「四面体OABCにおいて→OA=→a, →OB=→b, →OC=→cとする。平面ABC上の任意の点Xに対して→OXを→a,→b,→c,で表せ。」という問題が入試問題で実際に出たのですが、解答では、パラメーターのx,yなどの文字をかならず使わなければ→OXは表せませんよね。事実、解答でも、→OX=(1-x-y)(→a) + x(→b) + y(→c) のように書かれていました。このように問題文中で示されていない文字を自分で設定してそれを答えとしても良いのでしょうか。普通は自分で設定した文字は、問題文の条件などを使って最後には消してそれを答えとしますよね。これは欠陥問題として捉えた方がよいのでしょうか。それと、
「→OP=x(→OA)+y(→OB)+z(→OC)において点Pが平面ABC上にあり
(→OA),(→OB),(→OC)は一次独立なベクトル
⇔x+y+z=1」
は証明なしで使っても良いのでしょうか。

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A 回答 (3件)

no1の回答者のhikaru_macです。


space-travelさんごめんなさい。

>点Xが直線AB,BC,CA上にない場合、
>直線OXと直線BCの交点をPとおく
で、直線OXは直線AXの間違いです。
大間違いです。
自信ありで大間違いをしてしまいました~。ごめんなさい。

--
>本の解答では→OAを中継点として→AB,→ACにパラメーターのx,yをつけてそれを分点公式~良いのかなと思いましたがどうやらOKのようですね。
について、
『→OX=x→a + y→b + z→c 、x+y+z=1』
はこの問題については証明無しで使わない方がいいです。
だって、おそらくこの問題作成者は、それを証明してほしくて出題したからです。(私はそう思う)


--
>しつこくて申し訳ないのですが、基本的にはだめだと考えて良いんですよね。
>この場合はそうするしかしょうがないからってことですよね。こういう解答のしかたは初めて見てとまどっているのですが。良心的できちんとした入試問題だったら、パラメータの文字も「s,t(0<s,t<1)で表せ」のように指示してくれると思ったのですが。

私の知る限りでは、『「s,t(0<s,t<1)で表せ」』のように、指示してくれる問題はすくないです。
基本的にダメどころか、むしろ、自分で文字を指定してください。
ただし、問題で指定されている場合はそちらの文字を優先して使って下さい。

あと、『しつこくて申し訳な』くなんてないです。むしろ分かりにくい点、勘違いしてるかも、って思った点はバンバン質問してくれた方が、いいです。私はその方がいいです。
一度表現しただけで意図が正確に伝わる事は少ないし、そうする事は困難だと思います。(もちろんそうしようと努力する事は大切ですが。)


--
あと、私の<解>の補足ですが、最後に(s,t)を(x,y)に変換していますよね?
あれは、あなたのはじめの質問での解答を参考にして、その変換をおこなったのであって、
ふつう、問題を見たら、私なら(s,t)を使った表現で終わっていたと思います。
逆にいえば、私は(s,t)でおわってもかまわないと思っているという事です。

--
ps:なにか質問があればどんどんどうぞ。
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この回答へのお礼

hikaru_macさん再度登場していただいてどうもありがとうございます。

>>点Xが直線AB,BC,CA上にない場合、
>>直線OXと直線BCの交点をPとおく
>で、直線OXは直線AXの間違いです。
>大間違いです。
>自信ありで大間違いをしてしまいました~。ごめんなさい。

いえいえ。なるほど、そういうことだったんですね。2度分点公式を使ってあとは整理すればできあがりなんですね。初めて聞いたので新鮮でした。

>『→OX=x→a + y→b + z→c 、x+y+z=1』
はこの問題については証明無しで使わない方がいいです。
だって、おそらくこの問題作成者は、それを証明してほしくて出題したからです。(私はそう思う)

ああ、そうですね。確かに私もそう思います。問題の意図をくみ取ってそれにあわせた解答を作ることが大事ですね。

>私の知る限りでは、『「s,t(0<s,t<1)で表せ」』のように、指示してくれる問題はすくないです。

そうですね、私もみたことはないですぅ・・。パラメーターは自分で設定するものですよね。ただパラメーターの状態で答えさせる設問もあまり見たことがありませんでした。ベクトルの問題集をパラパラとめくっていましたが、たいてい「座標を求めよ」という設問設定で、平面のベクトル方程式をパラメーターを使って立てて計算の途中で消去して答えとするものでした。でも今回の問題でこのようなタイプにも慣れておかないと行けませんね。出題者に文句は言えないですから。

>あと、『しつこくて申し訳な』くなんてないです。むしろ分かりにくい点、勘違いしてるかも、って思った点はバンバン質問してくれた方が、いいです。私はその方がいいです。

そういっていただけるとありがたいです。やはりうやむやにせずにわからなかったところはどんどん尋ねていこうと思いました。

お礼日時:2002/04/16 01:55

前者の質問だけ答えさせていただきます。


基本的にはちゃんと指示があるはずです。
いい例が物理です。space-travelさんは物理を習っていますか?
もし習っていたらわかりますよね。
自分で文字に置き最後に問題文に書いてある文字でまとめる。
そういうことです。普通は書いていると思います。
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この回答へのお礼

shu84さんコンニチハ!私は物理をとっていないのでよくわからないのですが、物理ではそうするんですね。なるほど、普通は書いてあるということですか。参考になりました。ありがとうございました。

お礼日時:2002/04/14 06:59

>問題文中で示されていない文字を自分で設定してそれを答えとしても良いのでしょうか


いいと思います。
そして、このような問題ではそのようにして解くべきだと思います。

>「~~」 は証明なしで使っても良いのでしょうか。
たいていのベクトルの問題ならば、使ってもいいと思いますが、解答欄に余裕がある場合はまず直線AB上の点からベクトルで表していく、、という方法を使うことをお勧めします。
それから、今話題にしている入試問題のような問題の場合では、「~~」をそのまま証明なしで使わないで回答することを求められているような気がします。

すなわち私ならばこう回答します。

<解>
点Xが直線AB,BC,CA上にない場合、
直線OXと直線BCの交点をPとおく。→OP=→pとおく。
点Pは直線BC上にあり、→b、→cは一次独立なので、
→p=s→b+(1-s)→cとおける。(sは実数)
点Xは直線PA上にあり、→pと→aは一次独立なので、
→OX=t→p+(1-t)→aとおける。(tは実数)
よって
→OX=(1-t)→a+ts→b+t(1-s)→c。
いま、x=ts、y=t(1-s)とおくと、(x,yは実数)
x+y=t。よって1-t=1-x-y。
よって
→OX=(1-x-y)→a+x→+y→cとかける。

また、点Xが直線AB,BC,CA上にある場合も上は明らかに正しい。

<終>

こんなもんでどうでしょうか。
最後の~な場合は明らかに正しいは、ひまがあればちゃんと書けばいいと思う。時間がないならしょうがない。
あと、s,tのおき方は最後にx,yに置き換えやすいようにちょっとテクニカルでした。(ニヤリ)

なにか質問があればどうぞ。
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この回答へのお礼

hikaru_macさんお返事どうもありがとうございます。

>>問題文中で示されていない文字を自分で設定してそれを答えとしても良いのでしょうか
いいと思います。
そして、このような問題ではそのようにして解くべきだと思います。

しつこくて申し訳ないのですが、基本的にはだめだと考えて良いんですよね。
この場合はそうするしかしょうがないからってことですよね。こういう解答のしかたは初めて見てとまどっているのですが。良心的できちんとした入試問題だったら、パラメータの文字も「s,t(0<s,t<1)で表せ」のように指示してくれると思ったのですが。

それと、解答どうもありがとうございました!!少しわからないところがあるので、もう一度質問させていただいてよろしいでしょうか。

>点Xが直線AB,BC,CA上にない場合、
直線OXと直線BCの交点をPとおく。

点Xは平面ABC上の点だから、直線BCとは交わらないと思ったのですがどこで思い違いをしているのか教えていただければ幸いです。

本の解答では→OAを中継点として→AB,→ACにパラメーターのx,yをつけてそれを分点公式で→OA,→OB,→OCに戻して解答としているようですが、→OX=x→a + y→b
+ z→c として証明しなくても良ければx+y+z=1から一文字消去をして答えとしても良いのかなと思いましたがどうやらOKのようですね。

お礼日時:2002/04/12 23:51

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