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 重い天体(例えば太陽)の引力を受けて運動する他の天体(惑星など)の軌道のことですが、楕円は太陽の周りをまわる、つまり戻ってくるのだから太陽の引力から脱出できない場合の軌道の形なのだろうと、感覚的に思う(まちがっているのかもしれませんが)のですが、これに対して放物線も双曲線も無限に遠く?から来て、また無限に遠く?へ去っていくというイメージを持っています。この3種類の二次曲線の、数学的な定義(2点からの距離の和云々などの)は理解できるのですが、力学的?に放物線と双曲線とがどのような違いがあるのか、どうもわかりません。違いをイメージできるように説明していただけるとありがたいのですが。

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A 回答 (2件)

楕円や放物線や双曲線は総称して円錐曲線と呼ばれています。


これは円錐を平面で切ったときの切り口が上記の曲線になることからきています。(参考URL)

楕円軌道の場合、有限時間の間に元に戻ってきます。
放物線軌道の場合は、無限の時間をかけて無限遠に行った後に
無限の時間をかけて元に戻ってきます。
楕円軌道の長軸の長さを無限大にした極限と考えればいいでしょう。
双曲線軌道の場合は、無限の時間が経過しても元に戻りません。

もし、無限に広いグラフ用紙があってこの上に楕円、放物線、双曲線が書いてあるとします。
この上に立って無限の遠方まで眺めることが出来るとします。
楕円が閉じた曲線に見えるのは当然です。
放物線は無限遠まで伸びた楕円のように見えます。これは平行線が無限遠で交わるのと同じです。
双曲線の場合は交わりません。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E9%8C%90% …

この回答への補足

 すみません、先にお礼のところに少し書いてしまったのですが、これら3種類の曲線については、そのような理解のしかたでよいでしょうか。

補足日時:2006/12/17 00:46
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この回答へのお礼

 回答、ありがとうございました。わたしは理解が遅いと感じているので、回答文をひとつずつ噛み締めて、頭の中で整理して考えました。
 文中の「放物線軌道の場合は無限の時間をかけて・・、元に戻ってきます」のところでは、それなら「戻ってこないのと同じではないかなぁ」と思ったのですが、「楕円軌道の長軸の長さを無限大にした極限・・」の表現で飲み込めました。それから、「無限に広いグラフ用紙・・、無限の遠方を眺める・・」はとてもよくイメージができました。                                                          私なりに次のように捉えました。正円から楕円に変化させて、どんどん伸ばして(?)いくと、一瞬(この表現で適当かどうか)だけ放物線になり、それを通り越して双曲線になる。つまり、放物線はその意味では特別な曲線!なんだなと思いましたが。このような理解でよいでしょうか。参考URLも助かりました。返信、遅くなりすみません、ありがとうございました。
 
 

お礼日時:2006/12/17 00:39

多分ですが、放物線の方は、たまたま宇宙空間を飛んでいたら、太陽の引力に引かれて方向を変えたけれど、幸い太陽を振り切ってUターンして、もう太陽の方には戻ってこない、ということでしょう。

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この回答へのお礼

 回答、ありがとうございます。私もそんなイメージをもっているのですが、双曲線も同じ様なイメージです。で、放物線と双曲線とは、(数学上の定義の部分ではなく)どんな点がちがうのかを教えていただきたいのですが・・。

お礼日時:2006/12/16 08:51

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一般に万有引力を受けた物体の運動は、円を含む楕円、放物線、双曲線のいずれかの軌道を描く。そのいずれかの軌道になるかは、その物体の持つ力学的エネルギーEの正負によって決まる。
E < 0 なら楕円
E = 0 なら放物線
E > 0 なら双曲線
とあるのですが、なぜE<0で楕円、E=0で放物線、E>0で双曲線になるのでしょうか?教えてください。

Aベストアンサー

軌道がどのようになるかは
ニュートンの運動法則とニュートンの万有引力の法則
で簡単に導かれます
具体的には
質量mの物体1と質量Mの物体2だけが宇宙空間に有るとき
物体1のある慣性系原点からの位置ベクトルをrとし
物体2のその慣性系原点からの位置ベクトルをRとすると
m・r"=-G・m・M・(r-R)/|r-R|^3
M・R"=-G・m・M・(R-r)/|R-r|^3
の方程式に従います
これにより
(r-R)"=-G・(M+m)・(r-R)/|r-R|^3
となります
ただしGは万有引力定数です
x=r-R,k=G・(M+m)とおくと
x"=-k・x/|x|^3
です
これを解けば物体1の軌道は2物体の位置を原点にして楕円軌道、放物線軌道、双曲線軌道のいづれかになることが分かります
物体1がそれぞれの軌道を描くときの力学的エネルギーを計算すれば分かります
直感的には無限遠点の位置エネルギーを0とした場合
E<0の場合無限遠点に到達できないのですから楕円軌道になり
E≧0の場合無限遠点に到達するのだから放物線軌道、双曲線軌道になるのです

軌道がどのようになるかは
ニュートンの運動法則とニュートンの万有引力の法則
で簡単に導かれます
具体的には
質量mの物体1と質量Mの物体2だけが宇宙空間に有るとき
物体1のある慣性系原点からの位置ベクトルをrとし
物体2のその慣性系原点からの位置ベクトルをRとすると
m・r"=-G・m・M・(r-R)/|r-R|^3
M・R"=-G・m・M・(R-r)/|R-r|^3
の方程式に従います
これにより
(r-R)"=-G・(M+m)・(r-R)/|r-R|^3
となります
ただしGは万有引力定数です
x=r-R,k=G・(M+m)とおくと
x"=-k・x/|x|^3
です
こ...続きを読む

Q双曲線関数は、実生活上どのように役立ちますか?

双曲線関数に関して質問です。
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皆様のお知恵をお借りしたく、よろしくお願い申し上げます。

Aベストアンサー

■送電線や吊り橋をぶら下げるロープの曲線とそれたに関わる電線やロープの荷重や鉛直方向のの重力の計算(高圧鉄塔の強度や電線や吊り橋やロープウェイなどのロープの張力強度や支柱(鉄塔)の強度の計算などに活用されている。
・ttp://www.geocities.jp/spwks280/cv-tan11.html
・ttp://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/basic3/data/hyper1.pdf (懸垂線)

■伝送線路理論(分布定数回路の設計=電信方程式の解の双曲線関数表示)で伝送方程式の表現と解析。
・ttp://suseum.jp/gq/question/1167

■微分・積分における置換積分法への応用
・ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E9%96%A2%E6%95%B0

■その他
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Aベストアンサー

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世界の双局面構造建築物のリスト
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_hyperboloid_structures


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