ばね定数？単振動？

Question

振動周期が Ｔ＝２π√（ｍ/k)
ばね定数が ｋ＝ｍｇ/ｌ

なので、振動周期Ｔは
Ｔ＝２π√（ｌ/ｇ）

結局、振動周期Ｔは、ばねの長さだけに影響される
と考えていいんでしょうか？

質量が関係するとは思うのですが．．．

noname#40706 · Accepted Answer

＜＜結局、振動周期Ｔは、ばねの長さだけに影響される＞。

そのとおりともいえるし、そうでないともいえます。

この場合、ばねの長さｌ　はおもりの重さ（質量）できまりますね。

つまり、重たいおもりをつけたら、ｌが大きくなる。

ですから、このｌ　のなかに、おもりの質量が「含まれて？」いるのです。

結局、ばねの長さに影響されるということは、おもりの質量に影響されているということです。

ところで、単振動の本質は

質量ｍの物体に　

ｆ＝－ｋｘ

というかたちの復元力がはたらいたときに生じる運動　ということです。

そのとき、その周期Ｔは

 Ｔ＝２π√（ｍ/k)　　

となるのですね。

いつでも、この基本式に立ち戻って考えてください。



おもりをつけて手をはなして、つりあいの位置からｘだけのびたときにおもりにはたらく力が　ｘｍｇ／ｌ

これがｆ＝－ｋｘの　ｋｘ　したがって　ｋ＝ｍｇ／ｌ

したがってＴ＝２π√（ｍ／ｋ）＝２π√（ｍ/（ｍｇ／ｌ））＝２π√（ｌ/ｇ）

ということです。


ひもの長さ、重力加速度の大きさ、おもりの質量など　のみにまどわされることはなく、式が導かれます。

physicsache · Answer

k=mg/l についてですが、
これは次の条件を満たしているバネを使用していると言えます。

「バネ定数kのバネを垂直に持ち、質量mのおもりを下端につけた。
　バネが、自然長から l 伸びた時点で、おもりによる重力mgと
　バネの弾性力kl が釣り合った。」

この文を式にすると、次の通り。
mg-kl=0
∴k=mg/l


繰り返しますが、lはバネの長さではありません。

質量mのおもりによる重力とバネの弾性力が釣り合う時の
バネの伸びなのですよ。

ですから、やはり周期には、おもりの質量が効いています。

noname#40706 · Answer

Ａ５　です　　補足

ここで「ばねの長さ」　というのは

もちろん、ばね全体の長さではなく、

「ばねの伸び」

のことです。

さきほどの議論を単振り子と較べてみると興味深いと思います。


おもりをぶら下げたばねはかりがどんな周期で振動するのか、

それは　

たとえば「ばねの伸び」が２０ｃｍ　であったときは、

ひもの長さが２０ｃｍの単振り子と同じですよ、

ということを表しています。

ですから、おもりが重くなるほど、ばねの伸びも大きくなる、（対応する単振り子のひもも長くなる）、だから周期も長くなる、ということです。

ついでにいいますと、

このばね振り子を月の世界に持っていって実験しても、周期は同じです。（ばねの伸びは短くなるのに！）

yu-fo · Answer

ご質問の周期の式は、建築で扱われる建物モデルの固有周期の公式と同一ですね．
この公式は運動方程式(ma+kx=0)から簡単に求めることができます．
公式を眺めればわかりますとおり、振動周期は質量に比例し、バネ定数に反比例します．

そこで問題となるのは、バネ定数の設定と思われます．

建物モデルの場合は、重力加速度を水平に加えたときの水平変位dからバネ定数を求めます．
k=mg/d
よって、振動周期Ｔは
T=2pai*sqrt(m/k)=2pai*sqrt{m/(mg/d)}=2pai*(d/g)
となり、水平変位に依存することになります．
ここでいう水平変位dは、振り子で考えた場合の振り子の長さlとは別物であることに注意が必要です．

ご参考までに．

Willyt · Answer

バネ定数がそのとおりなら、周期はｌだけの函数になりますね。ただ、そのようなバネ定数を実現できるようなモデルはちょっと思いつかないのですがね。

leo-ultra · Answer

ごめんなさい。ちゃんと式をチェックしていませんが、
これって振り子の式じゃない。

振り子の振動周期が振り子の長さに依存するが、質量には依存しないのは有名な話。

ただし、振り子を単振動で近似できるのは、
振幅が小さいときだけ。

振幅が大きくなったら、質量に依存するかもしれません。

YHU00444 · Answer

「ばね定数が k=mg/l」ってことは、（そのバネに）つないでいる物体の質量に比例してバネが固くなるってことですよね。
それならバネの反発力も質量に比例するから加速度のmもキャンセルされるわけで、その積分により導出される振動周期Tからmが消滅するのは自明の理でしょう。

※むろんそんな都合の良いバネは仮想的な存在に過ぎませんが

ばね定数？単振動？

＜＜結局、振動周期Ｔは、ばねの長さだけに影響される＞。

k=mg/l についてですが、

Ａ５ です 補足

ご質問の周期の式は、建築で扱われる建物モデルの固有周期の公式と同一ですね．

バネ定数がそのとおりなら、周期はｌだけの函数になりますね。

ごめんなさい。

「ばね定数が k=mg/l」ってことは、（そのバネに）つないでいる物体の質量に比例してバネが固くなるってことですよね。

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Ａ５　です　　補足