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過去に一度質問したのですが、別の考え方でも式が出せないか考えていたのですが、まったく答えにたどり着けないため、お力をお借りしたいと思い再度質問させていただきます。


Vリットルの液体AにRミリリットルの液体Bを添加してV+R/1000リットルの液体をよく混合後、Rミリリットル捨てるという作業をn回行う。
最初のVリットルの液の減少量を考えると1回にV/(R/1000+V)の比率で減少するため、n回では(V/(R/1000+V))^n、よって液体Bの置換率は1-(V/(R/1000+V))^nという式が導き出せることは、理解いたしました。
では、液体Bの増加量に着目して式を出すにはどうしたらよいのでしょうか?
よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

もういいのかもしれませんが、一応。



{R(n+1)-1}=V/(V+R/1000)・{R(n)-1}の式は、
nは幾らであっても成り立つわけで、それを利用して、下の式は全部成り立ちます。

{R(n)-1}=V/(V+R/1000)・{R(n-1)-1}
{R(n-1)-1}=V/(V+R/1000)・{R(n-2)-1}
{R(n-2)-1}=V/(V+R/1000)・{R(n-3)-1}
{R(n-3)-1}=V/(V+R/1000)・{R(n-4)-1}

{R(2)-1}=V/(V+R/1000)・{R(1)-1}
{R(1)-1}=V/(V+R/1000)・{R(0)-1}

1つ上の式に代入することを繰り返すと、
{R(n)-1}=V/(V+R/1000)・{R(n-1)-1}
=V/(V+R/1000)・V/(V+R/1000)・{R(n-2)-1}={V/(V+R/1000)}^2・{R(n-2)-1}
=V/(V+R/1000)・{V/(V+R/1000)}^2・{R(n-3)-1}={V/(V+R/1000)}^3・{R(n-2)-1}

={V/(V+R/1000)}^(n-1)・{R(1)-1}
={V/(V+R/1000)}^(n)・{R(0)-1}

つまり1回ごとにV/(V+R/1000)倍していくわけです。
よってV/(V+R/1000)をn回かけたものが出てきます。
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まずVリットルとRミリリットルとで単位が違うので


(x1000や1/1000を数式に入れると、ややこしくなってミスを犯しやすいので)
Rミリリットル=Sリットルとしましょう。(S=R/1000)
全ての計算が終了してからSをRに置き換えればいいのですから

それでは液体Bの増加量に着目するとして計算式を立てていきます。
 n回目の作業の後の液体Bの割合をB(n)とします。
 (n+1)回目の作業で液体Bの量はB(n)がVリットルあってそれにSリットル加えるので
   V・B(n)+S
 次に(V+S)リットルからSリットル捨てるので、残った液体Bの量は
   (V・B(n)+S)×{V/(V+S)}
 このときの液体の量はVリットルなので、液体Bの割合、つまりB(n+1)は
   (V・B(n)+S)×{V/(V+S)}÷V
  =(V・B(n)+S)/(V+S)
 よって B(n+1)=(V・B(n)+S)/(V+S) という漸化式ができました。
 ここでn=1のときVリットルの液体AにSリットルの液体Bを加えるので
 液体Bの割合は S/(V+S)
 よってB(1)=S/(V+S)
 
あとはこれを解けば良いと思います。
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この回答へのお礼

詳しい説明ありがとうございます。
ややこしい数式を記号に置き換えるテクニックとても参考になりました。
じっくりゆっくり読んで、理解しました。
ほんとうにありがとうございました。

お礼日時:2007/01/30 21:34

n回後のRの置換"率"をR(n)として


V・R(n+1)={V・R(n)+R/1000} × V/(V+R/1000)
(V+R/1000)・R(n+1)=V・R(n)+R/1000
(V+R/1000)・R(n+1)-(V+R/1000)=V・R(n)-V
(V+R/1000)・{R(n+1)-1}=V・{R(n)-1}
{R(n+1)-1}=V/(V+R/1000)・{R(n)-1}

よって
R(n)-1={V/(V+R/1000)}^n・{R(0)-1}={V/(V+R/1000)}^n・{0-1}=-{V/(V+R/1000)}^n
R(n)=1-{V/(V+R/1000)}^n

まぁAから出すのと大きな違いは無いですが。
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この回答へのお礼

詳しい説明ありがとうございます。
数学は苦手で、式の導き方がまったくわかりませんでした。

R(n)-1={V/(V+R/1000)}^n・{R(0)-1}
={V/(V+R/1000)}^n・{0-1}=-{V/(V+R/1000)}^n

すいませんが、この式の意味がよくわかりません。
R(n+1)-1がR(n)に、R(n)がR(0)になるのはなぜですか?

よろしくお願いします。

お礼日時:2007/01/30 21:26

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