|a|-|b|≦|a-b|の証明の仕方

|a|-|b|≦|a-b|の証明で、解答には

i)|a|-|b|<0,ii)|a|-|b|≧0に分けていましたが、どうしてそういうわけ方になるのでしょうか。
|a|-|b|≦|a-b|の証明もかねて、御回答くださればと思います

No.4 ベストアンサー 回答者： rtz 回答日時： 2006/11/13 00:13

|a-b| は絶対値なので必ず0以上です。

つまり |a|-|b|＜0 であれば、必ず |a|-|b|＜0≦|a-b| が成り立ちます。
逆に |a|-|b|≧0 のときはどちらが大きいか分かりません。
そういう意味で場合分けがされているのだと思います。

以下 |a|-|b|≧0 のときを考えます。
証明自体は両辺を2乗することが多いかと。
右辺の2乗
＝|a-b|^2 （^は～乗の意味です）
＝(a-b)^2 （絶対値の2乗は元の数の2乗と同じなので）
＝a^2 - 2ab + b^2
左辺の2乗
＝(|a|-|b|)*(|a|-|b|)
＝|a|^2 - 2|a||b| + |b|^2 （ただ展開しただけ）
＝a^2 - 2|a||b| + b^2

右辺の2乗から左辺の2乗を引くと、
(a^2 - 2ab + b^2) - (a^2 - 2|a||b| + b^2)
＝2|a||b| - 2ab …☆
aとbの一方が0以上で他方が0未満なら、
2abが0以下になるので、☆は0以上です。
aとbが共に0以上か、共に0未満なら、
2abは0以上ですが、2|a||b|が2abと等しくなり、☆は0です。
どちらにしろ☆は0以上ということになります。

(|a-b|^2) - (|a|-|b|)^2 ≧ 0 より
(|a-b|^2) ≧ (|a|-|b|)^2
ところで |a|-|b|≧0 とし、元々 |a-b|≧0なので、
結局 |a-b| ≧ |a|-|b| となる、ということです。

実際の証明の場合は最後にhata3955jさんのおっしゃっていることを適用すればいいので、私のやり方であれば最後の"ところで～"の部分で場合分けすればよいです。

No.3 回答者： debut 回答日時： 2006/11/13 00:13

両辺が正だとわかれば、Ａ^2－Ｂ^2≧０のとき

Ａ≧Ｂといえるから、左辺が負になる場合を排除
するためでしょう。
この場合、i)|a|-|b|<0のときは|a-b|≧０なので
明らかに成り立つから、両辺が正の場合のii)を
２乗の差で証明すればいいことになります。

|a-b|^2-(|a|-|b|)^2
=a^2-ab+b^2-a^2+2|ab|-b^2
=2(-ab+|ab|)≧０
なぜならば、|ab|≧ab

No.2 回答者： noname#40706 回答日時： 2006/11/12 23:42

両辺の大小をくらべるとき、片方が正、片方が負の場合は、くらべるまでもないですね。

また、両辺がどちらも正の場合は両辺を２乗してくらべたらＯＫですね。

これが、左辺を正と負に場合分けする理由です。


|a|-|b|≦|a-b|の右辺は０または正ですから、左辺が負のばあいは明らかに成立。したがって正の場合についてのみ吟味すればよい、ということです。


そのとき両辺を２乗しても大小関係は変わりませんから、実際に両辺を２乗して比較すれば容易に解けると思います。

No.1 回答者： ururunL 回答日時： 2006/11/12 23:35

私は分け方なんて疑問に思わなかったな。

|a|-|b|<0,|a|-|b|≧0でも|a|-|b|>0,|a|-|b|≦0でも|a|-|b|<0,|a|-|b|=0,|a|-|b|>0でも同じことじゃないですか？
たまたまそういう教え方に統一されてしまってるとか。
で、この問題はa,bに実数を当てはめて考えてました。どんな数を当てはめても|a|-|b|≦|a-b|は成立するのです。