振動工学の質問ですがよろしくお願いします。

ビルなど高層構造物の側面（東側）にダンパー（オイルで満たされたシリンダーの中にピストンを入れ、ピストンはシリンダーより少し長めで上の方を構造物の側面に固定します。ピストンの底はシリンダーの底から少し離し浮かします。そしてシリンダーを構造物側面に固定します。）を取り付け、構造物を自由振動（西－東）させると考えた場合どのような力が働き、どのように式がつり合うのでしょうか？

構造物には水平力が働き、ピストンにはオイルによる粘性抵抗力？（垂直抗力？）が働くと思うのですが・・・。よくわかりません。
わかりにくい説明ですが宜しくお願いいたします。

No.4 回答者： semi-zzz 回答日時： 2006/12/12 09:17

＃２です。

＃３さんの指摘のとおり式に間違いがありましたので訂正します。。
（誤）質量×加速度＋減衰力＋速度＋剛性×変位＝０（自由振動）
（正）質量×加速度＋減衰力＋剛性×変位＝０（自由振動）
「＋速度」はよけいでした。

最初＃３さんの式（粘性減衰係数×速度）を書こうとしていたのですが、途中で特殊な減衰装置については速度比例でない減衰を取る場合もある（減衰が粘性減衰でない場合、例えば、減衰係数×速度の２乗等の例がある）ので、修正する際に間違えてしまいました。お詫び申し上げます。

ついでにケアレスミスですが、
（誤）減衰力速度に比例するという考え方を行うのが
（正）減衰力は速度に比例するという考え方を行うのが

（誤）面外変形をするだけで面何には相対変位は生じません
（正）面外変形をするだけで面内には相対変位は生じません

なお、オイルダンパーの場合オリフィスなど特殊なものを組み込んでいなければ、粘性減衰と取り扱うことが多いです。

No.3 回答者： thisaway 回答日時： 2006/12/11 20:13

僭越ですが、

#2氏の運動方程式には間違いがありますので訂正しておきます。

y''：加速度、y'：速度、y：変位
ｃ：粘性減衰係数、m：建物の質量、k：建物の剛性
とすると
運動方程式

my''+cy'+ky=0

が成り立ちます。
my''は慣性力、cy'は減衰力、kyは復元力です。

この運動方程式を
w：固有円振動数、ｈ：減衰定数
で書き換えると、
k/m=w^2
c/m=2hw
なので
y''+2hwy'+w^2y=0
という関係式が得られます。

No.2 回答者： semi-zzz 回答日時： 2006/12/11 11:55

運動方程式

質量×加速度＋減衰力＋速度＋剛性×変位＝０（自由振動）
が成り立ちます。

建築の振動では、減衰力速度に比例するという考え方を行うのが一般的で、減衰力＝減衰係数×速度で示すことが多いです（粘性減衰の場合）。しかしダンパーのような特殊な減衰装置の場合その減衰特性に合わせて、減衰力は速度の２乗に比例するという場合もありますし、その他の方法を考える場合もあります。

なお、東側面に固定したダンパーは、東面に変形が起こり上下間に相対変位が生じたときに作動しますので、東面に変形が生じるすなわち、南北方向に振動したとき有効に働きます。
東西方向に自由振動した場合は、面外変形をするだけで面何には相対変位は生じません。
そのため、ダンパーとして働かず、剛性として関与することになりますが、建物の剛性に比べれば小さいので、取り付け前後でほとんど影響はないものと思います。

実際このようなシステムは既に既存技術ですので、建築の制振関係の文献を探せば答えは見つかります。

No.1 回答者： N64 回答日時： 2006/12/10 12:18

よく、いろいろな本やホームページに、おもりとばねとダンパーを組み合わせた振動の問題や解説が載っています。

これは２階の線形常微分方程式になりますが、ダンパーの減衰係数が大きければ振動が次第に減衰するような解が得られます。ビルや家では、そういうばねやダンパーがたくさん付くのでしょうから、問題はもう少し複雑になると思いますが、探せばそういう問題に近いものが載っている本やホームページもあるような気がします。