『位相空間(X,T)がHausdorff空間
⇔
X∋∀x,y:相異なる,
∃S1,S2 such that S1∈NS(x,T),S2∈NS(y,T),S1∩S2=φ
NS(x,T):={S∈T;x∈S}:近傍系』
という定義の元に
命題
「Y⊂X:Txを位相とする位相空間
の時、
X:Hausdorff⇒Y:Hausdorff」
を示したいのです。
これは厳密に述べると
「XがHaudorff空間をなすならばYも独自の位相Tyを持ち、位相空間(Y,Ty)は
『Y∋∀x,y:相異なる,
∃S1,S2 such that S1∈NS(x,Ty),S2∈NS(y,Ty),S1∩S2=φ
NS(x,Ty):={S∈Ty;x∈S}』をなす」
という事ですよね。
で、実際に示してみますと
もし、Y=φの時は勿論、Y:Hausdorff
Y≠φの時は
Y∋∀x1,x2:相異なる
∃S1∈NS(x1,Tx),S2∈NS(x2,Tx) such that S1∩S2=φ
S1':=S1/Y,S2':=S2/Yと置くと、S1'∩S2'=φ
、、、とここまでは分かるのですが
更に
S1',S2'∈Ty(:集合Yにおける位相)
でなければHausdorff空間をなしませんよね。
Tyはどのように定義すればいいのでしょうか?
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>S1':=S1/Y,S2':=S2/Yと置くと、S1'∩S2'=φ
S1/Y とか S2/Y って何ですか?
スラッシュの意味です
それと,位相空間Xの部分集合Yに位相をいれる方法は
ご存知ですか?
「相対位相」をご存知ですか?
>Yも独自の位相Tyを持ち、
この「独自の位相」が問題です.
おおもとのXと全く関係ない位相をYにいれたら
XがHausdorffでもYはそうなるとは限りません.
例:R:普通の実数(距離による位相をいれる)
区間I=[0,1]:一番粗い位相(Iそのものと空集合だけの位相)をいれる
IはRの部分集合,RはHausdorff,Iには「独自の位相」があるが
IはHausdorffではない.
No.2
- 回答日時:
Yにどのような位相を入れるかはYが与えられると決まるわけではなく、
自分で決めなければなりません。
この問題の場合はYに相対位相を入れるのが自然です。
そうするとYはハウスドルフになります。
(位相の入れ方によってはなりません)
相対位相とはYの開集合系をTY={S∩Y|S∈TX}
と定めます。TYが開集合系の公理を満たすことは簡単に確かめられます。
そうすると質問文中のS1':=S1∩Y、S2'=S2∩Y
(/は∩の間違いですね?)は定義によりYの開集合になり、Yはハウスドルフになります。
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