半径 a の円の周を 8 等分・・・

半径 a の円の周を 8 等分する点を順に A1，A2，· · · ，A8とし，弦 A1A4と弦 A2A7，A3A6との交点をそれぞれ P，Q とし，弦 A5A8と A3A6，A2A7の交点をそれぞれ R，S とする．このとき，正方形 PQRS の面積を求めよ．また，線分 A1P，A2P と弧 A1A2とで囲まれる図形の面積を求めよ

この問題を解いているのですが全く歯が立ちません。
A1A4の長さを出そうとしてもcos3π/8が必要で、cos3π/8を半角の公式で求めてみようとしたんですが、複雑な値になってしまって、うまくいきませんでした。
A1Pは弧A1A2の長さを出してから逆算（？）して出せそうなのですが・・・。
うまく求める方法はあるのでしょうか？
回答いただければ幸いです。よろしくお願いします

No.4 ベストアンサー 回答者： yaemon_2006 回答日時： 2007/01/06 05:42

　

　計算間違いしてるかも。

OとPを結び、その延長線とA1A2との交点をNとする。
OとA1、A2をそれぞれ結ぶ。
角A1PA2 == 90度
角A1OA2 == 45度
角A1PA2と角A1OA2は、弦A1A2の中心角と円周角の関係なので
Pは三角形OA1A2の外心である。したがって、
PO == PA1 == PA2
三角形OA1A2は頂角が45度の二等辺三角形なので、
三角形OA1Nは直角三角形。
三角形PA1Nは直角二等辺三角形。
OP == x とおくと、
(x/√2)^2 + (x/√2 + x)^2 == a^2
x^2 == (a^2) / (2 + √2)
正方形PQRS == (2 * x)^2 / 2 == 2 * (x^2)
== (2 * a^2) / (2 + √2) == (2 - √2)(a^2)

A1A2 == √2x
三角形OA1A2 == √2x * (x/√2 + x) / 2
== ((1 + √2) / 2) * x^2 == (√2 * a^2) / 4
三角形PA1A2 == √2x * √2x / 4 == x^2 / 2
== (2 - √2) * a^2 / 4
線分 A1P，A2P と弧 A1A2とで囲まれる図形の面積は、
π/8 * a^2 - (√2 * a^2) / 4 + (2 - √2) * a^2 / 4
== 1/4 * (π - 2√2 + 2) * a^2
　

No.6 回答者： yaemon_2006 回答日時： 2007/01/06 09:45

　

　間違ってた。
>== 1/4 * (π - 2√2 + 2) * a^2
== 1/8 * (π - 4√2 + 4) * a^2
　

No.5 回答者： age_momo 回答日時： 2007/01/06 07:57

>cos3π/8が必要で

？？？
円の中心Oに対して∠A1OA8=2π/8=π/4
ですから

正方形の面積=(A1A8)^2=a^2+a^2-2a^2cos(π/4)=(2-√2)a^2

>線分 A1P，A2P と弧 A1A2とで囲まれる図形の面積

πa^2/8-1/2*a^2sin(π/4)+(2-√2)a^2/4=1/8*(π-2√2+4-2√2)a^2
=1/8*(π-4√2+4)a^2

No.3 回答者： debut 回答日時： 2007/01/06 01:25

参考までに。

ＯとＡ1、ＯとＰ、ＯとＱをそれぞれ結ぶ。
△ＯＰＱは直角二等辺三角形。
ＯＰ＝ｘとすれば、正方形の一辺ＰＱは(√２)ｘ。
また、∠ＯＡＰ＝∠ＡＯＰとなり、ＡＰ＝ｘ。
すると、△ＯＰＡ1で∠Ａ1ＰＯ＝135°になるから、
余弦定理、a^2=x^2+x^2-2x^2cos135°を使って
x^2=a^2/(2+√2)。
正方形の面積は、１辺が(√2)ｘだったので ２ｘ^2
となり、有理化などして　(2-√2)a^2　となるので
しょうか？

面積は扇形ＯＡ1Ａ2、△ＯＰＡ1、△ＯＰＡ2から求め
られないでしょうか？

No.2 回答者： plqa771 回答日時： 2007/01/05 23:37

円の中心Ｏ、A1、A2を結ぶ三角形の面積を求めて８倍すれば、A1～A8までを結ぶ正八角形の面積がわかる。

その八角形を基準にすれば正方形ＰＱＲＳの面積は、力技で求められます。
また正八角形の面積がわかっているので、弧で囲まれた部分の面積も円の面積から正八角形の面積を引いた1/8と、先の正方形の1/4を足す事で求められます。

説明不足な面もあるかとは思いますが、図を描きながらやって頂ければわかると思います。

ただもっとスマートな解法がありそうなので、あくまで参考程度に読んでください

No.1 回答者： osamuy 回答日時： 2007/01/05 22:49

円の中心OとA1、A2からなる三角形を考えると、Oから底辺A1_A2への高さhの2倍が正方形PQRSの1辺の長さになる――って事では。

円弧の面積については、ぱっとは思い浮かばなかった。