行列の問題が解けません…

3×3行列　
A＝
2 -4 6
-4 5 7
6 7 2

が対角化可能かどうか判定せよ


という問題で、固有値を求めて判断しようとしましたが、
｜A－λE｜
＝｜2-λ,　-4 , 6 ｜
　｜-4,　　5-λ, 7 ｜
　｜ 6, 7, 2-λ｜
（うまくパソコン上で表示できるようにいれられないのでコンマで分けました）
＝-λ^3+9λ^2+77λ-626


となり、これがどうしても因数分解できず、固有値が求められません。
これは何かほかに対角化可能かどうか判断できる方法があるのでしょうか？？

よろしくお願いします。

No.1 回答者： itemi_qche 回答日時： 2007/01/28 22:11

実の対角行列だから対角化可能じゃないですか？

直行行列が存在するので。

No.2 回答者： ojisan7 回答日時： 2007/01/28 22:11

どこでこんな問題がでてきたのでしょうか？これは、簡単には因数分解できませんね。

簡単には固有値は求まりませんが、-λ^3+9λ^2+77λ-626=0は相異なる３実根を有します（このことをどのようにして判断するのかは、ご自分で考えて下さい）ので、対角化可能です。

No.3 回答者： killer_7 回答日時： 2007/01/28 22:21

対称行列ならば対角化可能です．

教科書を確認してください．

No.4 回答者： ojisan7 回答日時： 2007/01/29 09:29

すみません。

固有方程式だけを見ていました。よく見たら、実の対称行列ですよね。これは、直交行列で対角化可能です。

No.5 回答者： guuman 回答日時： 2007/01/29 10:21

定理

正規行列はユニタリ行列によって対角化可能である
正方行列が対角化可能であるならばその正方行列は正規行列である

定理
実対称行列は正規行列である

定理
実対称行列は直交行列によって対角化可能である
実正方行列が直交行列によって対角化可能ならばその行列は対称行列である

No.6 回答者： guuman 回答日時： 2007/01/30 08:08

書き間違い修正

「ユニタリ行列によって」が抜けていた！！

定理
ｎ次正方行列がｎ個の互いに独立な固有ベクトルを持つならばそのｎ次正方行列は対角化可能である
ｎ次正方行列が対角化可能ならばそのｎ次正方行列はｎ個の互いに独立な固有ベクトルを持つ

定理
正規行列はユニタリ行列によって対角化可能である
正方行列が「ユニタリ行列によって」対角化可能であるならばその正方行列は正規行列である

定理
実対称行列と実交代行列と直交行列とエルミート行列と歪エルミート行列とユニタリ行列は正規行列である
対称行列は正規行列とは限らない

定理
実対称行列は直交行列によって対角化可能である
実正方行列が直交行列によって対角化可能ならばその実正方行列は対称行列である