部分空間について

部分空間について、よく理解出来ません。教科書や参考文献に書いてあっても、かなり略されており、いきなり問題という形式が多いです。そこでですが、{［x,y,z］|x=2z}と{［x,y,z］|3x-z=y＋2z=x-y}はR^3の部分空間であるのに対し、{［x,y,z］|x^2＋y^2＋z^2=1}と{［x,y,z］|x<y＋z}はR^3の部分空間ではないのですか？教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： rtz 回答日時： 2007/01/04 14:19

部分空間ていうのは細かい言い回しを省けば、

Vの部分集合Wに対し、a,b∈W⇒a+b∈Wかつa∈W,kが実数⇒ka∈Wが成り立つことが条件です。
例えばW＝{［x,y,z］|x=2z}の場合なら、
a＝(p,q,2p)、b＝(r,s,2r)と置けばa+b＝(p+r,q+s,2(p+r))∈W、ka＝(kp,kq,2kq)∈Wとなるわけで、つまりWはR^3の部分空間。
イメージとして捉えるなら、x=2z(yは任意)という平面を考えれば、
この平面上で適当なベクトルを2つ足してもこの平面上にあるし、ベクトルを伸ばしてもやっぱりこの平面上にあるという感じですね。

{［x,y,z］|3x-z=y＋2z=x-y}も証明は上のように。
イメージなら、この場合x=4t/7,y=-3t/7,z=5t/7と表せる直線になっているので、この直線上の2つのベクトルは足してもやっぱり直線上だし、伸ばしても直線上にある。

逆に
{［x,y,z］|x^2＋y^2＋z^2=1}の場合は反例が見つかります。
(0,0,1)も(1,0,0)も当てはまるけど、それを足した(1,0,1)は当てはまらないので。
イメージとしては、これは原点中心半径1の球面ですが、原点から球面に向かうベクトルを2つ足したり何倍かしてしまったら、そのベクトルは球面上にはないですよね。

{［x,y,z］|x<y＋z}も
例えば(0,0,1)はこれに当てはまるけど、k倍した(0,0,k)はkが負の場合当てはまらなくります。

要はいかなる場合でも足したり何倍かしたベクトルもやっぱり元の条件を満たしてたら部分空間ですし、1つでも反例があれば部分空間ではないです。

No.3 回答者： motochan7185 回答日時： 2007/01/04 18:15

{［x,y,z］|x^2＋y^2＋z^2=1}と{［x,y,z］|x<y＋z}は

原点（０）を含んでいませんので、空間とはなりません。

No.1 回答者： ojisan7 回答日時： 2007/01/04 14:00

部分空間といっても、基底となる空間として、どのような空間を考えているのかによって、回答は異なってきます。

R^3というのは３次元のユーグリッド空間のことでしょうか。線形空間の部分空間についてはその定義を理解することが大切です。部分空間というのは決して「空間の一部分」という意味ではありません。部分空間であるためには、その空間を構成する要素が、スカラー倍や加法などの線形演算について閉じていることが必要です。その意味で、球面{［x,y,z］|x^2＋y^2＋z^2=1}や領域{［x,y,z］|x<y＋z}は明らかに、３次元のユーグリッド空間R^3の部分空間ではありません。直感的に言えば、スカラー倍や加法などの線形演算をすることにより、はみ出してしまいますよね（演算に関して閉じてはいない）。