが、言ってることがよくわかりませんでした。Pを光源だと思って、鏡に反射させてまたPに戻ってくる線を引いてみて、QRSTの像は出来るのは理解できるのですが、Uがどうやってできるのか全く分かりません。詳しく教えてください。お願いします。

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もちろん像の元は物体Pだけです。

目の位置とPから出た光線の鏡面で反射する経路と鏡の中の虚像との位置関係を正しく理解できるように添付図をみてよく考えて見てください。
それが理解できるようになれば、目の位置を変えた時、物体Pから出た光線が、どんな鏡面での反射経路を通って目に到達するかを作図できるようになるでしょう。光線が鏡の表面で「入射角=反射角」となる光線経路を通過していることに注意してください。

Qどうしても落ちないトイレの汚れ

汚い話で申し訳ないのですが、便器の水面付近にどうみてもウンチっぽい茶色い汚れがあります。
ところがこの汚れ何をしても落ちません。
ブラシで擦ってみた所サビみたくガリガリいって固い感じがします。
ブラシでも、ドメストでも、錠剤でポンとするヤツでもまったく落ちないのです。
どうしたら落とせるでしょうか?

Aベストアンサー

その汚れは尿石と呼ばれるものです。
成分はカルシウムですので、酸性の薬液で簡単に取れます。

まずトイレの水をポンプなどで汲み出し(100均などで灯油ポンプを売ってます)、サンポールを1~2本、注ぎ込みます。便器にはティッシュなどで湿布するとよいです。
二時間そのまま置いて、あとは水を流すだけです。
少々残るかもしれませんが、いらないスプーンなどで軽くこするとポロポロと落ちます。真っ白な新品のような便器になりますよ。

これはプロの業者に頼むと一万円くらいでやってくれる方法と同じものです。
サンポールでやるなら500円もかかりません。
ちなみに、尿石はアルカリ性では取れませんので、ドメストなどは効きません。またサンドペーパーなどでこすっても無駄ですので、傷をつけるだけなのでやめましょう。

Q光の反射の像について

 光を四角い鏡に反射させたとき、近くの壁には、四角く(鏡の形とおなじ形の)像ができるのに、ずっと遠くの壁に反射させると、その像は丸くなります。一体どうしてですか?分かる方、至急回答お願いします!!

Aベストアンサー

完全な鏡、つまり完全に平らな鏡に、完全に位相のそろった並行光を当てればどこまでも並行に進みますから四角なままです。

そうでない場合は輪郭(四角)がぼけてきます。

鏡に凸凹やゆがみがあれば、並行光があたっても進む方向がバラバラですので、先に行けば行くほど丸くなるのは理解できると思います。

完全な鏡の場合に、位相と波長のそろった光でない場合はどうなるのかちょっとわかりません。#1でnovaakiraさんが述べられたような結果になるのかも知れません。ただ、わかりやすく表現されたかったためと思いますが、表現としてはちょとおかしいところがあります。次の点です。(1)遠くに行けば行くほど、(2)ある距離を境に、と言うところです。また回析なのか干渉なのかも私にはよくわかりません。この点については専門の方からの回答をもらった方が良いかと思います。(←この部分自信なし)

その他、実際には空気があるのでぼやけやすくなります。これは空気自体の屈折率の場所による変化と、空気中のチリによる散乱の問題があります。

一番はじめの、平らな鏡に位相と波長のそろった光(レーザ光)をあてるとどうなるか、についてですが、このような実験があります。
アポロ計画によって月面に置かれた反射板に地上からレーザ光をあてる実験です。反射板は当然ですが最高水準の平面度を持った鏡です(この鏡は3枚を正確に90度に組み合わせることでどこから投射した光でも元の位置へ返すことができるようになっています)。ここへ地上からレーザー光を投射します。これが月まで行って帰ってくると数Km程度にまで広がると聞きました(*)。
最高の設備を使ってこの程度広がるわけですから我々の周りの機器ではこのくらい広がっても不思議ではありません。
*:はじめのレーザ光の太さはわかりません。数Kmというのも自信なしです。

と言うことで丸くなるのは何かの像が写っているわけではありません。完全な回答ではありませんが、お急ぎのようでしたので、誤解の無いように少しだけアドバイスしたとお考えください。

完全な鏡、つまり完全に平らな鏡に、完全に位相のそろった並行光を当てればどこまでも並行に進みますから四角なままです。

そうでない場合は輪郭(四角)がぼけてきます。

鏡に凸凹やゆがみがあれば、並行光があたっても進む方向がバラバラですので、先に行けば行くほど丸くなるのは理解できると思います。

完全な鏡の場合に、位相と波長のそろった光でない場合はどうなるのかちょっとわかりません。#1でnovaakiraさんが述べられたような結果になるのかも知れません。ただ、わかりやすく表現されたかっ...続きを読む


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