「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

確率の問題でどうしても解けない物があります。どなたか解き方を教えて貰えませんでしょうか。お願いします。

問題)
確率変数 Xi(i=1,2,…,N) は互いに独立であるが,
それぞれ平均値i (E(Xi)=i) のポアソン分布に従う.
この確率変数の和 Y= (N Σ i=1) Xi の平均値と分散を,
Nの関数として求めよ.
さらに,Yの確率分布 P(Y=n) を求めよ.

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (1件)

平均と分散は


E(Y)=E(X1+…+XN)=E(X1)+…+E(XN)=1+…+N=N(N+1)/2
V(Y)=V(X1+…+XN)=V(X1)+…+V(XN)=1+…+N=N(N+1)/2
と簡単にできると思います。
確率分布は確率母関数を使えば良いと思います。
Yの確率母関数はGY(s)=E(s^Y)によって定義されます。
(sのY乗の平均、sは実変数)
GY(s)=E(s^Y)=E[s^(X1+…+XN)]=E(s^X1…s^XN)
=E(s^X1)…E(s^XN)
積の各項は
E(s^Xi)=ΣP(Xi=n)s^n=Σe^(-i)・i^n/n!・s^n
=e^(-i)Σ(is)^n/n!=e^(-i)・e^(is)
よって
GY(s)=e^(-1-…-N)・e^((1+…+N)s)
=e^(-N(N+1)/2)・e^(N(N+1)/2・s)
これをs=0を中心としてテイラー展開すると
GY(s)=e^(-N(N+1)/2)・[1+N(N+1)/2/1!・s
+{N(N+1)/2}^2/2!・s^2+…
+{N(N+1)/2}^n/n!・s^n+…]
一方、定義から
GY(s)=E(s^Y)=ΣP(Y=n)s^n
なので、GY(s)のテイラー展開のs^nの係数と比較して
P(Y=n)=e^(-N(N+1)/2)・{N(N+1)/2}^n/n!
結局、平均がN(N+1)/2=1+2+…+Nのポアソン分布になりました。
(n=0,1,2,…として和をとって1になるので計算は合って
ると思いますが。ご確認願います。)
確率分布が分からないが、確率母関数が比較的容易に計算
できるときは、これをテイラー展開して係数を比較して逆
に確率分布を求められます。
ある確率変数Xが与えられたときに、逆に単純な確率変数
U1,…,UNを使ってX=U1+…+UNと表し、GX(s)からXの確率分布を
求めることが良くあります。
(例えばXが二項分布に従うとき、Uiはベルヌーイ分布)
    • good
    • 0
この回答へのお礼

おかげさまで解くことができました!!ありがとうございました。

お礼日時:2007/01/16 01:47

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q確率変数の和の問題

確率変数の和の問題です。

2つの確率変数XとYが、互いに独立に一様分布に従うとするとき、
確率変数X+Yはどのような分布の形状になるのでしょうか?

結局、和も一様分布になるのでしょうか?分からなくなってしまいました。
教えて下さい。

Aベストアンサー

連続型でピンとこないなら、離散型で考えてみれば?例えばサイコロを1個振るでしょ。1から6に一様(離散なので一様的)に出るね。2回振って和を取ると、平均3.5*2=7だけど2から12が一様的には出ないよね。
元問題を正確に解くと、確率変数X,Yの確率密度関数をf(x),g(y)として。確率変数Z=X+Yの確率密度関数をh(z)とすると。
h(z)=∫[-∞,∞]f(z-y)g(y)dy または h(z)=∫[-∞,∞]f(x)g(z-x)dx を計算すればよい。
問題よりf(x)=1 (0≦x≦1),g(y)=1 (0≦y≦1) なので 0≦z≦1のときyは0≦y≦z,1<z≦2のときz-1≦y≦1の範囲をとる。
0≦z≦1 のとき h(z)=∫[0,z]f(z-y)g(y)dy=∫[0,z]1・1dy=z
1<z≦2 のとき h(z)=∫[z-1,1]f(z-y)g(y)dy=∫[z-1,1]1・1dy=1-(z-1)=2-z

Q2つの正規分布を合成したらどうなるのでしょうか?

現在大学の研究の過程で統計学を学ぶ必要がでてきました。僕自身は統計学に詳しくはないので知識のある方の回答は非常に助かります。
どうかご教授よろしくおねがいします。


平均μ、分散σで表される正規分布はf(x)=1/((√2π)σ) exp-{((x-μ)^2)/2σ^2}で表されますが



例えば互いに独立で

国語の平均点、分散を(μ1,σ1)としての正規分布f(国語)
数学の平均点、分散を(μ2,σ2)としての正規分布f(数学)

とした時の国語と数学の合計得点の分布f(国語+数学)はどのように表せばよいのでしょうか?

もしμ3=μ1+μ2,σ3=σ1+σ2のように平均も分散も和で考えてよいのなら

f(国語+数学)=1/((√2π)σ3) exp-{((x-μ3)^2)/2σ3^2}

が答えだと思っているのですが、それとは別のやり方で



f(国語)=1/((√2π)σ1) exp-{((x-μ1)^2)/2σ1^2}と
f(数学)=1/((√2π)σ2) exp-{((x-μ2)^2)/2σ2^2}をたたみこみ積分すれば答えがでるのではないかと考えています。

しかし、僕の数学の知識ではこれができなくて困っています。ガウス積分の公式を使ったりしなければいけないのではないかとも考えいるのですが行き詰っています。

アドバイスよろしくお願いいたします。

現在大学の研究の過程で統計学を学ぶ必要がでてきました。僕自身は統計学に詳しくはないので知識のある方の回答は非常に助かります。
どうかご教授よろしくおねがいします。


平均μ、分散σで表される正規分布はf(x)=1/((√2π)σ) exp-{((x-μ)^2)/2σ^2}で表されますが



例えば互いに独立で

国語の平均点、分散を(μ1,σ1)としての正規分布f(国語)
数学の平均点、分散を(μ2,σ2)としての正規分布f(数学)

とした時の国語と数学の合計得点の分布f(国語+数学)はどのように表せばよいのでしょうか?

...続きを読む

Aベストアンサー

> 平均μ、分散σで表される正規分布はf(x)=1/((√2π)σ) exp-{((x-μ)^2)/2σ^2}で表されますが
一般的には分散をσ^2と表し、標準偏差はその平方根でσと表します。
質問者さんが示された確率密度関数は、平均 μ、分散 「σ^2 」の正規分布のものです。分散と標準偏差の扱いをもう少しきちんとしましょう。

> μ3=μ1+μ2, σ3=σ1+σ2のように平均も分散も和で考えてよいのなら
2つの確率変数 X, Y があり、それぞれの平均と「分散」がμ1, (σ1)^2, μ2, (σ2)^2 であるとします。確率変数 Z を Z = X + Y で定め、Z の平均と「分散」をμ3, (σ3)^2 とすると・・・

μ3 = μ1 + μ2
は、X, Y がどのような分布であっても(X, Y が異なる分布であっても)成立しますし、X, Y が互いに独立であるか否かに関わらず成立します。
また、X, Y が互いに独立であれば(それらの分布によらず)、
(σ3)^2 = (σ1)^2 + (σ2)^2
が成立します。(このとき Z = X + Y の「標準偏差」σ3 は、σ3 = √( (σ1)^2 + (σ2)^2 ) )

> f(国語+数学)=1/((√2π)σ3) exp-{((x-μ3)^2)/2σ3^2}
> が答えだと思っているのですが
X, Y が互いに独立な確率変数であり、共に正規分布に従うならば、X + Y もまた正規分布に従うという事実は確かにありますが、これは正規分布の「再生性」と呼ばれる特別な性質であることを理解していなければなりません。その点、大丈夫ですか?

> それとは別のやり方で
> f(国語)=1/((√2π)σ1) exp-{((x-μ1)^2)/2σ1^2}と
> f(数学)=1/((√2π)σ2) exp-{((x-μ2)^2)/2σ2^2}をたたみこみ積分すれば答えがでるのではないかと考えています。
上述したように、正規分布の再生性を示す必要があるならば、畳み込み積分でそれを示すのが一法なのであって、何も「別のやり方」ではありません。
案ずるより計算するが易しです。式の整理が面倒なだけで、特別な知識は不要です。
f(x) = 1/((√2π)σ1) exp-{((x-μ1)^2)/2σ1^2}
g(x) = 1/((√2π)σ2) exp-{((x-μ2)^2)/2σ2^2}
h(x) = ∫f(t) g(x - t) dt
  = 1/(2πσ1 σ2) ∫exp{ - (t - μ1)^2 / (2σ1^2) - (x - t - μ2)^2 / (2σ2^2) } dt
  epx( ) の指数部を t で平方完成して
  = 1/(2πσ1 σ2) ∫exp{ - (t - 何ちゃら )^2 / (2σ1^2 σ2^2 / (σ1^2 + σ2^2)) - (x - μ1 - μ2)^2 / 2 (σ1^2 + σ^2) } dt
  = 1/(2πσ1 σ2) exp{ - (x - μ1 - μ2)^2 / 2 (σ1^2 + σ^2) } ∫exp{ - (t - 何ちゃら )^2 / (2σ1^2 σ2^2 / (σ1^2 + σ2^2))} dt
  = 1/√(2π(σ1^2 + σ2^2)) exp{ - (x - μ1 - μ2)^2 / 2 (σ1^2 + σ^2) }
  (∵ ∫ exp ( - (t - A)^2 / 2B^2 ) dt = √(2π) B )
μ3 = μ1 + μ2, σ3^2 = σ1^2 + σ2^2 とおけば
h(x) = 1/(√(2π) σ3) exp( - (x - μ3)^2 / 2 σ3^2 )
途中、「何ちゃら」の部分は省略してますので、興味があれば追っかけてみてください。

なお、本件は確率論において、ごくごく基本的な事項です。
もし、これから確率統計を使って研究をされるのならば、このような件を簡単に質問して済ませるのは危うい感じがします。ちゃんと書籍を読まれ、その上で質問されるのが宜しいでしょう。

> 平均μ、分散σで表される正規分布はf(x)=1/((√2π)σ) exp-{((x-μ)^2)/2σ^2}で表されますが
一般的には分散をσ^2と表し、標準偏差はその平方根でσと表します。
質問者さんが示された確率密度関数は、平均 μ、分散 「σ^2 」の正規分布のものです。分散と標準偏差の扱いをもう少しきちんとしましょう。

> μ3=μ1+μ2, σ3=σ1+σ2のように平均も分散も和で考えてよいのなら
2つの確率変数 X, Y があり、それぞれの平均と「分散」がμ1, (σ1)^2, μ2, (σ2)^2 であるとします。確率変数 Z を Z = X + Y で定め、Z ...続きを読む

Q【指数分布】確率変数の和

X1,X2,...,Xnは互いに独立な確率変数であり、
それぞれ指数分布 f(x)=1/λ*exp(-x/λ) (x>0)
に従います。
確率変数 Yk=X1+X2+...+Xk の確率密度関数をfk(x)
とするとき、
(1)fk(x)=∫[0,∞]fk-1(x-t)f(t)dt (x>0) を示せ。
(2)fn(x)を求めよ。
(3)確率変数 Yk=X1+X2+...+Xk の期待値、分散を求めよ。
との問題なのですが、

(1)について、
XとYが独立であるとき、Z=X+Yの確率密度関数fZ(z)は
畳み込み積分で与えられるので、
fZ(z)=∫[-∞→∞]fX(x)fY(z-x)dx を...と考えたのですが
上手く証明ができません。

また、(2)について、
指数分布が事象が起きる時間間隔が従う分布だということから
要は、n回の事象が起きるまでの時間と考え、
fn(x)=n/λ
だとは思うのですが、よくこれは特性関数から計算すれば良いのでしょうか...

どなたか数学に詳しい方が居られましたら、
ご教授のほどよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

「畳み込み積分がいまいち理解できていない」の「いまいち」がどこからを指すのかわかりませんが, とりあえず「畳み込み積分で確率変数の和の確率密度関数が表せる」ことがわかっていれば (1) は難しくないはず... というか, ほぼ「畳み込みで書ける, 終わり」のレベル. ヒントは
X1+X2+...+Xk = (X1+X2+...+X(k-1)) + Xk.

で (2) はすっとばして (3) については, 確率変数 X の期待値を E[X], 分散を V[X] で表すことにすると, 2つの確率変数 X, Y に対して
・E[X+Y] = E[X] + E[Y]
・X と Y が独立なら V[X+Y] = V[X] + V[Y]
であることを知っていれば簡単. (1) や (2) とは無関係に解けてしまう.

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q確率変数が独立であることの証明

「3つの確率変数 x1,x2,x3 が独立 ⇒ u=x1+x2 と x3 は独立 」

という直感的には明らかな事実を厳密に証明したいのですが、
以下の証明で日本語表現も含めておかしな点はあるでしょうか?

(証明)
x1,x2,x3は独立なので、同時確率密度関数 P(x1,x2,x3) は
それぞれの密度関数の積で以下のように表される。

P(x1,x2,x3)=Q(x1)・R(x2)・S(x3)  (※)

ここで、u=x1+x2 とし、uとx3の同時確率密度関数を φ(u,x3) とするとφ(u,x3)は(※)の式においてx1とx2の和がuになる組み合わせの確率の合計となる。
よって、

φ(u,x3)=∫[-∞~+∞]Q(u-t)R(t)S(x3)dt

=∫[-∞~+∞]Q(u-t)R(t)dt・S(x3) となる。

これは、φ(u,x3)がuの関数と、x3の関数の積となることを示しており、
uとx3が独立であることが示された。
                            証明終

よろしくお願いします。



 

「3つの確率変数 x1,x2,x3 が独立 ⇒ u=x1+x2 と x3 は独立 」

という直感的には明らかな事実を厳密に証明したいのですが、
以下の証明で日本語表現も含めておかしな点はあるでしょうか?

(証明)
x1,x2,x3は独立なので、同時確率密度関数 P(x1,x2,x3) は
それぞれの密度関数の積で以下のように表される。

P(x1,x2,x3)=Q(x1)・R(x2)・S(x3)  (※)

ここで、u=x1+x2 とし、uとx3の同時確率密度関数を φ(u,x3) とするとφ(u,x3)は(※)の式においてx1とx2の和がuになる組み合わせの確率の合計とな...続きを読む

Aベストアンサー

ヨイと思います。

Q畳み込み積分をする和の密度関数の問題に困ってます。。。

畳み込み積分をする和の密度関数の問題に困ってます。。。
aを正の定数とする。実数値をとる確率変数X、Yが独立に密度関数
f(x)=ae^(-ax)(x≧0),0(x<0),
g(y)=(a+1)e^(-(a+1)y)(y≧0),0(y<0),
に従うとき、その和の密度関数U=X+Yを求めよ
という問題です。。。
畳み込みの公式にいれてみたのですが、最後まで計算ができない(eが発散してしまいました)

お願いします

Aベストアンサー

ポイントは:
      x≧0
 かつ y=u-x≧0 ,
よってxの積分領域は[0,u] です。

これ以上書くと余計かもしれませんが,結果を計算したのでご参考ください。

別解は,逆フーリエ変換を用いるもので,指数分布の場合,zの積分領域を心配する必要がありません。

私はこれから日本で数理統計を学びたい準留学生です。一緒に頑張りましょう。

Q独立な確率変数の和の分散

独立な確率変数の和の分散の等式として
v(x+y)=v(x)+v(y)
v(aX+bY)=a2v(x)+b2v(y)
でいいでしょうか?
上記のa2とb2はともにaの二乗、bの二乗の意味です

Aベストアンサー

>V[x+y] = V[x] + V[y]

「x と y に相関がない」という条件なら成り立ちます。

相関がある場合には、共分散を Cov[x,y] として

V[x+y] = V[x] + V[y] + 2Cov[x,y]

となります。(共分散とは何か分からなければ、自分で調べてください)

>V[aX+bY] = a^2 *V[x] + b^2 *V[y]

V[aX] = a^2 *V[x]
V[bY] = b^2 *V[y]

は成り立ちます。その「和」については、上に書いた通りです。

こんなところを参考に。
http://mathtrain.jp/exvarcov

Q正規分布の加法性について

すいません。統計学初学者です。
正規分布の加法性でわからないことがございます。

1.N(u1, σ1^2) + N(u2, σ2^2) → N(u1 + u2, σ1^2+σ2^2)
2.N(u1, σ1^2) - N(u2, σ2^2) → N(u1 - u2, σ1^2+σ2^2)

正規分布を足しても引いても、
平均はそれぞれ、足されるあるいは引かれますが、
なぜ、分散だけはどちらも足されるのでしょうか?
分散は引くことは出来ないものなのでしょうか?

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

>分散を引いたときと足したとき、分散の値は同じ。

根本的な誤解があります。質問者さんが参考にしている本も私たちも分散の引き算を、
さらには分布の引き算を論じているわけではありません。2つの確率変数X,Yの和、差の
結果として(X-Y)の分布、分散がどうなるかを論じています。この二つは全く違う議論です。

確率変数は何らかの分布に従ってはいても実態は具体的な数字です。
サイコロの出目であったり、#3で例としてあげたコインの枚数であったり、
工場で作れらる製品の不良品の数であったり様々ですがあくまでただの数字であり、
分布では有りません。ただ、その出現頻度が何らかの法則に従っているだけです。
この具体的な数字、例えば大きなサイコロと小さなサイコロを振って大きいサイコロの
出目から小さいサイコロの出目を引くといったことを考えるのが確率変数の引き算で、
その結果がどのような分布に従うことになるかを今、論じているのです。

さらに分かり易い(?)例を考えてみると、A社の200g入り牛乳の実重量が正規分布(203,1)に
従っているとします。ここから2本ずつ取り出してそれぞれの重量の差を求めてみます。
その結果が(0,0)、つまり全部0、どれも差がなかったことになると思いますか?
重いものから軽いものを引くこともあるし、軽いものから重いものを引くこともあり
結果として差は正規分布(0,2)に従うことになりますよ、と言っているのが参考書ですし、
回答者みなさんなのです。

もちろん、分散を引く計算を問題にすることも出来ます。
重量が正規分布に従うコップが有ってここに重量が正規分布(100,5)に従う水を
入れたら全体の重さは正規分布(120,8)に従った。元のコップの分布を求めよ。
これなら分散を引いて答えは(20,3)になります。しかしこれは確率変数の差を
求めているわけではないのですよ。

>分散を引いたときと足したとき、分散の値は同じ。

根本的な誤解があります。質問者さんが参考にしている本も私たちも分散の引き算を、
さらには分布の引き算を論じているわけではありません。2つの確率変数X,Yの和、差の
結果として(X-Y)の分布、分散がどうなるかを論じています。この二つは全く違う議論です。

確率変数は何らかの分布に従ってはいても実態は具体的な数字です。
サイコロの出目であったり、#3で例としてあげたコインの枚数であったり、
工場で作れらる製品の不良品の数であったり様々...続きを読む

Q確率密度関数の求め方について

ある一つの変数に対するデータを数多く収集したとします.一人ひとりに一つづつ値がある身長などです.それを使って身長に関する確率密度を求めたいと思った場合,どのような操作手順になるでしょうか.例えば,最低身長を1mとして5cm刻みのレンジでその中に入る度数を調べて全数で除して,棒グラフみたいなものができたとします.そのグラフの縦軸は確率という次元(無次元)になります.横軸は身長ですね.そのようにしててきたグラフは実は確率密度ではないと思います.なぜなら,確率密度関数を横軸(身長)で積分したら確率になるのだから確率密度関数は身長の逆数の次元を持つ必要があります.そうしますと,例えば先に求めた5cmのレンジに対応して求まった確率をその刻み幅5cmで除す必要があるでしょうか.
このようなことが明記されているテキストがありましたら教えて頂きたいのですが.私の見る限りでは確率密度関数を実際のデータから求めるという演習が載っているものがなく,すべて確率密度関数が与えられているという前提での演習ばかりです.

よろしくお願いします.

Aベストアンサー

>確率密度関数の定義を明確にすること
は,そのとおりです。
定義とともに,どのような仮定(前提)で話を進めるかが重要です。

確率や統計は,身近にあることが対象となりうるために,かえって定義が曖昧になっているような気がします。

かなり確率を学んでいる(私よりかも・・)ようなので,蛇足かもしれませんが,ビュッホン(Buffon) やベルトラン(Bertrand)の問題では,定義が不明確のため解答に混乱を招いてます。
(参考)
http://www.core.kochi-tech.ac.jp/m_inoue/work/math_tale/01.pdf

>すなわち連続型の確率論が先に来るというのが正しいのでしょうか

先に来る,という意味が,はっきりしませんが,連続型で全て表せると考えてもいいでしょう。

確率論でデイラックδ関数を取り上げ,離散も連続も積分を使って一般的議論という解説もあります。古典力学と量子力学の橋渡し,ですね。

>レンジの確率密度関数でなく,その単位レンジの密度関数です。というのは確率密度関数の定義が既に先にある,ことを意味していると思います.

ここも微妙ですが,「 確率 」密度関数とまでは言っていません。その点,注意深く言ったつもりです。自分でも間違いやすいので・・・

棒グラフで止めれば,「離散密度関数」でしょうし,さらに,後半で話したように,曲線近似までもっていけば,「確率密度関数」です。

>確率・統計という学問は解析とか代数という数学分野とちょっと異なっているように思います。

全くそうですね。冒頭述べた,身近にある,ありすぎる点から,問題をややこしくしています。

>確率・統計については逆に実際に計算する手法が先にあってそれが定義であるかのように理解してしまう側面があるのではないでしょうか.

これも全く同意です。
例えば,
誰もが誤差分布の正規性を信じている。実験家は、数学的定理であると思っ ているからであり、数学家は、実験的事実と思っているからである。 (クラメール)
なんて言葉もあるくらいです。

また,統計の計算手法をめぐっては,ここの回答No1にも出てきたsanoriさんと真っ向から対立したくらいですから,
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6733154.html
計算,それが定義,という面はあると思います。


>数学的な厳密性に対して反乱することがほぼできません.
私も応用分野の人間ですから,そんなものですよ。

>私が挙げた箇条書きの計算手順で循環論になる部分があるとしたらどの部分でしょうか

2.各レンジの度数をレンジ幅で除したリスト(棒グラフ)を作成する.
3.そのリストを積分して値Sを求める.理屈から考えると総サンプル数になるが.

の部分です。各レンジは,総サンプル数が得られたからこそ決められます。例えば,あとからサンプルを加えて行けば,レンジが変わることもあるでしょう。

その決められたはずの総サンプル数に計算を施して,総サンプル数を求める,総サンプル数が求まったら,レンジを決める,決めたら総サンプル数を求める計算をする・・・

こういうことですか?
それなら,不要な計算です。

>確率密度関数の定義を明確にすること
は,そのとおりです。
定義とともに,どのような仮定(前提)で話を進めるかが重要です。

確率や統計は,身近にあることが対象となりうるために,かえって定義が曖昧になっているような気がします。

かなり確率を学んでいる(私よりかも・・)ようなので,蛇足かもしれませんが,ビュッホン(Buffon) やベルトラン(Bertrand)の問題では,定義が不明確のため解答に混乱を招いてます。
(参考)
http://www.core.kochi-tech.ac.jp/m_inoue/work/math_tale/01.pdf
...続きを読む


人気Q&Aランキング