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排反と独立の意味の違いがまったくわかりません。本にはこの二つに違いを区別するのがポイントのようなことが書いてありましたが、違いがわかりません。

教えてください。よろしくお願いいたします。

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意味 独立」に関するQ&A: 独立試行の意味

A 回答 (6件)

再び#2です。


>2さんの物を定義として暗記することにします。

こんな拙いものを定義だなんて止してください。
暗記するならもっと正確なものを紹介します。

参考URLで、「排反」と「独立」で検索を掛けてください。

参考URL:http://www.sist.ac.jp/~suganuma/kougi/other_lect …
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#2です。



例えば、何か商品を買ってお金を払う状況を想定します。
事象A:「商品を買う」
事象B:「財布のお金が減る」
この場合、商品を買うこととお金が減ることには因果関係があるので、従属状態にあることが分かると思います。

ここで、仮に、起こるはずのない、商品を買ってもお金が減らない状況を想定して
事象B’:「財布のお金が減らない」
とすると、事象AとB’は排反であるといえます。

一方、何らかの要因で観測方法を誤って他人の財布の中身を調べてしまったとして
事象C:「他人の財布のお金が減る」
とすると、この場合は事象Aとは無関係に事象Cが起きたり起こらなかったりしますので、事象AとCは独立といえます。

分かりやすい例といえるかどうか不安ですが、排反と独立がまったく異なるものであることが分かってもらえると嬉しいです。
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「ではほぼ同じ意味と考えていいのでしょうか。


違います。
あるコインを上に向かって投げたとき、落ちたコインが表を向いているか裏を向いているかは、同時には起こりえないので排反です。これは、表が出ることと裏が出ることに「関係がある」ことになります。(表だから裏じゃない。又は裏だから表じゃない。)
もう一枚コインを投げたとき表になるか裏になるかは1枚目のコインには「関係がありません。」(一枚目が表だったから、2枚目は裏とは限りません。)
なので、1枚目のコインと2枚目のコインで裏表どちらの面が出るかは独立しています。

「独立とは「排反だから独立である。」といえるでしょうか。」
言えません。

排反とは、この場合一つのものの中でおきる事象について言っています。また、独立とは一つの事象が他の物の事象と関係があるかどうかを言っています。

例えば、袋の中に白石3個と黒石3個が入っていたとします。
石を一つ取り出すとき白石なのか黒石なのかは排反です。
(排反&独立の例)
「1回目」袋から石を一つ取り出して色を確認し、この石を袋に戻します。
「2回目」袋から石を一つ取り出して色を確認し、この石を袋に戻します。
このとき、「1回目」の石の色と「2回目」の石の色は独立です。
(排反&独立じゃない例)
「1回目」袋から石を一つ取り出して色を確認し、この石を捨てます。
「2回目」袋から石を一つ取り出して色を確認し、この石を捨てます。
このとき、「1回目」の石の色と「2回目」の石の色は独立ではありません。「1回目」で石を捨てているので、「2回目」は「1回目」にどの色が出たかで変化します。

どうでしょう?少しは役に立ったでしょうか?
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この回答へのお礼

みなさん本当にありがとうございます。

排反とは、この場合一つのものの中でおきる事象について言っています。また、独立とは一つの事象が他の物の事象と関係があるかどうかを言っています。

これがすべてですね。これを理解することができれば定義を厳密に暗記する必要もないし、すべてわかります。それを皆さんが挙げてくださった例で確認しました。

お礼日時:2007/01/14 15:18

独立を説明する際の「無関係だから」という言い回しが誤解を招いている元凶ですね。



edomin 氏のサイコロの例でいくと、一回目と二回目に出るサイコロの目を

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) ...
(3,1) (3,2) ...
(4,1) ...
(5,1)
(6,1)

と並べた時に、「二回目に2が出る確率」は全体の中で
  この列分 = 6/36
    ↓
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) ...
(3,1) (3,2) ...
(4,1) ...
(5,1)
(6,1)

「一回目に1が出た条件の下で二回目に2が出る確率」は2次元の表が1行だけ切取られて、
   これ = 1/6
    ↓
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

という具合に、確率を計算した時に「一回目に1が出た」という事象がきれいに約分できてしまう状態を「独立」と言います。

# 却ってわかりにくいな。

この回答への補足

馬鹿な僕にはまだいまいちわからないので、2さんの物を定義として暗記することにします。

補足日時:2007/01/14 12:07
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次のように捉えたらいかがでしょう。



排反とは、2つの事象が同時には起こりえないこと。
独立とは、2つの事象の間になんら関係がないこと。

分かりやすい例を#1さんが書かれています。

この回答への補足

ではほぼ同じ意味と考えていいのでしょうか。また独立とは「排反だから独立である。」といえるでしょうか。

補足日時:2007/01/14 11:10
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排反と独立をサイコロで考えてみましょう。


サイコロで「1」の目の出る事象と「2」の目がでる事象は同時には発生しません。こういう状態を「排反」といいます。これは、「1」~「6」までどの目でもいえることです。
そこに、もう一つサイコロを持ってきて振ったとき最初のさいころの目が「1」になる事象と、2個目のサイコロのめが「2」になる事象は、全く関係ないので、同時にも起こりえます。こういう状態を「独立」といいます。

参考まで…。
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"排反事象"は、2つの事象が同時に起こらないこと、

"独立"は、2つの試行について、それぞれの結果の起こり方にお互いに影響を与えないこと、

をそれぞれ、指しています。

独立という概念の前提として、排反事象を考えることはできますか?

つまり、独立であれば、排反事象である、とは言えないものの、

排反事象ということは、少なくても独立である、とは言えると思うのですが、

間違っていますのでしょうか?

Aベストアンサー

性別と血液型を例にしましょう。
性別:「男性である」と「女性である」は排反事象
血液型:「A型である」と・・・は排反事象

ここで、「A型は男性が多い」ということはありませんから、
「性別が・・・」と「血液型が・・・」という試行は独立になります。

前提条件
「男性」:「女性」=50:50
「A」:「O」:「B」:「AB」=40:30:20:10
とすると、
Xさんが「A型男性」である確率は20%ですね。

>排反事象ということは、少なくても独立である、とは言えると思うのですが、
おそらく「独立」という言葉の意味を
「男性である」=「女性でない」
∴完全に別の物であるから互いに独立した事象である。
という意味だとおもいますが、確率の世界ではこれを「独立」とは言いません。
こんな言葉があるかは自信がありませんが、ある意味「完全従属」です。

Q確率で「試行の独立」「事象の独立」2つの関係

確率で「試行の独立」「事象の独立」2つの関係を教えて下さい。

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と書いてあるのですが、この2つはどの様な関係なのですか?

例えば、

「事象の独立」で従属であったとしても、「試行の独立」がある など・・・。

試行の独立は分かるような気がしますが、「事象の独立」あまりよく分かりません。

Aベストアンサー

←No.5 補足
補足質問が2つあるようですね。

(1) 独立でない試行から独立な事象を取り出す例。

そのために、変則的なサイコロの振り方を考えます。
まづ、普通にサイコロを振り、1回目の出目を確定します。
次に、もう一回サイコロを振り、
1回目が偶数で2回目が「1」だったときだけ、
2回目の値を「2」にスリ替えます。

このようにすると、1回目が奇数だった場合は、
2回目の出目を3で割った余りが
0、1、2 である確率はそれぞれ 2/6、2/6、2/6、
1回目が偶数だった場合には、
2回目の出目を3で割った余りが
0、1、2 である確率は 2/6、1/6、3/6 になりますから、
1回目と2回目の出目は、独立でない試行になります。

しかし、この試行から、1回目が偶数という事象と
2回目が3の倍数という事象を取り出すと、
両者は独立になっています。(確率を計算してみて下さい)

もちろん、1回目が偶数という事象と
2回目が3で割ると1余るという事象を取り出せば独立ではない訳で、
独立でない試行間から取り出した事象は、
独立な場合も独立でない場合もあるのです。

他方、独立な試行間から取り出した事象は常に独立です。

(2) 単一の試行から独立な事象を取り出す例。

これは、既に No.1 で間違え、No.3 で訂正したように、
サイコロを一回振って、偶数が出るという事象と
3の倍数が出るという事象が、その例になります。

偶数が出る確率は 3/6、3の倍数が出る確率は 2/6、
偶数かつ3の倍数が出る確率は 1/6 ですから、
(3/6)×(2/6)=1/6 が成立しています。

←No.5 補足
補足質問が2つあるようですね。

(1) 独立でない試行から独立な事象を取り出す例。

そのために、変則的なサイコロの振り方を考えます。
まづ、普通にサイコロを振り、1回目の出目を確定します。
次に、もう一回サイコロを振り、
1回目が偶数で2回目が「1」だったときだけ、
2回目の値を「2」にスリ替えます。

このようにすると、1回目が奇数だった場合は、
2回目の出目を3で割った余りが
0、1、2 である確率はそれぞれ 2/6、2/6、2/6、
1回目が偶数だった場合には、
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ここで,「AとBには関係がない」(独立)という前提が入ります。
もし,独立でない,すなわちAとBに関係があるとどうなるか?
たとえば世論調査やアンケートで,コンピュータに適当な数字を作らせて,電話番号を作ることがあります。実際に,新聞の世論調査では多く使われています。人間が作るとどうしても03-1234-5678みたいに作った人のクセが出てしまうから,コンピュータに乱数を作らせます。
今回は,090-以降の番号を作ってみたとします。
こうやって作った電話番号はデタラメなので,かけてみても「現在使われておりません」かもしれないですよね。私みたいに電話が鳴っても気が乗らないと出ない不届き者もいるでしょう。
そこで,かけてみて実際に人が出る確率をXとしておきましょう。
肝心のアンケートの内容ですが,新しく日本に進出したい企業が,携帯電話の利用率を聞きたかったとします。
その問1が「携帯電話を持っていますか?」で,「はい」の確率Yはいくつか?
……ちょっと待て,090はじまりの番号にかけてるんだから,絶対持ってるだろう!って思いませんか。
こういう場合は,そもそも2つの事象に関係がある(ここでは090より後の番号をXで作っているからYは絶対成り立つに決まっている)ので,「確率だからかければいい」わけではなくなります。この例ならYは1です。

さて,独立の条件を満たすものとして,よく使われるのはサイコロやコインですね。
いっぺんに投げても,順番に投げても,「隣のコインが裏だったから俺は表になってやろう」なんて意思をもったコインはないので,相互に関係はありません。

これがトランプや数字のカードだと,1枚抜いたときに残りの枚数が変わってしまっているので,後が変わってしまいます。その場合は「抜いた後に戻す」作業が必要です。
よく生徒にブラックジョークで話すんですが,「カードを抜く」よりも「出てきた人を射殺する」というほうが分かりやすいです。射殺しちゃうと,生き返るはずがないから,残りの人数が変わりますよね。
「抜いて戻さない」場合は独立の条件には合わないので,単純に掛け算ではないわけです。

前置きが長くなりましたが,独立の条件を満たす場合は,相互に関係がないことが分かっているのですから,Aを午前,Bを昼休みの後というように時間を変えてやってもいいわけです。
そこで,一度に考えるよりもばらして考えようという考え方が使えます。

冒頭に戻ると,Aが起きる確率が2分の1,Bが起きる確率が3分の1でした。
Aが起きる確率が2分の1ということは,経験の面に翻訳して言えば,600回やったら300回起こるということです。
(厳密に言うと,現在の確率はこうした「経験的確率」ではなくて「公理論的確率論」となっていますが,大学数学でしか扱わないので無視しておきます)

AB全部やっておくとするとどうなるか?を考えると,
A○ B○ :OK
A○ B×
A× B○
A× B×
の4パターンが考えられます。
ここで,Aが○になる確率が2分の1=次のBの実験に進める確率が2分の1です。
トーナメント方式みたいなもので,Aで勝たなきゃ先に進めないと思えばいいです。
次の「決勝戦」であるBでは,確率が3分の1でした。とすると,決勝戦を300回やったら100回勝てるということになります。

では,Aをクリアして,決勝戦Bでも勝つのは?というと,Aをクリアするのが確率2分の1で,600回やって300回でしたから,
600回やって300回はAをクリアして決勝戦進出です。
では決勝戦Bは?というと,上に書いたように300回やって100回勝てるのですから,
300回Aをクリアして決勝戦に出られれば100回優勝,ですね。
これを通しで見直してみると,全部で600回やって決勝戦まで勝つのが100回だった,となります。

もちろん,独立であるという前提を置いているので,ひねくれて(?),Bから手をつけてもOKです。別に後のものからやってはいけない,なんてことはありません。もし後のものからやってダメだったら,独立の条件を満たしていないことになります。

分数の掛け算でも似た考え方をしたと思います。
さっき食べたので例に出しますが,スイカを2分の1に切って,さらに3分の1にすると,全体の何分の一になるか?といえば,6分の1ですよね。
高校の数学向けに説明しなおせば,このスイカ1個が全事象です。Aで半分は次へ進める。Bで3分の1が当たり。とすると,ABの共通部分は6分の1ですね。

たとえば,Aが起きる確率を2分の1,Bが起きる確率を3分の1としてみましょうか。

ここで,「AとBには関係がない」(独立)という前提が入ります。
もし,独立でない,すなわちAとBに関係があるとどうなるか?
たとえば世論調査やアンケートで,コンピュータに適当な数字を作らせて,電話番号を作ることがあります。実際に,新聞の世論調査では多く使われています。人間が作るとどうしても03-1234-5678みたいに作った人のクセが出てしまうから,コンピュータに乱数を作らせます。
今回は,090-以降の番号を作ってみた...続きを読む

Q確率変数とは

確率変数P{X=x}のXとxの違いがよく分かりません。というか確率変数の概念自体がよく分かりません。またなぜP{X=x}=P(x)なのかもわかりません。助けてください。

Aベストアンサー

まず、Xとxが紛らわしいですね。
P{X=x}=P(x)
を、
P{A=t}=f(t)
のように置き換えても、同じ意味ですので、こう置き換えて説明してみます。
確率変数というのは、最初に決めた、現象の集合と、実数との対応です。サイコロの例がよく出されますが、逆にわかりにくくしている面もあります。各面に、{a,b,c,d,e,f}という文字が書かれたサイコロを想像してみてください。さて、このサイコロで、{a,b,c}の文字が出る確率を知りたいとしますね。ところが、数学は「数」を扱う世界なので、文字は直接は扱えません。そこで、現象と数の対応を確率変数とします。この場合、確率変数Aを、
サイコロを振ってaが出たら、A=1
サイコロを振ってbが出たら、A=2
サイコロを振ってcが出たら、A=3
サイコロを振ってdが出たら、A=4
サイコロを振ってeが出たら、A=5
サイコロを振ってfが出たら、A=6
となる変数であると決めてしまいます。これで、現象->数への変換が出来ました。確率変数は、このように、本来数学では扱えない「現象の集合」を、数の集合に変換するのに使うのです。
P{A=t}のtは、正確に書くと、t∈実数です。つまり、実数を適当に一つ持ってきたのが、tです。
P{A=t}=f(t)は、現象の集合を確率変数Aで数に置き換えてやった時の値がtである確率が、f(t)という値と同じだよ。という意味です。

まず、Xとxが紛らわしいですね。
P{X=x}=P(x)
を、
P{A=t}=f(t)
のように置き換えても、同じ意味ですので、こう置き換えて説明してみます。
確率変数というのは、最初に決めた、現象の集合と、実数との対応です。サイコロの例がよく出されますが、逆にわかりにくくしている面もあります。各面に、{a,b,c,d,e,f}という文字が書かれたサイコロを想像してみてください。さて、このサイコロで、{a,b,c}の文字が出る確率を知りたいとしますね。ところが、数学は「数」を扱う世界なので、文字は直接は扱えません。...続きを読む


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