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準正多面体はなぜ13個なのか?

すごく悩んでいます。

斜方立方8面体など
13個ある準正多面体はちゃんと把握しています。

ただなぜ13個しかないのかと言われると
その根拠がわかりません。

よろしくお願いします。

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A 回答 (1件)

質問者さんは既にわかっていることかもしれませんが,


回答がないようなので方針だけ書いてみます.

まず,正 p 角形の内角は
 π*(p-2)/p [rad]
となっていることに注意すると,
正三角形の場合が最も小さく π/3 という値になります.
また,多面体の頂点にはいくつかの面が集まっていますが,
 π/3 * 6 = π [rad]
になることから,頂点に集まる面の数は最大5個となります.

ここで,正p角形,正q角形,正r角形,…が集まる頂点を
 (p,q,r,…)   (ただし,p≦q≦r≦…とする)
のように表すことにすると
頂点に面が5つ集まっている場合は
 (3,3,3,3,3) ←正二十面体
 (3,3,3,3,4)
 (3,3,3,3,5)
の組み合わせしかありません.

頂点に面が4つ集まっている場合や
3つ集まっている場合なども同様に考えればよいのですが,
(といっても5個集まっている場合と違って無限個出てきます.)
もう少し条件を絞りながら求める方法を書いてみます.

■ (3,3,3,3,p) 型 (4≦p)
多面体を構成する材料として
正三角形 a 個,正 p 角形 b 個を用意したとすると,
組み立てる前のバラバラの状態では
 頂点の数: 3a + pb
 辺の数: 3a + pb
 面の数: a + b
となっています.

これらを使って多面体を組み立てると
 頂点の数: (3a + pb)/5   ←今は頂点に5つの面が集まっているので
 辺の数: (3a + pb)/2   ←任意の辺は2つの面が共有しているので
 面の数: a + b   ←組み立てても同じ
となります.

ここで,オイラーの多面体定理
 (頂点の数) - (辺の数) + (面の数) = 2
を考えると
 (3a + pb)/5 - (3a + pb)/2 + (a+b) = 2
⇔ a + (10-3p)b = 20                    …(1)
が成り立ちます.

一方,純正多面体であるためには
すべての頂点に正三角形4つと正 p 角形1つがないといけないので
バラバラのときの頂点の個数について
 3a : pb = 4 : 1
⇔ 3a = 4pb                    …(2)
となっていなければいけません.
これを (1) 式に代入して整理すると
 (6-p)*b = 12
となり,p, b が自然数であることから
 (p, a, b) = (4, 32, 6), (5, 80, 12)
の2組の解が求まります.
順に変形立方体,変形十二面体のことです.


ここまで見れば上手くいくようですが,実はそうではありません.

■ (3,3,3,p) 型 (4≦p)
上と同様にすると
 a + (4-p)b = 8     ←多面体定理の条件から
 a = pb     ←頂点の集まり方の条件から
となり,これらの式からは
 (p, a, b) = (p, 2p, 2)
という結果が出てきます.

これらの無限個ある (3,3,3,p) 型の多面体も
準正多面体の条件を満たしていますが,
無限個あることや2次元の対称性しか持たないために
準正多面体には含まない反角柱と呼ばれる立体です.

■ (3,3,4,p) 型 (4≦p)
正三角形 a 個,正方形 b 個,正 p 角形 c 個とすると
 (12 - p)c = 12
 3a = 8b = 2pc
という関係が得られ,これを満たす自然数解は
 (p, a, b, c)
    = (4, 8, 3, 3), (6, 16, 6, 4), (8, 32, 12, 6),
     (9, 48, 18, 8), (10, 80, 30, 12), (11, 176, 66, 24)
の6つになります.

最初 (4, 8, 3, 3) は立方八面体なのですが,
他の5つがなぜ求まるのか私もよくわかっていません.


このように,上のやり方では準正多面体の条件は満たすが,
そこに含まれない多面体が求まることと
意味のなさそうな解も求まってしまうことが難点です.
凸であることなどから他の条件で絞ることが出来るのかな?

群論を用いるともっとエレガントな方法がありそうですが,
私は不勉強なのでちょっとお手上げです.

参考になれば幸いです.
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    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます!

明日までにまとめなければならないので
今から必死に頑張ります!

お礼日時:2007/01/12 02:16

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Aベストアンサー

お答え致します。

まず基礎的なこととして、正多面体の条件としては、

・使われている多角形が同じ。
・一つの頂点に集まる多角形の数が同じ。

という条件を満たさなければいけません。

たとえば、「上と下が正三角形、側面が正方形の三角柱」
は正多角形だけで構成されていますが、
2種類の多角形が混じるので正多面体にはなりません。
(これらには、「半正多面体(準正多面体)」という言い方があります)

また、「正二十面体の中間を抜かした十面体」
は、一つの多角形だけで作られていますが、
一つの頂点に集まる数が違うので正多面体にはなりません。

さて、正多面体を作る多角形は、
3角形・4角形・5角形に限られます。
6角形より角が大きいと、内角が120°以上になります。
一つの頂点に集まる多角形は、最低3個以上でなければ立体になりませんが、
6角形が3個集まると、360°を超えてしまいます。

つまり条件として、一つの頂点に集まる図形の内角の和が360°未満でなければいけません。

そうすると、

正3角形の場合:
頂点に集まる個数が
3個(計180°・正四面体)
4個(計240°・正八面体)
5個(計300°・正二十面体)

正4角形の場合:
頂点に集まる個数が
3個(計270°・正六面体)

正5角形の場合:
頂点に集まる個数が
3個(計324°:正十二面体)

と、このように自動的に決まってしまい、
他の可能性がないのです。

よって、正多角形は5種類しかありません。

お答え致します。

まず基礎的なこととして、正多面体の条件としては、

・使われている多角形が同じ。
・一つの頂点に集まる多角形の数が同じ。

という条件を満たさなければいけません。

たとえば、「上と下が正三角形、側面が正方形の三角柱」
は正多角形だけで構成されていますが、
2種類の多角形が混じるので正多面体にはなりません。
(これらには、「半正多面体(準正多面体)」という言い方があります)

また、「正二十面体の中間を抜かした十面体」
は、一つの多角形だけで作られていま...続きを読む


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