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逆写像について質問です。
教科書で定義を見てもいまいち理解できません。
具体的な例を挙げます。

いま、A={a,b,c,d,e}とし、AからAへの写像fを
f={(a,c),(b,a),(c,d),(d,b),(e,e)}
とするとf^(-1)の値はどうなるか?

自分が考えたのは、単にそのまま逆にして
f^(-1)={(a,b),(b,d),(c,a),(d,c),(e,e)}
となるのではないかと思ったのですが、これで合っていますでしょうか?
逆写像の考え方等どなたか詳しい方は教えてください。
よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

定義は


写像f:X→Yの逆写像f(-1):Y→Xとは、y∈Yに対してf(x)=yとなるx∈X
を対応させる規則のことですね。

これはfが全単射でなくてはちゃんと定義できません。

たとえば
f:{a,b,c}→{a,b,c}

f(a)=a
f(b)=a
f(c)=b
などと定義すると、
f(-1)(a)はaとbの2つ
f(-1)(b)=c
f(-1)(c)はない
などとなって、f(-1)が定義できません。
これは、fが単射でも全射でもないからです。

また、
f:{a,b,c}→{a,b,c,d}

f(a)=a
f(b)=b
f(c)=c
と定義すると、
f(-1)(a)=a
f(-1)(b)=b
f(-1)(c)=c
f(-1)(d)はない
となって、f(-1)は定義できません。
これは、fが単射ではあるが、全射ではないからです。

しかし、単射ではあるが、全射ではない写像f:X→Yに関して、
f(-1)の定義域をf(X)に限定すれば逆写像がちゃんと定義できます。

また、f(-1)の逆写像はもとのfになります。

集合XとYの間に全単射f:X→Yが定義できるときにXとYは対等といって、
X~Yなどと書きます。XとYが有限集合なら、XとYの要素の個数が等しいときのみ可能です。

XとYが無限集合でも、たとえば、
X:自然数全体の集合、Y:偶数全体の集合
として、f(n)=2nと定義すると、fは全単射で、X~Yであり、
f(-1)(2n)=nで逆写像はちゃんと定義できます。
すなわち、XもYも無限の度合いが同じということです。

また、X:自然数全体の集合、Y:有理数全体の集合
としても全単射f:X→Yがちゃんと定義でき、X~Yです。
すなわち、有理数全体の集合は1、2、3、・・・と番号付けを
することができます。
(これは最初は不思議で、ちょっと難しいですが、数学者カントール
の考えた方法で、本当です。)

しかし、X:自然数全体の集合、Y:実数全体の集合とすると、
全単射f:X→Yは定義できないので、X~Yではありません。
すなわち、実数全体の集合は無限の度合いが自然数全体の集合より
高いということで、1、2、3、・・・と番号を付けてすべてを数
え上げることはできません。

逆写像を考えるときは、定義域、値域をしっかり念頭に置くことが
肝心です。

どのレベルの方かわからないので、いろいろ書いてしまいました。
(ほとんど集合の教科書に書いてあると思いますが。)
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この回答へのお礼

ご丁寧な説明ありがとうございます。
カントールの考え方は授業の中で聞いた気がします。
運動会の玉入れ競技で玉の数を数えるときと同じだとかなんとか・・・。
でもやっぱりまだ僕にとっては少し難しいです。色々考えてみます。
どうもありがとうございました。

お礼日時:2007/01/26 19:09

それで合っています。

ese_prograさんは逆写像を正しく理解しています。もう少し自信を持っても良いのではないでしょうか?
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます。
どうもあまり得意でなく自信が持てないみたいです。
できればなにか説明をしてくださるとありがたいのですが・・・。

お礼日時:2007/01/23 21:55

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Q逆写像の求め方

以下の逆写像を求めなさい。
定義域と値域はどちらも実数です。
1.f(m)=4m+6
関数の逆写像を求める場合は、n=4m+6をmについて解けば良いのでしょうか?
n-6=4m, m=(n-6)/4。したがって、f^-1(m)=m/4-3/2?で宜しいでしょうか?
2.f(m)=m^3-2
上のやり方が正しければ同様にn=m^3-2, n+2=m^3。mの3乗ってこの先どうにか出来るんでしたっけ。。すみません、逆写像の質問ではなくて数学の基礎なのかも知れませんが、ご存知の方いらっしゃったら教えて下さい。
あと、逆写像は、y=xの線を隔てて対称的な線を描く、という認識は正しいでしょうか。

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>
1.f(m)=4m+6
関数の逆写像を求める場合は、n=4m+6をmについて解けば良いのでしょうか?
n-6=4m, m=(n-6)/4。したがって、f^-1(m)=m/4-3/2?で宜しいでしょうか?

それでいいです。
逆関数です。


>>>
2.f(m)=m^3-2
上のやり方が正しければ同様にn=m^3-2, n+2=m^3。mの3乗ってこの先どうにか出来るんでしたっけ。

3√(n+2) と書けばよいです。実数のみですからね。
(n+2)^(1/3) とも書けます。
です。


>>>
あと、逆写像は、y=xの線を隔てて対称的な線を描く、という認識は正しいでしょうか。

そうですね。
関数だったら、そうなります。

Q逆像の問題

関数f(x)=1/X^2 を考える。(Xは実数で0ではない)

E=【1,2】の原像f(E)を求めよ

E=【1,4】の逆像f^-1(H)を求めよ

という二つの問題の解答と、答えの導か方について教えてください。

Aベストアンサー

答え導き方といっても,1個1個の元について確かめるしかないような気がします.

f: R - {0} → R, x ↦ 1/x^2.

E = {1, 2}
に対して,
f(E) = {f(x) ∈ R | x ∈ E} = {1, 1/4}.

ただ,このf(E)は「Eの原像」とはよばず,
「写像fによるEの像」ってよぶんじゃないかと思います.

「H = {1, 4} に対して f^(-1) (H) を求めよ」ってことですよね.

1/x^2 = 1 となる実数は x = ±1,
1/x^2 = 4 となる実数は x = ±1/2
なので,

f^(-1) (H) = {x ∈ R - {0} | f(x) ∈ H} = {-1, -1/2, 1/2, 1}.

この「f^(-1) (H)」を「写像fに対する H の逆像」とか「写像fに対する H の原像」とかよぶんだと記憶してます.
要するに,原像と逆像は同じ意味だったはず.

Q単射 全射 全単射 について教えてください

タイトルの通り、単射 全射 全単射についていまいち納得できないので教えてください。

今、手元に問題が5つあるのですが


自然数、整数、実数全体の集合をそれぞれN,Z,Rとする。

(1)f:Z→N f(x)=x2(二乗)
(2)f:R→R f(x)=2x(x乗)
(3)f:R→R f(x)=sinx
(4)f:Z→R f(x)=x3(三乗)
(5)f:R→R f(x)=2x+1

例えば、(1)であれば 
Zが1のとき、Nは1、Zが2のとき、Nは4という風にZが決定すればNはただひとつ必ず決まるから単射。
でも、Zが2のときは、Zは1とも-1ともいえるので全射ではない、ということなのでしょうか。
全単射、というのはそうするとどういった状態を言うのでしょうか・・・

それぞれの問題も全くちんぷんかんぷんです。
どうか教えてください。

Aベストアンサー

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
 
(3) f: R→R, f(x) = sin x
 sin x は周期関数ですから,たとえば x = 0,π,2π,... と無限に多くの x に対し f(x) が同じ値になります.だから単射ではありません.
 また sin x は -1 から 1 の値しかとりませんから,R の上に全射でもありません.
 
(4) f: Z→R, f(x) = x^3
 f(x) が単調増加ですから単射です.つまり一つの f(x) に対してもとの x が二つ以上定まるということはありません.
 また f(x) = 2 なる x も Z にはないので全射でありません.
 
(5) f: R→R, f(x) = 2x +1
 全単射です.f(x) は単調に全実数をわたるから単射かつ全射です.

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
...続きを読む

Q逆写像の条件について

集合Uから集合Vへの写像fが全単射なら
逆写像f^{-1}が存在し、f^{-1}は全域写像になりますが、
f^{-1}の逆対応はfなので、f^{-1}は全単射で、
fは全域写像になるのでしょうか?
また、集合Uから集合Vへの部分写像fが逆写像をとる条件を単射とした場合は
合成写像f◦f^{-1}がUの恒等写像にならないですよね?

Aベストアンサー

 自分も後半は良くわかりませんでしたが、基本に戻りましょう。

[定義-1]
 集合X,Yがあり、各x∈A⊂X(A≠XでもOK)に対して、一つとは限らないy∈Yが対応するとき、これを単にXとYの間の対応(相関)と言う。ここで対応をfと書けば、各x∈A⊂Xに対応するy=f(x)∈Y(yはxについて一つとは限らない)を全部集めても、Yになるとは限らない。これのグラフは、一般には帯になります。

 またXを対応fの始域,A⊂Xをfの定義域,Yを終域という用語もあります。


[定義-2]
 集合X,Yがあり、対応fの定義域A⊂Xが終域Xに等しく(A=X)、定義域Xの各x∈Xでy=f(x)∈Yが、そのxについて一つだけの時(yはxについて唯一)、これを写像(関数)と言い、f:X→Yと表す。
 この場合も、y=f(x)∈Yをxについて全部集めてもYになるとは限りませんが、これのグラフは曲線になります。そしてこの時、終域Yの事を、慣習上は値域と言います。


 という訳で、逆対応が写像になる条件は、明らかに対応fが全単射の場合です。対応fが全単射なら、それは明らかに[定義-2]を満たし、それは写像です。またfが全単射なら、XとYをひっくり返せるので、逆写像f^(-1)も存在し、全単射です。

 後半に対しては予想ですが、こういう定義と定理があります。写像f:X→Yがあったとして、X上(Y上)の恒等写像をIdX(IdY)で表します。〇は合成写像を意味します。


[定義-3]
 s:Y→Xとして、s〇f=IdXとなるとき、sをfの左逆写像(引込またはPullback)と言う。

[定義-4]
 r:Y→Xとして、f〇r=IdYとなるとき、rをfの右逆写像(押出またはPushout)と言う。


[定理-1]
 fが左逆写像sを持てば、fは単射。

[定理-2]
 fが右逆写像rを持てば、fは全射。


 [定理-1,2]の証明は、図を描いて[定義-3,4]に従えば、じつは自明(一瞬)です。


 こんなところで、どうでしょうか?^^

 自分も後半は良くわかりませんでしたが、基本に戻りましょう。

[定義-1]
 集合X,Yがあり、各x∈A⊂X(A≠XでもOK)に対して、一つとは限らないy∈Yが対応するとき、これを単にXとYの間の対応(相関)と言う。ここで対応をfと書けば、各x∈A⊂Xに対応するy=f(x)∈Y(yはxについて一つとは限らない)を全部集めても、Yになるとは限らない。これのグラフは、一般には帯になります。

 またXを対応fの始域,A⊂Xをfの定義域,Yを終域という用語もあります。


[定義-2]
 集合X,Yがあり、対応f...続きを読む

Q最大元と極大元の定義の違いが分かりません

数学の基礎「齋藤正彦著」p22からの抜粋です。

定義
(X,≦)を順序集合,AをXの部分集合とする。
「1) aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ時,aをAの最大元といい,maxAと書く,Aの全ての元xに対してa≦xが成り立つ時,aをAの最小元といい,minAと書く。最大元や最小元は存在するとは限らない,あるとすれば一つしかない。
2) aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない時,aを極大元という。x<aなるAの元が存在しない時,aを極小元という。極大元や極小元は存在しない事も有るし,沢山存在する事もある」

と定義が紹介されてるのですが最大元と極大元についてのこの文意
"aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ"と"aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない"
とは同値だと思います。
違いが分かりません。

一体,どのように違うのでしょうか?

Aベストアンサー

>最大元と極大元の定義の違いが分かりません
最大元と極大元は抽象的に考えても違いが分からなくて当然だと思います。ここは具体例で理解するのがよいと思います。

例はいろいろ考えられますが、たとえば、(x,y)∈R^2について、
(x1,y1)≦(x2,y2)をx1≦x2かつy1≦y2と定義します。
A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}
のとき、Aの最大元は存在しませんが、極大元は3個あります。ちなみに最小限は(0,0)の1個ですね。

ところで、最大元が存在する場合は、全順序集合、半順序集合に関係なく、それは極大元でもあります。しかし、その逆は成り立ちません。
その意味で、「同値」ではありませんね。

Q陰関数の定理がわかりません

陰関数の定理について、
証明はまだ習わないで、定理だけいきなり出てきたのですが、
読んだだけではいまいち意味がつかめませんでした。
この定理が何をいおうとしているかわかり易く
説明していただけないでしょうか?
(漠然とした質問で申し訳ありません)
___________________________________
 陰関数の定理:
f(x, y) をR2 におけるC1 級関数とし,
点(a, b) において
f(a, b) = 0; fy(a, b) ≠ 0とする.
このときa を含むある小さな開区間I をとれば
I の上で定義されたC1 級関数
y = φ(x) で次の条件を満たすものがただ1つ存在する:
b = φ(a),
f(x, φ(x)) = 0 (x は 閉区間I内),
さらに
φ’(x) = -{fx(x, φ(x))}/{fy(x, φ(x)}
が成立する.
___________________________________

Aベストアンサー

とりあえず,もうちょっと偏微分や関数の勉強を
頑張ってください.
何か根本的な部分を勘違いしている可能性があります.

>f(x,y)=0はそもそもxy平面上でのことで、3次元ではないのに、
>どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか?
>fy(a, b)は3次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

これは次のように表現を変えてみましょう

f(x)=0はそもそも数直線上でのことで、2次元ではないのに、
どうやって“f'(a)”を考えることができるのでしょうか?
f'(a)は2次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

おっしゃってることが「おかしい」ことがお分かりになりますか?

f(x,y)というのは,R^2上の関数fの点(x,y)での値です.
したがって,z=f(x,y) と考えれば,これは
確かにR^3での「グラフ」になります.
これは y=f(x) が平面のグラフになることと同じです

翻って,f(x,y)=0 というのは,
R^2の点(x,y)でf(x,y)=0となる点(の集合)のことです.
これは f(x)=0 の場合は「解」に相当しますが,
f(x,y)=0も「解」(の集合)とみなせばいよいだけです.

また,偏微分f_y(x,y)も単に点(x,y)での値に過ぎませんので
3次元とか考えずに計算できます.

陰関数の定理というのは,
陰関数f(x,y)=0を,y=φ(x)という形で表現できる
ということを(特定の条件下で)保証する定理で
実際は,いろいろな理論の根底で使われます.

とりあえず,もうちょっと偏微分や関数の勉強を
頑張ってください.
何か根本的な部分を勘違いしている可能性があります.

>f(x,y)=0はそもそもxy平面上でのことで、3次元ではないのに、
>どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか?
>fy(a, b)は3次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

これは次のように表現を変えてみましょう

f(x)=0はそもそも数直線上でのことで、2次元ではないのに、
どうやって“f'(a)”を考えることができるのでしょうか?
f'(a)は2次元的に...続きを読む

QC1級関数って何ですか?

級数の勉強をしていると、
” C1級数関数 ”
(※ 1はCの右上の小さい文字。表記できませんでした。)
という用語が出てきたのですが、どういう意味なのかわかりません。
どういう関数なのか教えてください。

Aベストアンサー

こんにちは.Esnaです.

C1級は,1回微分可能な関数のことです.
Cn級や,C∞級(e^x,sin x など)など微分可能回数によって関数を分類したものです.

Q上界と上限と最大値の違い

上界と上限と最大値の違いはなんでしょうか
なんとなく違う気はするのですが、うまく説明することができません
これらはどのように使い分ければよいのでしょうか
明確な定義などはあるのでしょうか

Aベストアンサー

>明確な定義などはあるのでしょうか

うーーん、上界とか上限って言葉は高校数学までには出てこないですよね。
「その言葉を知っているが定義を知らない」という状況が思いつきません。
後学のため、「どうしてその言葉を知っているのか」のか教えていただければ幸いです。



定義は、次の通りです。

・xがAの上界 ⇔ すべてのAの要素aについて、a≦x
 つまり、xより大きいyについても a≦y となるのでyもAの上界になります。

・xがAの最大値 ⇔ すべてのすべてのAの要素aについて、a≦x かつ、 xはAに含まれる(xはAの元である)
 つまり、Aの元の中で一番大きいヤツです。当然1個しかありません。
 上界があっても考えている世界(全体集合)によって、最大値がないときがあります。実数の世界で、A={x;xは実数 かつ x<1} なんてとき、Aに最大値はありませんね。
 自然数や整数の世界では上界があるなら最大値があります。

・xがAの上限 ⇔ xはAの上界の最小値
 上界があっても考えている世界(全体集合)によって、上限がないときがあります。有理数の世界で、A={x;xは有理数 かつ x^2<2} なんてとき、Aに上限はありません。
 実数の世界では上界があるなら上限があります。

>明確な定義などはあるのでしょうか

うーーん、上界とか上限って言葉は高校数学までには出てこないですよね。
「その言葉を知っているが定義を知らない」という状況が思いつきません。
後学のため、「どうしてその言葉を知っているのか」のか教えていただければ幸いです。



定義は、次の通りです。

・xがAの上界 ⇔ すべてのAの要素aについて、a≦x
 つまり、xより大きいyについても a≦y となるのでyもAの上界になります。

・xがAの最大値 ⇔ すべてのすべてのAの要素aについて、a≦x ...続きを読む

Qこの写像がwell definedである事の証明

[Q] Let V,W be finite dimensional vector spaces over the same field.
{x1,x2,…,xn} is a basis for V
Tx1=y1∈W,…,Txn=yn∈W then you can define∀x∈V
x=c1x1+c2x2+…+cnxn
T(x)=c1y1+c2y2+…+cnyn
(1) Show that this function is well defined.
(2) Show that this funciton is closed under scalar multiplication.

という問題で質問があります。この問題の意味は下記の通りだと思います。
"well definedである事示せ"とは具体的にどうすればいいのかわかりません。

[問]V,Wを体F上の有限次元ベクトル空間とし、{x1,x2,…,xn}をVの基底とする。線形写像Tに於いて、
T(xi)=yi∈W (i=1,2,…,n) …(1)、
そして、∀x∈Vに対して,
x=c1x1+c2x2+…+cnxn …(2)
T(x)=c1y1+c2y2+…+cnyn …(3)と定義すれば
(1) この写像がwell definedである事を示せ。
(2) この写像がスカラー倍に対して閉じている事を示せ。

[(1)の証]
T(x)=T(Σ[i=1..n]cixi) (∵(2))
=Σ[i=1..n](ciyi) (∵(3))
=Σ[i=1..n]ciT(xi) (∵(1))
これからα,β∈Fとすると
T(αx+βy)=αT(x)+βT(y) …(4)が成立している事も表している事が分かる。即ち、Tは線形写像。
よって,この定義は妥当である。

[(2)の証]
∀c∈F,∀x∈V,T(cx)=cT(x)∈Wとなる事を示せばよい。
0をVの零ベクトルとすると
T(0)=T(Σ[i=1..n]0・xi)=Σ[i=1..n]0・yi (∵(1),(2),(3))=0 …(5).
y:=0と採ると,(4)からT(cx)=cT(x) (∵(5)) を満たす。
従って、Tはスカラー倍に対して閉じている。


という風に解いたのですがこれで正解でしょうか?

[Q] Let V,W be finite dimensional vector spaces over the same field.
{x1,x2,…,xn} is a basis for V
Tx1=y1∈W,…,Txn=yn∈W then you can define∀x∈V
x=c1x1+c2x2+…+cnxn
T(x)=c1y1+c2y2+…+cnyn
(1) Show that this function is well defined.
(2) Show that this funciton is closed under scalar multiplication.

という問題で質問があります。この問題の意味は下記の通りだと思います。
"well definedである事示せ"とは具体的にどうすればいいのかわかりません。

[問]V,Wを体F上の有限次元ベク...続きを読む

Aベストアンサー

パソコンの調子が悪くて、せっかく書いた回答が二回も消えてしまった。(>_<)
一回目はまだ前半だったが、二回目は、ほとんど完成していたのに・・。

悲しくて、放っておいたが、気を取り直してもう一度書きます。

まず、問題の意味を少し取り違えていると思います。
正しくは、次のようになると思われます。

[問]V,Wを体F上の有限次元ベクトル空間とし、
{x1,x2,…,xn}をVの基底とする。
このとき、写像T:V→Wを次のように定義する。
Wの元y1,y2,…,ynを選び、
T(xi)=yi (i=1,2,…,n) …(1)、
とする。
(各xiの行き先を、まず決めるということですね)
そして∀x∈Vに対して,
x=c1x1+c2x2+…+cnxn …(2)
のとき、
T(x)=c1y1+c2y2+…+cnyn …(3)
と定義する。
(1) この写像がwell definedである事を示せ。
(2) こうして定義される写像たち全体の集合が、スカラー倍に対して閉じている事を示せ。


(1)
Wの元y1,y2,…,ynを選んだとき、Tは一意に決まることを示す。
{x1,x2,…,xn}はVの基底なので、任意のx∈Vに対し、(2)の表現は一意である。
よって(3)により、任意のx∈V に対して、T(x)は一意に定義される。
あとは、(1)が(2)(3)と矛盾しないことを確認すればよいが、
x=xiのとき、ci=1,cj=0(j≠iのとき)となるので、
(つまり、(2)はxi=xiとなるので)
(3)はT(xi)=yiとなり、(1)と一致するからOK。

(2)
(スカラー倍とは、写像のスカラー倍、ということです。つまり、写像に対し、それをスカラー倍した写像を考える、ということです。)
上のように定義される写像全体の集合をSとする。
T∈Sとし、cを任意の定数とする。
このとき、写像T'を、Tの定義における各yiを、c×yiで置き換えた写像
とする。T'の定義よりT'∈S である。
すると、任意のx∈Vに対し、T'(x)=cT(x) となる。
以上より、cT∈Sである。
T,c は任意であったから、Sは定数倍について閉じていることが言えた。

たぶん上記のような問題だと思われます。
問題文、ちょっと分かりにくいですね。
ちなみに、Sは加法についても閉じていて、一種のベクトル空間になります。

以上です。

パソコンの調子が悪くて、せっかく書いた回答が二回も消えてしまった。(>_<)
一回目はまだ前半だったが、二回目は、ほとんど完成していたのに・・。

悲しくて、放っておいたが、気を取り直してもう一度書きます。

まず、問題の意味を少し取り違えていると思います。
正しくは、次のようになると思われます。

[問]V,Wを体F上の有限次元ベクトル空間とし、
{x1,x2,…,xn}をVの基底とする。
このとき、写像T:V→Wを次のように定義する。
Wの元y1,y2,…,ynを選び、
T(xi)=yi (i=1,2,…,n) …(1)、
とする...続きを読む

Q数学 集合と写像の問題 回答・解説お願いします。

数学 集合と写像の 過去問ですが、回答がないので困っています。
よろしくお願いします!
前回質問させていただきましたが、問題に打ち間違えがありましたので再度修正して
質問いたします。
ミスをご指摘いただいた方ありがとうございました。

X={3,4,5} Y={5,6,}とする。

(1) YからXへの単射を1つ求めよ。
(2) XからYへの全射を1つ求めよ。
(3) (1)(2)で求めた写像の合成写像を求めよ。
(4) XからXへの写像で全射であるものを全て求めよ。
(5) (4)で求めた写像 f で合成写像 f2=f○fが恒等写像となるものを全て求めよ。
(6) YからYへの写像で単射であるものを全て求めよ。
(7) (6)で求めた写像 f で合成写像 f3=f○f○fが恒等写像となるものをすべて求めよ。

 数学が うまく変換出来ませんでしたので、わかりにくいと思いますが、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

(1) 写像 f:Y→X が単射とは ∀y,y'∈Y(y≠y' ⇒ f(y)≠f(y'))となることです。言葉で簡単に言うと、y∈Yのyが違えばその対応する値f(y)とf(y')も異なるということです。
 ですから、f(5)=3,f(6)=3 のような写像は単射ではないわけです。
(2) 写像 g:X→Y が全射とは(∀y∈Y)(∃x∈X) (g(x)=y)となることです。言葉で簡単にいうと、Yにすべての元が写像fによってxに対応しているということです。
 ですから、g(3)=5,g(4)=5,g(5)=5のような写像は全射ではないわけです。(Yの6がどれにも対応づけられていない)
(3) 写像f:A→B,写像g:B→Cが与えられているとする。ことのき、∀a∈Yに対して、集合Cの元cをg(f(a))で定めること。このとき、写像h=g○fで表す。
後は教科書等をしっかりよんで勉強してください。がんばって。


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