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整式の約数・倍数についての質問です。
X(2乗)-2X+4、X(3乗)+8の最大公約数・最小公倍数を答える問題です。
【X(2乗)-2X+4】 X=解なし
【X(3乗)+8】 (X+2)(X(2乗)-2X+4)
ここまではあっているでしょうか??
この先公約数・公倍数の求め方が分かりません。
X=解なしではない問題の場合は分かるのですが…。
どなたか分かる方いましたらヒントだけでも結構ですので回答お願いします。

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A 回答 (2件)

数の時はわかりますか?


たとえば 12 と 30 の時
12=2×2×3    また  30=2×3×5
と素因数分解して
最大公約数は 共通する 2×3=6
最小公倍数は 最大公約数と残ったもの(12では2、30では5)
    (2×3)×2×5=60   
整式でも同じです
  X(2乗)-2X+4 はそのまま(解なしとは言いません)
  X(3乗)+8=(X+2)(X(2乗)-2X+4)
ですから
最大公約数は 共通する X(2乗)-2X+4 
最小公倍数は 最大公約数と残ったもので
 (X(2乗)-2X+4)×1×(X+2)
  =(X+2)(X(2乗)-2X+4)
です。
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この回答へのお礼

素早いご返答ありがとうございました。
投稿した後考えてみて、もしかしたらそうなのかな??とも思ってました。
ありがとうございました。

お礼日時:2006/12/10 19:15

っていうか、


最大公倍数
x^2-2x+4
最小公倍数
x^3+8
なんじゃないの?
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二つの整式8abcと12acdの最大公倍数と最小公倍数はそれぞれ4acと24abcdではないのでしょうか?問題集の解答欄には文字だけで4とか24の数字(係数)が付いてないのですが、どうしてでしょうか?教えてください。

Aベストアンサー

tonarino-mooさんの解答と問題集の解答
のどちらも正解です。
整式の倍数・約数を考えるにあたっては,
0でない定数倍を同一視して考えるからです。
どちらでもいいということになると,
係数を1にしておく方が標準的というだけです。

混乱の原因は,前提となる基礎の部分を考慮しなか
った点にあると思います。整式の倍数・約数・整除は
どのように定めたかといえば,「整数と同じように」定
めたはずです。そして,その基礎にあるのは

任意の整式A,B≠0に対して
   A = BQ+R,(Rの次数)<(Bの次数)
を満たす整式Q,Rが(一意に)存在する

という定理でした。この定理が成り立つ前提がないと,
「整数と同じように」は定義できないわけです。

そこで問題となるのは,「係数を(除法について閉じて
いない)整数に限定すると,整除(割り算)ができない
A,Bの組合せが出てきてしまう」という点です。また,
ひと通りに定まらないという点も不都合です。

そこで,整式を「整数と同じように」と言い出した瞬間
から,「係数は有理数または実数(のように加減乗除
について閉じた世界)で考え,0でない定数倍は同一
視する」という前提で考えたのでした。
これは,整数の世界では±1以外に(整数の中では)
逆数は存在しませんが,有理数や実数の世界では
0以外は自身の中に逆数をもつので,倍数・約数の
概念がなくなってしまうことを意味します。

tonarino-mooさんの解答と問題集の解答
のどちらも正解です。
整式の倍数・約数を考えるにあたっては,
0でない定数倍を同一視して考えるからです。
どちらでもいいということになると,
係数を1にしておく方が標準的というだけです。

混乱の原因は,前提となる基礎の部分を考慮しなか
った点にあると思います。整式の倍数・約数・整除は
どのように定めたかといえば,「整数と同じように」定
めたはずです。そして,その基礎にあるのは

任意の整式A,B≠0に対して
   A = BQ+R,(Rの次数)<(B...続きを読む

Q整式の最小公倍数

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では、最小公倍数は最大公約数(x+1)と残っている(x-1)を書けばいいだけなのですか?

Aベストアンサー

AとBをかけたものは、間違いなく双方にとって公倍数だろう。
双方共に双方の数で割り切れるから。
しかし、最小の公倍数とは限らない。
最小公倍数にするには、同じ要素である最大公約数はいらないから、
AとBをかけたものを最大公約数で割ってやれば良い。


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