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lim_[x→∞](1+1/x)^x=e ですが、x の代わりに(x+1)にした場合:
lim_[x→∞](1+1/(x+1))^(x+1) どうなりますか?
たぶん e だとは思うのですが。解き方も教えてください。
よろしくお願いします。

gooドクター

A 回答 (3件)

>y^(n+1)/y^n や (n+1)y/ny なんかだと+1が生きてきますよね。


そのとおり、+1を無視するわけにいきません。また、先の回答が+1を無視しているわけでもありません。
この問題を少し変えて、
lim_[x→∞](1+1/x)^(x+1)
とすれば、
lim_[x→∞](1+1/x)^(x+1)=lim_[x→∞](1+1/x)^x *(1+1/x)=e
(∵ x→∞ のとき(1+1/x)^x→e ,(1+1/x)→1)

lim_[x→∞](1+1/(x+1))^x
とすれば、y=x+1 とおいて
lim_[x→∞](1+1/(x+1))^x=lim_[y→∞](1+1/y)^(y-1)=lim_[y→∞](1+1/y)^y /(1+1/y)=e
(∵ y→∞ のとき(1+1/y)^y→e ,(1+1/y)→1)

結果は同じeですが、途中で+1を無視せずに解答する必要があるでしょう。
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この回答へのお礼

べき乗部の文字以外の±1を分離することは思いつきませんでした。
たしかに説明を読むとなるほど、と思います。
x→∞ のとき y=x+1=∞+1 で ∞+1 は ∞ということをしっかり
認識できていないことが問題なのかもとか思いました。
∞の感覚がまだしっかり身についていないのかもしれません。
再度回答ありがとうございました。

お礼日時:2006/11/30 21:22

(1+1/(x+1))^(x+1) の、1/(x+1) は、分母子を x で割ると、


(1/x)/{1+(1/x)} となり、x → ∞のとき、分母は限りなく 1 に近づくので
(1/x)/{1+(1/x)} → 1/x に限りなく近づきます。
従って、
lim_[x→∞](1+1/(x+1))^(x+1)=lim_[x→∞]{(1+(1/x))^x}・{1+(1/x)}
{(1+(1/x))^x} は限りなく e に近づき、{1+(1/x)} は限りなく 1 に近づくので
(1+1/(x+1))^(x+1) 全体は、e に近づきます。
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この回答へのお礼

>(1/x)/{1+(1/x)} → 1/x に限りなく近づきます。
ここも分母の微小な1/xを無視する作業が必要ですよね。
やはり、自分には無限の数学的感覚が染み付いてないようです。
もう少し勉強してみます。回答ありがとうございました。

お礼日時:2006/12/02 15:16

lim_[x→∞](1+1/(x+1))^(x+1)


において、y=x+1 とおけば、
x→∞ のとき y→∞ だから
lim_[x→∞](1+1/(x+1))^(x+1)=lim_[y→∞](1+1/y)^y=e
とやってしまうのが普通だと思いますが、この方法に納得できないから
質問されているのでしょうか?
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
たしかに言われてみると納得できそうなのですが、
+1の意味がなくなっているような気がしてしっくり
こないのです。無限にくらべて+1がたいしたことないことは
なんとなくわかるのですが・・・
y^(n+1)/y^n や (n+1)y/ny なんかだと+1が生きてきますよね。

お礼日時:2006/11/30 11:50

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