「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

デルタ関数をラプラス変換すると何故1になるか?
わかり易く説明お願いします。

デルタ関数はt=0の時、∞になり
      t≠0の時、0である
のは理解しているのですが、どうもラプラス変換して何故1になるかが分かりません。
そういうものとして丸暗記するべきことなのでしょうか?

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A 回答 (6件)

実は0になるとはいえないのです



δ関数というのは
例えば
fε(t)=exp(-t^2/2/ε^2)/√(2・π)/ε
のように質のいい関数において
εを0に近づけたときの極限の関数なのです
実際には極限ではなく今考えている問題において十分0に近くすればいいでしょう
fε(t)でなくても質のいい関数ならば代わりの関数を持ってきてもεに相当するパラメータを0近くにすればほぼ同じ結果が得られるのです
シュワルツは形式的に矛盾しないようにδ関数を定義しましたが作為的なので彼の理論には問題があります
この点において佐藤さんの方が人気が有るようです

片側ラプラス変換では積分範囲が0から無限大なので1とするには無理があります
しかし両側ラプラス変換ならば1となるのです
だから片側ラプラス変換を使うのを止めたほうがいいでしょう

∫[-∞,∞]dt・δ(t)・exp(-st)=1
ですが
∫[0,∞]dt・δ(t)・exp(-st)=0,1/2,1,?
ですから
もし先のガウシアンを採用した場合は1/2です
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少々おせっかいな気もしますが、No.5に補足させて頂きます。


(下記の(☆☆)部分で引っかかる人が時々いるものですから)
myaumyauさんがご自分で答えを出されていましたら
以下は参考という事でご覧下さい。

ラプラス変換の定義は
L[f(t)]=∫f(t)exp(-st)dt(積分範囲は0から∞)
ですから、L[f(t)]=F(s) は
(☆)∫f(t)exp(-st)dt = F(s)
のことです。
さて、ラプラス変換の定義から
L[f'(t)]=∫f'(t)exp(-st)dt
ここでjamf0421さん(No.4,5)が書かれているように
f=f(t), g=exp(-st) として右辺に部分積分を用いると
∫f'(t)exp(-st)dt
=[f(t)exp(-st)]_0^∞ - ∫f(t)(exp(-st))'dt
=[f(t)exp(-st)]_0^∞ + s∫f(t)exp(-st)dt
=[f(t)exp(-st)]_0^∞ + sF(s)
=lim_{t→∞}(f(t)exp(-st)) - f(0)exp(0) + sF(s)
=lim_{t→∞}(f(t)exp(-st)) - f(0) + sF(s)
(二行から三行で(☆)を使っています。またexp(0)=1。)
以上の計算から
(☆☆)lim_{t→∞}(f(t)exp(-st)) =0
ならば L[f(t)]=F(s) のときL[f'(t)]=sF(s)-f(0) である事が
示されました。

最後に(☆☆)を証明しておきましょう。
まず上の計算の前提としてf(t)のラプラス変換L[f(t)]が
存在していなければなりません。すなわち広義積分
∫f(t)exp(-st)dt(積分範囲は0から∞)
が(適当なsの範囲で)存在している事が仮定されています。
もし f(t)exp(-st) が t→∞ のとき0でなければ
広義積分は発散していまいますから(☆☆)でなくてはなりません。
(これも厳密な証明ではありませんが、今回は感じをつかむ
ということで厳密性にはこだわらないことにしました。)

数学的厳密性にこだわるならNo.2のURLにあるように
シュワルツの超関数やら佐藤超関数といった理論を持ち出す
必要がありますが、デルタ関数を計算ツールとして使いたいなら
このくらいの議論で納得して頂けたのではないでしょうか。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
部分積分に関して、理解できました。

お礼日時:2007/01/09 00:40

(ご質問への回答)


L[f'(t)]=sF(s)-f(0)のことです。
∫f'(t)g(t)dt=f(t)g(t)-∫f(t)g'(t)dt+(積分定数)が、(fg)'=f'g + fg'の両辺を積分すれば容易に導かれます。g(t)をラプラス変換のexponential関数に見立てて当てはめるだけです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
部分積分に関しては理解できました。

お礼日時:2007/01/09 00:40

あとの方でURLの提示や詳しいお話もありますが、最初のNo.1さんの証明について質問者がf(t)'のラプラス変換について分からないとおっしゃっている部分だけ補足します。


f'(t)のラプラス変換の式を、部分積分されれば明らかと思います。

この回答への補足

「f'(t)のラプラス変換の式」というのは
L[f'(t)]=sF(s)-f(0) のことですか?

これを部分積分ですか~。
すいません。わかりません。教えて下さい。

補足日時:2007/01/08 17:53
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参考URLから明らかではないでしょうか?



>デルタ関数はt=0の時、∞になり
寧ろ私にはこちらの方が理解できないです。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%B3% …
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厳密な説明だとかえって感じがつかみづらいと思いますので、


厳密ではないですが直感的な説明を。
以下、f(t)のラプラス変換をL[f(t)]で表します。

関数 U(t) を t>0 のとき1, t≦0 のとき0である関数とします。
特に U(0)=0 です。
グラフを書くとt=0 のところで値が0から1へジャンプする一段の
階段の様な形です。この U(t) をラプラス変換すると 1/s です。
(☆) L[U(t)]=1/s
(これはラプラス変換の定義に従って普通に計算すれば得られます)

さて、一般にf(t)のラプラス変換をF(s)とするとき(L[f(t)]=F(s))、
f(t)の微分f'(t)のラプラス変換は
L[f'(t)]=sF(s)-f(0)
で計算されます。

これを U(t) について適用すると
L[U'(t)]=s(1/s)-U(0)=1-0=1
ですから
(☆☆)L[U'(t)]=1
が得られました。

U(t)は t=0 で微分不可能ですが、
t>0 または t<0 では定数関数なので
(☆☆☆)U'(t)=0 (t>0 または t<0)
です。t=0 では U(t)は通常の意味では微分不可能ですが、
微分係数は「接線の傾き」というのを考えると
U(t)のようにt=0で値が0から1へジャンプする関数は
「t=0での接線の傾きが+∞」と考えることもできます。
これを認めれば
(☆☆☆☆)U'(0)=+∞
です。(☆☆☆)と(☆☆☆☆)からU'(t)はデルタ関数と
同じものと分ります。
(★)U'(t)=デルタ関数。
(☆☆)と(★)から
L[デルタ関数]=1
です。

この説明でいかがでしょうか?
教科書にはもっとちゃんとした証明が載っているかと思いますが。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

f(t)の微分f'(t)のラプラス変換は
L[f'(t)]=sF(s)-f(0)
で計算されます。

っていうところが良くわかりません。
なぜL[f'(t)]=sF(s)-f(0)
なのかを教えて下さい。

そこが分かれば、すべて解決します。
どうぞ宜しくお願い致します。

補足日時:2007/01/08 17:07
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Aベストアンサー

「応用解析要論」(田代嘉宏著、森北出版)p.45より。

      0(t<λ)
U(t-λ)= 1/2(t=λ)
      1(t>λ)  (λ>0)
ですから、この定義より、
L(U(t-λ))=∫(0→∞)[e^(-st)*U(t-λ)]dt
     =∫(λ→∞)[e^(-st)]dt
なので、変数変換τ=t-λを行えば、dτ=dtであり、s>0のとき、
L(U(t-λ))=∫(0→∞)[e^(-s(τ+λ))]dt
     =e^(-sλ)∫(0→∞)[e^(-sτ)]dτ
     =e^(-sλ)L(1)
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Aベストアンサー

ディラックのδ関数というのは,「超関数」といいまして,定義からして難しいのです.

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という意味で,簡単に言うと,有限の足し算やわり算やかけ算で定義できないと言うことです.


δ関数の定義は,
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0の周りの範囲で積分すると,1 になるというのが定義です.
ものすごく尖った関数と言うことです.

δ関数をフーリエ変換したりすることもできますが,
結局は定義に従っているだけです.

ラプラス変換は,
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なので,
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となるのです.e-(-s・0)=1だから.


このほかにも,世の中には,
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面白いものがたくさんあります.

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ここで、δ(0) の部分なんですが。
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        t=0 のとき δ(0)=∞

になるので、s-δ(0)=∞ になってしまいます。

どう考えればいいでしょうか。
ご存知のかた教えてください。よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

過去の質問をご覧下さい。
http://okwave.jp/qa3916265.html
このように扱えば
L【dδ(t)/dt】=s …(A)
となりますので、δ(0)の項は発生しません。

逆に
L^(-1)【s】=dδ(t)/dt
と元に戻りますので(A)で正しいでしょう。

なお、参考まで数式処理ソフトで計算すると

Maple10では 正しく「s」とでてきますが、
[s]の逆変換も「dδ(t)/dt」に戻ります。 

一方、Maximaでは
L【dδ(t)/dt】=s-δ(0)
と正しくない結果がでてきます。
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Qカットオフ周波数とは何ですか?

ウィキペディアに以下のように書いてました。

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電子回路の遮断周波数: その周波数を越えると(あるいは下回ると)回路の利得が通常値の 3 dB 低下する。
導波管で伝送可能な最低周波数(あるいは最大波長)。
遮断周波数は、プラズマ振動にもあり、場の量子論における繰り込みに関連した概念にも用いられる。


ですがよくわかりません。
わかりやすく言うとどういったことなのですか?

Aベストアンサー

>電子回路の遮断周波数: その周波数を越えると(あるいは下回ると)回路の利得が通常値の 3 dB 低下する。
>導波管で伝送可能な最低周波数(あるいは最大波長)。
>遮断周波数は、プラズマ振動にもあり、場の量子論における繰り込みに関連した概念にも用いられる。

簡単にいうと、一口に「カットオフ周波数」と言っても分野によって意味が違う。
電子回路屋が「カットオフ周波数」と言うときと、導波管の設計屋さんが「カットオフ周波数」と言うとき
言葉こそ同じ「カットオフ周波数」でも、意味は違うって事です。



電子回路の遮断周波数の場合
-3dB はエネルギー量にして1/2である事を意味します。
つまり、-3dBなるカットオフ周波数とは

「エネルギーの半分以上が通過するといえる」

「エネルギーの半分以上が遮断されるといえる」
の境目です。

>カットオフ周波数は影響がないと考える周波数のことでよろしいでしょうか?
いいえ
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1000Hzだと50%通過
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というようなものをイメージすると解り易いかも。

>電子回路の遮断周波数: その周波数を越えると(あるいは下回ると)回路の利得が通常値の 3 dB 低下する。
>導波管で伝送可能な最低周波数(あるいは最大波長)。
>遮断周波数は、プラズマ振動にもあり、場の量子論における繰り込みに関連した概念にも用いられる。

簡単にいうと、一口に「カットオフ周波数」と言っても分野によって意味が違う。
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Qlogとln

logとln
logとlnの違いは何ですか??
底が10かeかということでいいのでしょうか?
大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??
解説お願いします!!

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場合があります。

私の大学時代と仕事の経験から言いますと・・・

【eを用いるケース】
・数学全般(log と書きます)
・電子回路の信号遅延の計算(ln と書く人が多いです)
・放射能、および、放射性物質の減衰(log とも ln とも書きます。ただし、eではなく2を使うこともあります。)

【10を用いるケース】(log または log10 と書きます)
・一般に、実験データや工業のデータを片対数や両対数の方眼紙でまとめるとき(挙げると切りがないほど例が多い)
・pH(水溶液の水素イオン指数・・・酸性・中性・アルカリ性)
・デシベル(回路のゲイン、音圧レベル、画面のちらつきなど)

ご参考になれば。

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場...続きを読む

Q時定数について

時定数(τ=CR)について物理的意味とその物理量について調べているのですが、参考書等これといってわかりやすい説明がありません。どうが上記のことについて詳しく説明してもらえないでしょうか?

Aベストアンサー

1次応答のお話ですね。
物理の世界では「1次応答」と呼ばれる系をしばしば扱います。その系の応答の時間的尺度を表す数字が「時定数」です。物理量としては時間の次元を持ち、時間と同様に秒や分などを単位に表現できます。

直感的には「水槽から出て行く水」のアナロジーで考えると分かりやすいと思います。いま水槽があって下部に蛇口が付いているとします。蛇口をひねると水は流れ出ますが、水が流れ切ってしまうまでにどれくらい時間がかかるでしょうか。
明らかに水槽が大きいほど、そして蛇口が小さいほど時間がかかります。逆に水槽が大きくても蛇口も大きければ水は短時間で出て行きますし、蛇口が小さくても水槽が小さければこれまたすぐに水槽はからっぽになります。
すなわち水がからっぽになるまでに要する時間の目安として
 水槽の大きさ×蛇口の小ささ
という数字が必然的に出てきます。ご質問の電気回路の場合は
 コンデンサの容量→水槽の大きさ
 抵抗→蛇口の小ささ
に相当するわけで、CとRの積がその系の応答の時間的な目安を与えることはなんとなくお分かり頂けると思います。

数式を使いながらもう少し厳密に考えてみましょう。以下のようにコンデンサCと抵抗Rとからなる回路で入力電圧と出力電圧の関係を調べます。
 + C  -
○─┨┠─┬──●
↑    <  ↑
入    <R  出
力    <  力
○────┴──●

入力電圧をV_i、出力電圧をV_oとします。またキャパシタCに蓄積されている電荷をQとします。
するとまず
V_i = (Q/C) + V_o   (1)
の関係があります。
また電荷Qの時間的変化が電流ですから、抵抗Rの両端の電位差を考えて
(dQ/dt)・R = V_o   (2)
も成立します。
(1)(2)を組み合わせると
V_i = (Q/C) + (dQ/dt)・R   (3)
の微分方程式を得ます。

最も簡単な初期条件として、時刻t<0でV_i = 0、時刻t≧0でV_i = V(定数)となるステップ応答を考えます。コンデンサCは最初は帯電していないとします。
この場合(3)の微分方程式は容易に解かれて
V_o = A exp (-t/CR)   (4)
を得ます。exp(x)はご存じかと思いますがe^xのこと、Aは定数です。解き方が必要なら最後に付けておきましたので参考にして下さい。
Cは最初は電荷を蓄積していないのですから、時刻t=0において
V_i = V = V_o   (5)
という初期条件が課され、定数Aは実はVに等しいことが分かります。これより結局、
V_o = V exp (-t/CR)   (6)
となります。
時間tの分母にCRが入っているわけで、それが時間的尺度となることはお分かり頂けると思います。物理量として時間の次元を持つことも自明でしょう。CとRの積が時間の次元を持ってしまうのは確かに不思議ではありますが。
(6)をグラフにすると下記の通りです。時刻t=CRで、V_oはV/e ≒0.368....Vになります。

V_o

* ←初期値 V        
│*
│ *
│   *         最後は0に漸近する
│      *       ↓
└───┼──────*───*───*───*─→t
t=0  t=CR
   (初期値の1/e≒0.368...倍になったタイミング)


【(1)(2)の解き方】
(1)の両辺を時間tで微分する。V_iは一定(定数V)としたので
0 = (1/C)(dQ/dt) + (dV_o/dt)
(2)を代入して
0 = (1/CR) V_o + (dV_o/dt)
-(1/CR) V_o = (dV_o/dt)
- dt = dV_o (CR/V_o)
t = -CR ln|V_o| + A
ここにlnは自然対数、Aは定数である。
この式は新たな定数A'を用いて
V_o = A' exp (-t/CR)
と表せる。

1次応答のお話ですね。
物理の世界では「1次応答」と呼ばれる系をしばしば扱います。その系の応答の時間的尺度を表す数字が「時定数」です。物理量としては時間の次元を持ち、時間と同様に秒や分などを単位に表現できます。

直感的には「水槽から出て行く水」のアナロジーで考えると分かりやすいと思います。いま水槽があって下部に蛇口が付いているとします。蛇口をひねると水は流れ出ますが、水が流れ切ってしまうまでにどれくらい時間がかかるでしょうか。
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Q初めての複素関数の勉強

w=1/zで表される、複素平面z=x+iyから、複素平面w=u+ivへの写像を考える。z平面上の直線x=a(a>0)のw平面上の写像を求めよ。

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解き方を教えてください。
よろしくお願いしますm(_ _)m

Aベストアンサー

z=a+iy
w=u+iv
=1/z=1/(a+iy)=(a-iy)/(a^2+y^2)
u=a/(a^2+y^2)
v=-y/(a^2+y^2)
u^2+v^2=1/(a^2+y^2)=u/a
{u-(1/2a)}^2+v^2=(1/2a)^2
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どなたか,助けていただけませんか?
もうノートが真っ黒です。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

とりあえず,ANo.5のaの回路を扱っておきます.
例によってスイッチSを閉じた瞬間を時刻t = 0とし,
電源から流出する電流をi,
抵抗を流れる電流をi_R,
コンデンサを流れる電流をi_Cとします.

キルヒホフの第1法則より
i = i_R + i_C. …(1)

第2法則より
v = r i + R i_R, …(2)
v = r i + (1/C)∫(-∞,t] i_C dt. …(3)

※私個人的には気持ち悪いのですが,式が煩雑になるのを避けるため,定積分の上端と積分変数に同じ文字を使いました.

※あと,デルタ関数とかの処理をきっちりするため,積分下端を-∞にしました.

ただし,
v = E u(t). …(4)

(1),(2)よりi_Rを消去して,
i_C = (1 + r/R)i - v/R.

これを(3)に代入して,
v = r i + (1/C)∫(-∞,t]{(1 + r/R)i - v/R}dt
dv/dt = r di/dt + (1 + r/R)i/C - v/(C R)

∴di/dt + (1 + r/R)i/(C r) = {dv/dt + v/(C R)}/r = (E/r){δ(t) + u(t)/(C R)}.

ただし,初期条件は E = r i(0) より
i(0) = E/r.

これがこの回路の微分方程式です.

----
この微分方程式はラグランジュの定数変化法で解くことができて,初期条件を考慮した解は,t > 0 において

i
= (E/r)exp{-(1 + r/R)t/(C r)}
+ E/(R + r) [1 - exp{-(1 + r/R)t/(C r)}],

したがって,

i_R = E/(R + r) [1 - exp{-(1 + r/R)t/(C r)}],

i_C = (E/r)exp{-(1 + r/R)t/(C r)}.

コンデンサの両端の電圧は

v_C = R i_R
= E/(1 + r/R) [1 - exp{-(1 + r/R)t/(C r)}]

以上の結果においてr→+0の極限を取ると,その振る舞いはANo.3の解と一致します.

とりあえず,ANo.5のaの回路を扱っておきます.
例によってスイッチSを閉じた瞬間を時刻t = 0とし,
電源から流出する電流をi,
抵抗を流れる電流をi_R,
コンデンサを流れる電流をi_Cとします.

キルヒホフの第1法則より
i = i_R + i_C. …(1)

第2法則より
v = r i + R i_R, …(2)
v = r i + (1/C)∫(-∞,t] i_C dt. …(3)

※私個人的には気持ち悪いのですが,式が煩雑になるのを避けるため,定積分の上端と積分変数に同じ文字を使いました.

※あと,デルタ関数とかの処理をきっちりするため,積分下端を-∞にしまし...続きを読む


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