No.2ベストアンサー
- 回答日時:
3つのベクトル↑A=(a,0,0),↑B=(b*cosα,b*sinα,0),↑C=(d,e,f)があって
(a,b,c,f>0)
今、
d^2+e^2+f^2=c^2・・・・・(1)
ac*cosβ=ad・・・・・(2)
bc*cosγ=bd*cosα+be*sinα・・・・・(3)
が成立しています。(ベクトルの内積)
(2)より
d=c*cosβ
(3)より
e=(c*cosγ-d*cosα)/sinα=c(cosγ-cosαcosβ)/sinα
(1)に代入して
c^2*cos^2β+c^2*(cosγ-cosαcosβ)^2/sin^2α+f^2=c^2
f=c*{1-cos^2β-(cosγ-cosαcosβ)^2/sin^2α}^(1/2)
=c*{sin^2β-(cosγ-cosαcosβ)^2/sin^2α}^(1/2)
ここで↑Aと↑Bからできる平行四辺形の面積は
ab*sinα
これに高さ(f)をかけると体積になりますので
体積V=ab*sinα*c*{sin^2β-(cosγ-cosαcosβ)^2/sin^2α}^(1/2)
=abc*{sin^2αsin^2β-(cosγ-cosαcosβ)^2}^(1/2)
=abc*{sin^2αsin^2β-cos^2γ-cos^2αcos^2β+2cosαcosβcosγ}^(1/2)
=abc*{(1-cos^2α)(1-cos^2β)-cos^2γ-cos^2αcos^2β+2cosαcosβcosγ}^(1/2)
=abc*{1-cos^2α-cos^2β-cos^2γ+2cosαcosβcosγ}^(1/2)
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