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友人から以下のような謎のメールが届きました。
これは今はやってるチェーンメールか何かなんでしょうか??
一見数学の問題のように見えますが、実は解の存在しない
タチの悪いイタズラ出題のような気もします。
数学に詳しい方、答えが出なくともヒントだけでも結構ですので
何かありましたら、教えて下さい。

↓そのままメール本文をコピーして貼り付けました。

>ムスメハアズカッタ、返して欲しければ次の問題をとけ!
>nを負でない整数として
>(5√2+7)2n+1乗(2n+1)までがべき乗!
>の整数部分A少数部分をaとするとき
>(A+a)aの値を求めよ!

A 回答 (2件)

ここにも投稿していたんですか?



aのm乗はa^mと表記します。
ですから、(5√2+7)^(2n+1)と書いた方がわかりやすいですね。

二項定理を用いて(7+5√2)^(2n+1)+(7-5√2)^(2n+1)を計算すると
(7+5√2)^(2n+1)+(7-5√2)^(2n+1)
=7^(2n+1)+・・・+[(2n+1)!/{(2i)!(2n+1-2i)!}]*7^(2n+1-i)*50^i+・・・+(2n+1)*7*(50)^n
となりますから
(7+5√2)^(2n+1)+(7-5√2)^(2n+1)は整数です
しかも、-1<7-5√2=√49-√50<0ですから、-1<(7-5√2)^(2n+1)<0です。
よって
(7+5√2)^(2n+1)+(7-5√2)^(2n+1)<(7+5√2)^(2n+1)<(7+5√2)^(2n+1)+(7-5√2)^(2n+1)+1
が成立します。
よって(7+5√2)^(2n+1)の整数部はA=(7+5√2)^(2n+1)+(7-5√2)^(2n+1)
小数部はa=-(7-5√2)^(2n+1)となります。

以上より(A+a)a=(7+5√2)^(2n+1){-(7-5√2)^(2n+1)}=(-1)(49-50)^(2n+1)=(-1)(-1)=1
となります。

よって、(A+a)a=1と求まりました。
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a=(5√2-7)^(2n+1)って言いたいんだと思いますが。


それで結局(A+a)a={(5√2+7)*(5√2-7)}^(2n+1)=1なんだと思いますけど。

うーんどう証明しますかね…。
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