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A population of bacteria grows at a rate proportional to the number present.After two hours,the population has tripled.After two more hours elapse,the population will have increased by a factor of k.What's the value of k?

という問題なのですが
つまり、これはバクテリア数をy、経過時間をxとすると
y=f(x)という関数があって、f'(x)=kf(x)という関係が成立っているという事ですよね。
この微分方程式を解くと、
dy/dx=ky
dy/y=kdx
logy=kx+C
y=Ce^(kx)
f(x)=Ce^(kx)…(*)
今、f(0)=Cなので(*)は
f(x)=f(0)e^(kx)…(**)
と書け、題意から
f(2)=f(0)e^(2k)=3f(0)
即ち、e^(2k)=3
よって、k=log√3で(**)は
f(x)=f(0)e^(xlog√3)と書ける。
これから更に2時間経つと最初から4時間経過した事になるので
f(4)=f(0)e^(4log√3)
よって
f(0)e^(4log√3)÷f(0)=e^(4log√3)
答え e^(4log√3)倍

となったのですが何故か答えは9になっています。
問題を解釈し間違っているのでしょうか?
一体のこのfactor kって何の事を言っているのでしょうか?

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A 回答 (2件)

結果は合ってますが, 式の立て方が違う....


英文を読む限り, この微分方程式に k は出てきません.
まず「バクテリアの増加速度は現在の数に比例する」だから 時刻 t における数を y(t) とおくと y'(t) = c y(t) (c は定数) です. つまり y(t) = y(0) e^(ct).
ここで「2時間たつと 3倍になる」から y(2時間) = 3 y(0) なので e^(2時間 c) = 3. つまり c = log 3 / 2時間 となります.
で「さらに 2時間たったら k倍になる」と書かれているので y(2時間+2時間) = k y(0). で k = e^(4時間 c) = 9 と.
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この回答へのお礼

どうも有り難うございました。

お陰様で参考になりました。

お礼日時:2007/09/16 03:26

途中はよく見てませんが、


e^(4log√3)=9
なので問題ないのでは。
logの意味を考えてみてください。
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この回答へのお礼

どうも有り難うございました。

お陰様で参考になりました。

お礼日時:2007/09/16 03:25

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Q微分方程式を用いたバクテリア増殖

ある種のバクテリアが1分間にその時の総数の1%を増加させていて、
一番最初の総数は「S」として、t分後の数を示したいんですけど、
微分方程式を立てないで答えを導いてしまいました。
その内容は
0分後(最初)の総数:S
1分後の総数:S+0.01S=1.01S=aと置き
2分後の総数:a+0.01a=1.01a=1.01の2乗*S=bと置き
3分後の総数:b+0.01b=1.01b=1.01の3乗*S=cと置き
・・・・
t分後の総数:1.01のt乗*S(まちがってるかな?)
って考えたのですが
おそらく微分方程式ならもっと簡単に導けると思うのですが、立式の仕方をご教授願います。

Aベストアンサー

この問題ならば、微分方程式ではなく、hirotaka1さんのように解けばいいと思います。
要するに、「1分後に1.01倍になる」のであるから、t分後には、1.01^t倍になる。
よって、t分後の総数はst^1.01(終)

仮に、問題が、「増加速度がその時の総数の1%である」という問題だと、以下のようになります。

時刻tにおけるバクテリアの総数をV(t)とすると、「増加速度が総数の1%」だから、
V'(t)=0.01V(t)
となる。
この微分方程式を解くと、
V(t)=Ce^(0.01t)(Cは定数)
となる。
t=0のときの総数をsとおくと、
V(0)=C=s
である。
以上により、V(t)=se^(0.01t)である。


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