どう変換しているかわからないので教えてください。90=90度、180=180度などとします。

(1)sinΘ=cos(90-Θ)=-cos(Θ+90)=sin(180-Θ)=-sin(180+Θ)=-cos(270-Θ)=cos(90-Θ)=-sin(-Θ)

(2)cosΘ=sin(90-Θ)=sin(Θ+90)=-cos(180-Θ)=-cos(180+Θ)=-sin(270-Θ)=-sin(Θ-90)=cos(-Θ)

これらは一瞬にして出来るようです。考え方の基本としてなんとなく理解できたところがあるのでそれを書きます。

sin(Θ-90)を考えます。まず、単位円の縦軸をsin、横軸をcosとします。sin(Θ-90)の90を消したくなったら、勝手に+90してします。そうすると、sin(Θ)となりますが、このままでは明らかにおかしいです。なのでそのかわりに、(先ほどの単位円をイメージしてください。)単位円においても+90する(時計で言えば反時計回りに12時から9時の位置に針を動かす。)のです。そうすると見事に[-cosΘ]になりますよね。単位円においては反時計回りが正です。

この考え方は一応理解できて、sin(180±Θ),cos(90±)などは暗記せずに助かっているのですが、上の(1)(2)はわかいません。


よろしくお願いいたします。

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A 回答 (3件)

蛇足です.


三角関数の加法定理ご存知ですか?

sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)
cos(α+β)=cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β)

と言うものです.
これと,
sin(-α)=-sin(α)  ・・・sin関数は奇関数(f(-x)=-f(x)).
cos(-α)= cos(α)  ・・・cos関数は偶関数(f(-x)=f(x)).

を組み合わせると,この手の関係式は出てきます.
cos(90°-Θ)=cos(90°)cos(-Θ)-sin(90°)sin(-Θ)
=cos(90°)cosΘ +sin(90°)sinΘ
=sinΘ

cos(90°)=0
sin(90°)=1
なども用います.

こういうやり方は質問からはズレていると思いますが
検算にでも使ってください.

単位円を書いて,その上で単位ベクトル(単位円の上をぐるぐるまわるベクトル)を描画して三角関数を理解するのは
定義に近くてとてもよい方法だと思います.
単位円上で任意の角度Θで単位ベクトルを描いて,
それを-90°とか回転させた状態でのsin,cosを考える事になりますね.

それでは.
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例えば単位円上で、sin30とcos60は、「合同な三角形」の「同じ辺の比」を計ってますよね。


あるいは、|sin30|と|cos120|でも良いですが。

私の覚え方はもっとシンプルで、
・|sin|と|cos|はどちらかを90度ずらしたり、90度からその角を引いたりした場合、sinとcosを入れ替えると元の値になる。(図形的に等価だから)
・sinは0↑1↓0↓-1↑0、cosは1↓0↓-1↑0↑1というように周期的に動く。
・正負の符号は単位円のxyの正負を見て追々考える。
です。
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(1)(2)のうちのどこが解らないのか判りませんが、


sin0、sin30、sin45、sin60、sin90、sin0、cox30、cos45、cos60、cos90

等の代表的な角と単位円をそれぞれ一覧表に書いてみて、「図形的に等価な」sin、cosを探し、符号はまた別個に見たらどうでしょう。
勿論、それらを±90、±180した物も表に書きます。

この回答への補足

どうも、ありがとうございます。
「図形的に等価」とはどういうことでしょうか。具体例などを挙げていただけるとうれしいです。

補足日時:2007/01/03 14:01
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Qsin(180-Θ)やcos(180-Θ)について

sin(180°-Θ)=sinΘ
cos(180°-Θ)= -cosΘ


自分の使っている参考書の
この公式についての説明で
「左辺のsin(180°-Θ)、cos(180°-Θ)のΘに第一象限の角を入れて、その符号によって右辺の符号を決定する。」

と書かれていて

この部分はなぜ「第一象限の角」という条件がつくのか理解できず
ここで質問させてもらった時に

「公式の覚え方だろう」という回答をいただいたのですが


どうしても気になってしまい出版社に問い合わせたところ

「変形公式は、すべて任意の角度θについて成り立つ公式です。
これは左辺を、加法定理で展開すると右辺が得られることから分かります。
ですから、θに任意の角度、例えば第1象限の角として30°を代入しても成り立ちます。
θは任意でいいですから、これに120°を代入しても成り立ちますが、
cos(180°ーθ)の場合、左辺は正となり、だからといって、右辺は+cosθと、+を付けては間違いですね。右辺はーCOSθが正しいからです。これはCOSθが負だからですね。
θに数値を代入して、
「左辺が正なら、右辺に+、
 左辺が負なら、右辺にーをつける」
とするためには、右辺のcosθ、sinθ、tanθが正である必要がありますので、
そのために第1象限の角度θを使えばいいのですね。ですから、θに60°を代入してもOKです。」


という返事をいただいたのですが

書いている事の意味がいまいち理解できませんでした。

この説明は、「公式の覚え方」として「第1象限の角度」を入れると考えてもいいのでしょうか?

sin(180°-Θ)=sinΘ
cos(180°-Θ)= -cosΘ


自分の使っている参考書の
この公式についての説明で
「左辺のsin(180°-Θ)、cos(180°-Θ)のΘに第一象限の角を入れて、その符号によって右辺の符号を決定する。」

と書かれていて

この部分はなぜ「第一象限の角」という条件がつくのか理解できず
ここで質問させてもらった時に

「公式の覚え方だろう」という回答をいただいたのですが


どうしても気になってしまい出版社に問い合わせたところ

「変形公式は、すべて任意の角度θについて成り立つ公式です。
これは左辺を、...続きを読む

Aベストアンサー

お絵描き、お絵描き。

単位円を書いて、三角関数の定義、
 sinθ = x
 cosθ = y
を使えば、
 sin(180-θ) = sinθ
 cos(180-θ) = -cosθ
であろうが、
 sin(90+θ) = cosθ
 cos(90+θ) = -sinθ
さらに、
 sin(360-θ) = -sinθ
 cos(360-θ) = cosθ
すぐに出てきます。

お絵描きは強いんです。
なのに、
なんでお絵描きをそんなに嫌がるのかな。

ちなみに、わたしは、ここであげた式を一切覚えていません。頭の中で単位円を思い描き、それから導いています。

二次関数の解の公式や三角関数の加法定理と違って、
質問の公式(?)なんてまったく覚える必要はありません。
こんなものは単位円を書けば、すぐに答が出てくるのですから。

Qsin^2(90°+θ)+sin^2(180°-θ)+cos^2(90

sin^2(90°+θ)+sin^2(180°-θ)+cos^2(90°+θ)+sin^2(90°-θ)
を解いてください

計算式もお願いします

Aベストアンサー

 まずは三角関数の補角の公式・余角の公式などをマスターしましょう。
 そしてこれらを使って基本に忠実に計算していきましょう。
http://izumi-math.jp/S_Yoshida/matome/s2_sankaku_seishitu.pdf

 sin(90°+θ)=cosθ
 sin(180°-θ)=sinθ
 cos(90°+θ)=-sinθ
 sin(90°-θ)=cosθ

 このことから与えられた式は次のように書き換えられます。
  与式=(cosθ)^2+(sinθ)^2+(-sinθ)^2+(cosθ)^2
    =2{(cosθ)^2+(sinθ)^2}
    =2 (∵ (cosθ)^2+(sinθ)^2=1)

Qcos2Θ(1)×cos2Θ(2)+sin2Θ(1)×sin2Θ(2)

cos2Θ(1)×cos2Θ(2)+sin2Θ(1)×sin2Θ(2)

cos2Θ(1)sin2Θ(2)-sin2Θ(1)cos2Θ(2)


(1)(2)はΘが二種類と言う意味です

この問題の答えはどうなるのでしょうか

すみませんが教えてください

Aベストアンサー

sin(α±β)
cos(α±β)
を、(±は、+の場合と、-の場合の両方とも)教科書みてもいいから導いてください。

等号「=」というのは、当然ながら、
左辺→右辺だけじゃなくて、
右辺→左辺
も成り立ちます。

Qcos(θ-90°)sin(θ+180°)・・・・

□の部分を求めよ。

(2)次の式を簡単にせよ。
cos(θ-90°)sin(θ+180°)-cos(θ-180°)sin(θ+270°)=□

それぞれ
cos(θ-90°)、sin(θ+180°)、cos(θ-180°)、sin(θ+270°)はどのように変形すれば良いのでしょうか?

回答よろしくお願いします!

Aベストアンサー

こういうのは自分で実際に当てはめてみてください

自分がやったのは
cos(θ-90°)sin(θ+180°)-cos(θ-180°)sin(θ+270°)
=sinθ*(-sinθ)-(-cosθ)*(-cosθ)
=-{(sin^2θ)+(cos^2θ)}
=-1

Q8cosAcosBcosC=1 → cos2A+cos2B+cos2C=?

△ABCの3つの角をA,B,Cとし、それらの対辺の長さをそれぞれa,b,cとする。8cosAcosBcosC=1が成り立つとき
cos2A+cos2B+cos2Cの値を求め
△ABCの外接円の半径をa,b,cを用いて表せ

この問題を解こうと思っているのですが全く手も足も出なくて困ってます。2倍角や半角などの三角関数の公式や関係式にあてはめて式変形してみたのですが全然まとまりませんでした。
回答をいただけたら助かります。よろしくお願いします

Aベストアンサー

cos2A+cos2B+cos2C
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2(cosC)^2-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2{cos(180°-A-B)}^2-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2{-cos(A+B)}^2-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2(-cosAcosB+sinAsinB)^2-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2(cosA)^2(cosB)^2+2(sinA)^2(sinB)^2-4cosAcosBsinAsinB-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2(cosA)^2(cosB)^2+2{1-(cosA)^2}{1-(cosB)^2}-4cosAcosBsinAsinB-3
=4(cosA)^2(cosB)^2-4cosAcosBsinAsinB-1
=4cosAcosB(cosAcosB-sinAsinB)-1
=4cosAcosBcos(A+B)-1
=-4cosAcosBcos(180°-A-B)-1
=-4cosAcosBcosC-1
=-4*(1/8)-1
=-3/2

外接円の半径をRとして、
cos2A+cos2B+cos2C=-3/2
⇔3-2(sinA)^2-2(sinB)^2-2(sinC)^2=-3/2
⇔(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=9/4
⇔(a/2R)^2+(b/2R)^2+(c/2R)^2=9/4
⇔(a^2+b^2+c^2)/4R^2=9/4
⇔R^2=(a^2+b^2+c^2)/9
⇔R={√(a^2+b^2+c^2)}/3

というかこういう問題は割と頑張って力押ししてみると、意外と見えてきたりする。

cos2A+cos2B+cos2C
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2(cosC)^2-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2{cos(180°-A-B)}^2-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2{-cos(A+B)}^2-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2(-cosAcosB+sinAsinB)^2-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2(cosA)^2(cosB)^2+2(sinA)^2(sinB)^2-4cosAcosBsinAsinB-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2(cosA)^2(cosB)^2+2{1-(cosA)^2}{1-(cosB)^2}-4cosAcosBsinAsinB-3
=4(cosA)^2(cosB)^2-4cosAcosBsinAsinB-1
=4cosAcosB(cosAcosB-sinAsinB)-1
=4cosAcosBcos(A+B)-1
=-4cosAcosBcos(180°-A-B)-1
=-4cosA...続きを読む


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