No.3ベストアンサー
- 回答日時:
実は0になるとはいえないのです
δ関数というのは
例えば
fε(t)=exp(-t^2/2/ε^2)/√(2・π)/ε
のように質のいい関数において
εを0に近づけたときの極限の関数なのです
実際には極限ではなく今考えている問題において十分0に近くすればいいでしょう
fε(t)でなくても質のいい関数ならば代わりの関数を持ってきてもεに相当するパラメータを0近くにすればほぼ同じ結果が得られるのです
シュワルツは形式的に矛盾しないようにδ関数を定義しましたが作為的なので彼の理論には問題があります
この点において佐藤さんの方が人気が有るようです
片側ラプラス変換では積分範囲が0から無限大なので1とするには無理があります
しかし両側ラプラス変換ならば1となるのです
だから片側ラプラス変換を使うのを止めたほうがいいでしょう
∫[-∞,∞]dt・δ(t)・exp(-st)=1
ですが
∫[0,∞]dt・δ(t)・exp(-st)=0,1/2,1,?
ですから
もし先のガウシアンを採用した場合は1/2です
No.6
- 回答日時:
少々おせっかいな気もしますが、No.5に補足させて頂きます。
(下記の(☆☆)部分で引っかかる人が時々いるものですから)
myaumyauさんがご自分で答えを出されていましたら
以下は参考という事でご覧下さい。
ラプラス変換の定義は
L[f(t)]=∫f(t)exp(-st)dt(積分範囲は0から∞)
ですから、L[f(t)]=F(s) は
(☆)∫f(t)exp(-st)dt = F(s)
のことです。
さて、ラプラス変換の定義から
L[f'(t)]=∫f'(t)exp(-st)dt
ここでjamf0421さん(No.4,5)が書かれているように
f=f(t), g=exp(-st) として右辺に部分積分を用いると
∫f'(t)exp(-st)dt
=[f(t)exp(-st)]_0^∞ - ∫f(t)(exp(-st))'dt
=[f(t)exp(-st)]_0^∞ + s∫f(t)exp(-st)dt
=[f(t)exp(-st)]_0^∞ + sF(s)
=lim_{t→∞}(f(t)exp(-st)) - f(0)exp(0) + sF(s)
=lim_{t→∞}(f(t)exp(-st)) - f(0) + sF(s)
(二行から三行で(☆)を使っています。またexp(0)=1。)
以上の計算から
(☆☆)lim_{t→∞}(f(t)exp(-st)) =0
ならば L[f(t)]=F(s) のときL[f'(t)]=sF(s)-f(0) である事が
示されました。
最後に(☆☆)を証明しておきましょう。
まず上の計算の前提としてf(t)のラプラス変換L[f(t)]が
存在していなければなりません。すなわち広義積分
∫f(t)exp(-st)dt(積分範囲は0から∞)
が(適当なsの範囲で)存在している事が仮定されています。
もし f(t)exp(-st) が t→∞ のとき0でなければ
広義積分は発散していまいますから(☆☆)でなくてはなりません。
(これも厳密な証明ではありませんが、今回は感じをつかむ
ということで厳密性にはこだわらないことにしました。)
数学的厳密性にこだわるならNo.2のURLにあるように
シュワルツの超関数やら佐藤超関数といった理論を持ち出す
必要がありますが、デルタ関数を計算ツールとして使いたいなら
このくらいの議論で納得して頂けたのではないでしょうか。
No.5
- 回答日時:
(ご質問への回答)
L[f'(t)]=sF(s)-f(0)のことです。
∫f'(t)g(t)dt=f(t)g(t)-∫f(t)g'(t)dt+(積分定数)が、(fg)'=f'g + fg'の両辺を積分すれば容易に導かれます。g(t)をラプラス変換のexponential関数に見立てて当てはめるだけです。
No.2
- 回答日時:
参考URLから明らかではないでしょうか?
>デルタ関数はt=0の時、∞になり
寧ろ私にはこちらの方が理解できないです。
参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%B3% …
No.1
- 回答日時:
厳密な説明だとかえって感じがつかみづらいと思いますので、
厳密ではないですが直感的な説明を。
以下、f(t)のラプラス変換をL[f(t)]で表します。
関数 U(t) を t>0 のとき1, t≦0 のとき0である関数とします。
特に U(0)=0 です。
グラフを書くとt=0 のところで値が0から1へジャンプする一段の
階段の様な形です。この U(t) をラプラス変換すると 1/s です。
(☆) L[U(t)]=1/s
(これはラプラス変換の定義に従って普通に計算すれば得られます)
さて、一般にf(t)のラプラス変換をF(s)とするとき(L[f(t)]=F(s))、
f(t)の微分f'(t)のラプラス変換は
L[f'(t)]=sF(s)-f(0)
で計算されます。
これを U(t) について適用すると
L[U'(t)]=s(1/s)-U(0)=1-0=1
ですから
(☆☆)L[U'(t)]=1
が得られました。
U(t)は t=0 で微分不可能ですが、
t>0 または t<0 では定数関数なので
(☆☆☆)U'(t)=0 (t>0 または t<0)
です。t=0 では U(t)は通常の意味では微分不可能ですが、
微分係数は「接線の傾き」というのを考えると
U(t)のようにt=0で値が0から1へジャンプする関数は
「t=0での接線の傾きが+∞」と考えることもできます。
これを認めれば
(☆☆☆☆)U'(0)=+∞
です。(☆☆☆)と(☆☆☆☆)からU'(t)はデルタ関数と
同じものと分ります。
(★)U'(t)=デルタ関数。
(☆☆)と(★)から
L[デルタ関数]=1
です。
この説明でいかがでしょうか?
教科書にはもっとちゃんとした証明が載っているかと思いますが。
この回答への補足
ご回答ありがとうございます。
f(t)の微分f'(t)のラプラス変換は
L[f'(t)]=sF(s)-f(0)
で計算されます。
っていうところが良くわかりません。
なぜL[f'(t)]=sF(s)-f(0)
なのかを教えて下さい。
そこが分かれば、すべて解決します。
どうぞ宜しくお願い致します。
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