親子におすすめの新型プラネタリウムとは?

高1です。
空気中を落下する物体は、速さvまたはvの2乗に比例する抵抗力を受ける、と参考書に書いてあったのですが、
どんなときに1乗で、どんなときに2乗になるのかが書かれていません。
なので、それを教えてください。
お願いします。

A 回答 (2件)

速度が小さい場合は、空気抵抗は速度の1乗に比例します。


ある以上の速度(空気などの周囲の物質の粘性で変化します)を越えると、2乗比例の式に近づきます。
よほどゆっくり出ないと、1乗比例とはなりませんが。このへんの一乗2乗はあくまで近似的な物で。流体力学的な式は、もっと複雑になります。

この辺をどうぞ。
http://www.higashi-h.tym.ed.jp/course/kadai15/ma …
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空気抵抗について正確に論じるのはなかなかむずかしいですが、



おおざっぱにいうと、

速度が小さい場合は速度に比例し、

速度が大きい場合は速度の2乗に比例します。

速度が大きくなると、物体の後ろの空気の層が乱れて、抵抗の様子が違ってくるからです。

下のサイトは 高校生が物理の課題研究で発表したレポートです。 参考にしてください。

参考URL:http://www.higashi-h.tym.ed.jp/course/kadai15/ma …
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この回答へのお礼

ありがとうございました。、
速度の大小を決める絶対的な基準は存在しないということでしょうか。

お礼日時:2007/02/04 23:09

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Q空気抵抗の式について

空気抵抗は次式で求められるそうですが、なぜ2で除すのか理解できません。
      F=P*C*S*V^2/2
F:空気抵抗、P:空気密度、C:空気抵抗係数
S:投影面積、V:速度

私なりに考えますと、投影面積(S)に速度(V)をかけてさらに空気密度をかけることで移動した空気の質量が求られ(S*V*P)、その空気は毎秒静止状態から速度Vまで加速されるので加速度がVとなり、力は質量と加速度の積より空気の密度*加速度となり(P*S*V^2)、結局Fは空気抵抗係数を式に加えることで、
      F=P*C*S*V^2
となり、2で除する必要がない気がするのですが・・・
宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

 
 
>> 物体は1秒間にVm進み、気体のほうは1秒間に1/2Vm進む、つまり物体に追い越される。「物体が気体を追い越しながら気体を押す」という点が理解し難い。 <<

 (申し訳ありません!この質問忘れてましたご免なさい。)


 メートルとか秒という巨視的なスケールで考えずに、気流の微小体積部分が微小時間の間に‥とイメージしましょう。物理学全般の定石です。

 「追い越しながら加速」ができるのは、物体の固体摩擦と流体の粘性摩擦があるためです。お互いがこすれ合うだけで相手を加速/減速できますよね。 流体の中では 微細部分どうしもこすれ合ってます。だから物体の表面からもらった速度が 広い範囲に次々と分配されて広がって薄まってゆきます。

 No.4の回答も微小な速度変化のつもりで書きました。(巨視的なスケールで考えてしまうと、V は直線変化と限らないので係数が 1/2 である説明になりません。)
これの元ネタは 力学エネルギの定義 です; 力Fで動いた距離dxの積 Fdx がエネルギの定義、 微小距離 dx の間の速度変化は直線と見なされるので時間積分して距離を求めると係数 1/2 が登場する‥というやつです。 で、ベルヌーイの定理の式は エネルギ保存の法則の式 そのまんまですから 係数 1/2 も素のママで登場してます。それが空気抵抗の式にも引き継がれてる、、、という系図です。



 余談;
 空気抵抗は、速度の1乗で効く「粘性抵抗」と、速度の2乗で効く「慣性抵抗」があります。 どちらも運動量保存の法則によるものです。 前者は 流体が物体表面をなでて通る際に物体の運動量を分与され、それが流体分子同士のランダム衝突でバトンタッチされて物体表面からどんどんバケツリレー式に汲み出されてしまう現象です。 後者は 流体分子が物体と正面衝突して速度V に加速される際に物体側の運動量がモロに減る現象です。
 大胆(かつ不正確)に例えれば、槍のような棒が飛んでる場合、前者は棒の側面を空気がなでる抵抗、後者は棒の正面の面積が空気と正面衝突する抵抗です。
 後者の場合、あまりに急な衝突で 周辺とのやり取りが間に合わないと いわゆる「断熱圧縮」になって空気が高温になります。スペースシャトルで、その高温空気が機体の内部に侵入し、金属が熔けて空中分解に至って乗員が死亡した事故が有名です。(事故当時 「 超音速で空気とこすれたための摩擦による熱が原因 」 という報道説明がよくありました。クルマのブレーキ過熱などの日常経験からの演繹でしょうが、流体力学的に正しいのは粘性抵抗の方ではなく慣性抵抗。後者が圧倒的に大きいです。超音速ゆえ断熱圧縮になり物体先端に集中しました。)

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=908588
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=901153

 もし流体に摩擦が無かったら; 上記の「粘性抵抗」も「慣性抵抗」も「揚力」も起きません。
 
 

 
 
>> 物体は1秒間にVm進み、気体のほうは1秒間に1/2Vm進む、つまり物体に追い越される。「物体が気体を追い越しながら気体を押す」という点が理解し難い。 <<

 (申し訳ありません!この質問忘れてましたご免なさい。)


 メートルとか秒という巨視的なスケールで考えずに、気流の微小体積部分が微小時間の間に‥とイメージしましょう。物理学全般の定石です。

 「追い越しながら加速」ができるのは、物体の固体摩擦と流体の粘性摩擦があるためです。お互いがこすれ合うだけで相手を...続きを読む

Q速度の二乗に比例する抵抗をうける運動について

初速度v0を与え、抵抗しか受けない場合
mdv/dt=-cv^2
の運動方程式が出てくると思います。
これを解くと
v=mv0/(cv0t+m)
これを積分して、t=0のときx=0とすると
x=m/c{ln(cv0t+m)/m}
と出てきました。
t→∞としたときv→0まではいいのですが、x→∞になります。
vが0になるので、xはある値に収束すると思ったのですが、どこで間違ってるでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>つまり計算結果は間違っておらずv=0になるとき、xは∞という結果でよろしいということでしょうか

ん~、有限の時間でv=0にはならないので「v=0になるとき」なんてないのですが、気持ちとしてはそういうことですね。
もちろん、現実には慣性抵抗以外の抵抗も働くので、x→∞となる事はないでしょうが。

Q空気抵抗係数について

空気抵抗係数 λ (kg・s^2/m^4)  の実際の値を教えて下さい。色々と調べてみたのですがよく分かりません。標準状態での空気の場合、どの程度(kg・s^2/m^4)の空気抵抗係数になるのでしょうか。

宜しくお願いします。

Aベストアンサー

空気抵抗係数は、摩擦係数とか、損失係数という方が普通で、無次元量のはずです。流体が空気でも水でも、同じものです。ムーディ線図という線図が有名で、流体力学や気体力学、水力学の本には、必ず載っています。

参考URL:http://zgkw3.sd.kanagawa-it.ac.jp/jikken/jkna/kan.pdf

Q空気抵抗の比例定数

空気抵抗の影響は密度が小さいものの方が強く受けますか?ビニールボールを投げた時よりちゃんとしたボール(同じ大きさの)を投げた時の方が遠くに飛ぶ事などを考えていて、空気抵抗の影響を強く受けていると思ったのですが・・・

Aベストアンサー

 空気抵抗によって物体が受ける力は、物体の形状・大きさ・姿勢・表面の凹凸・空気の密度によって変わりますが、それらが同じだとすると速さの2乗に比例します。
 そこで、物体の形状・大きさ・姿勢・表面の凹凸がまったく同じで、密度だけ異なる2つの物体が空気中を同じ速さで運動しているとします。この場合、2つの物体の質量が異なります。
 しかし、この場合、空気抵抗は同じです。
 では、なぜ影響が異なるのでしょう。それは、空気抵抗によって生じる加速度の違いです。ニュートンの運動の法則により、力=質量×加速度です。空気抵抗は、運動の方向と逆ですから、運動の方向と逆向きの加速度が生じます。ブレーキがかかるわけです。この式によれば、同じ力なら、質量が小さいほど大きな加速度が生じます。つまり、質量が小さいほど、逆向きの加速度が大きいので、それだけ急激に速さが減るわけです。したがって、密度の大きい物体ほど、遠くに飛びます。

Q空気抵抗の計算

物を投げたり飛ばしたりしたときの、空気抵抗の大きさについて考えているのですが、僕は高校の物理IIくらいまでの知識しかなくてなかなか理解できません。
wikipediaの「抗力」の項目には、
(抗力)=(1/2)×(空気の密度)×(物体の速さの二乗)×(物体の代表面積)×(抗力係数)
というような内容書かれていて、
抗力係数は、レイノルズ数、マッハ数、迎え角によって変化するそうです。
そこで疑問に思ったこがあるので質問をさせてください。
流体力学の教科書によるとレイノルズ数には流体の密度や流体の速度が含まれているのですが 
空気抵抗は結局どういった式であらわされるのでしょうか。(レイノルズ数などをわかりやすい形になるようにした式でお願いします) また、物体の速度は何とかわかっても、流体の速度はとても計測できそうにないのですが現実で計算することはできないのでしょうか。

最後に、抗力とよく似た式で揚力というものがあるそうです。抗力が小さくなれば揚力も小さくなってしまうと思うのですが、できるだけ遠くに物を投げたかったらどのように計算すればよいのでしょうか。


流体力学については全くと言っていいほど知識がないため、もし意味の分からないことを言っていたらすみません。

物を投げたり飛ばしたりしたときの、空気抵抗の大きさについて考えているのですが、僕は高校の物理IIくらいまでの知識しかなくてなかなか理解できません。
wikipediaの「抗力」の項目には、
(抗力)=(1/2)×(空気の密度)×(物体の速さの二乗)×(物体の代表面積)×(抗力係数)
というような内容書かれていて、
抗力係数は、レイノルズ数、マッハ数、迎え角によって変化するそうです。
そこで疑問に思ったこがあるので質問をさせてください。
流体力学の教科書によるとレイノルズ数には流体の密度や流体の...続きを読む

Aベストアンサー

抵抗を受ける物体の速さによって、
2種類の抵抗が考えられます。

粘性抵抗(速さに比例)
比較的低速の場合、物体が表面付近の流体を
引きずるために生じる抵抗です。
流体の粘度×速度勾配×物体の表面積
に比例します。
半径rの球状の物体が粘度ηの流体中を速さvで
進むときの粘性抵抗は 6πηrv になります。
(ストークスの法則)

慣性抵抗(速さの2乗に比例)
物体の速さが大きくなると、物体の周りで流れが
滑らかにはならず、物体の後ろに渦ができるように
なります。このとき渦のある物体後部に比べて、
前部の圧力は(1/2)ρv^2だけ大きくなります。
ρは流体の密度です。この進行方向と逆向きの力が
慣性抵抗で、物体の断面積をAとすると大きさは
(1/2)Cρv^2A となります。Cは0.5~1の定数です。

また、抗力と揚力は別の力で、物体の進行方向と
逆向きに働くのが抗力で、進行方向と垂直に働くのが
揚力です。平らな物体を少し前上がりにして投げると、
上向きの揚力が発生します。球体では回転が無ければ
揚力は0です。
参考までに、砲丸投げ(7.2kg)の世界記録は23mで、
円盤投げ(2kg)の世界記録は74mです。
揚力の大きさは速さの2乗に比例して(1/2)C_Lρv^2S
です。ここでC_Lは揚力係数、Sは物体の代表面積です。
C_Lは迎角や物体の形状によって変化します。

抵抗を受ける物体の速さによって、
2種類の抵抗が考えられます。

粘性抵抗(速さに比例)
比較的低速の場合、物体が表面付近の流体を
引きずるために生じる抵抗です。
流体の粘度×速度勾配×物体の表面積
に比例します。
半径rの球状の物体が粘度ηの流体中を速さvで
進むときの粘性抵抗は 6πηrv になります。
(ストークスの法則)

慣性抵抗(速さの2乗に比例)
物体の速さが大きくなると、物体の周りで流れが
滑らかにはならず、物体の後ろに渦ができるように
なります。このとき渦のある物体後部に比べて、...続きを読む

Q空気抵抗がかかるときの落下運動

空気抵抗がかかるときの落下運動、もしくは放物運動に
関しての質問です。

抵抗力が速度に比例する場合は、変数分離法を用いて微分
方程式を解くことができるのですが、
抵抗力が速度の2乗に比例する場合の微分方程式が解けませ
ん。具体的には次の式です。

ma = -kv^2 + mg
a:加速度 v:速度

この式の解法をよろしくお願いします。

Aベストアンサー

変形分離法でも出来ると思います。

mv' = mg - kv^2
m(dv/dt) = mg - kv^2
{1/(mg - kv^2)}dv = (1/m)dt
∫{1/(mg - kv^2)}dv = ∫(1/m)dt

左辺は部分分数分解を使って、積分すると、

log[{(√mg) + v(√k)} / {(√mg) - v(√k)}] = t/m + C (Cは積分定数)

これをvについて解くと、

v = (√mg/k)[(-1 + Aexp{2(√kg/m)t) / (1 + Aexp{2(√kg/m)t})] (A = exp(C))

となります。あとは初速度などの条件を入れて、Aを求めればvが求まります。
ちょっと積分の計算は自信がありませんので、答えは自分で求めてみてください。
こんなんでよろしいでしょうか?あまり得意な方でないので自信がありませんが…。

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q空気抵抗について

空気抵抗について、自分なりに調べたのですが分からない所があるので教えてください。

空気抵抗 Fair=CD*A*(pU^2/2) で表せるそうですが
質問1:この式から得られる値の次元は何になるのでしょうか。

CD=抗力係数、A[m^2]=前面投影面積、p[kg/m^3]=空気密度、U[m/s]=速度
空気密度は28度C、一気圧下では1.17kg/m^3くらいみたいです。

質問:2 時速100km/hで走っている車が受ける空気抵抗の値を上の式で求められたとして
この車が慣性走行(空気抵抗以外の抵抗、摩擦を無視)をする時に、空気抵抗によって落ちる速度の求め方を教えてください。

CD値は0.3と設定します。
ちなみに学校の宿題ではありません。宜しくお願いします。

Aベストアンサー

 
 
1.
>> Foは(N) <<

 です。kgw(昔の単位)は忘れ去りましょう。混乱するだけです。

>> MVoとは(質量*N) <<

 M は車体の質量で、単位はkg、Vo は 100km/h です、計算はすべて キログラム、メートル、秒にそろえてお願いします。時速100kmは、
  100×1000メートル÷(60×60秒) = 27.77m/s
です。



2.
 式をチェックしてみます。
車体質量を M、100km/h を Vo、時間を t(秒)、力走から惰走に入った瞬間をt=0、それ以後しだいに遅くなる速度を V、と書きます。
 それから、
空力の式 Cd(1/2)ρAV^2 は長ったらしいので、変化しないCd,ρ,Aなどをまとめて K と書いて、
  Cd(1/2)ρAV^2 = KV^2  …(1)
と書きます。
そして
「時速100km/hで走っている車が受ける空気抵抗の値を上の式で求められたとして」
この空力 ( くうりき、空気抵抗による力を短くこう書きます)を Fo と書きます。
これらの記号を使えば「…」の中は
「時速100kmで走ってるときの、
   Fo = kVo^2   …(2)
 が分ってるものとして、」 ということですよね。

一般に 運動方程式 というものは
  全ての力の合計 = 0
という式です。全てこうです。
今の場合は、

  車を進める力+空力+加減速での慣性力 = 0  …(3)

慣性力とは 質量×加速度 ってやつの正式名です。(3)式は 100km/h のときは
  Fo+KVo^2+MdV/dt = 0  …(4)
ですが、
速度(100km/h)で走れば、速度変化 dV/dt=加速度 がゼロだから、
  Fo+KVo^2 = 0   …(5)
です。

 で、
力走から惰走に移ると (3)式の推力がゼロになって、空力で減速されっぱなしだから dV/dt がゼロではなくなって、
  0+KV^2+MdV/dt = 0
書きかえると
  KV^2 = -MdV/dt  …(6)

 ここからは 数学の微積分の公式 を使ってしまいましょう、それらの本にある「こうやるんだ」という定石にしたがって、変数を分離します。
  (K/M)dt = -dV/V^2 = -(V^-2)dV
これで両辺とも積分できて、
  (K/M) t = -(-1/V)+積分定数C = 1/V+C
で、
力走から惰走に移った瞬間すなわち t=0 のとき V=Vo だから、これを上式に入れると
  C = -1/Vo
となります。つまり、
  (K/M) t = 1/V-1/Vo
移項して
  1/V = (K/M)t+1/Vo    …(9)
左右とも上下ひっくり返すと
  V = 1/{ (K/M)t+1/Vo }
右辺の上下にVoを掛けると
  V = Vo/{ 1+(KVo/M)t }  …(10)
さらに、
分母の(…)の中の上下にVoを掛けると、KVo^2 は Fo だから、

  V = Vo/{ 1+(Fo/MVo) t }  …(11)

となるんで、式は合ってました。



3.
 余談;
上記の(9)~(11)のどれでも「自分のクルマのCdを知りたい」という場合に使えますね。どの式も見た目が違うだけで同じだから 例えば(9)式を変形して
  (K/M) t = 1/V-1/Vo
  K = (1/V-1/Vo)/(Mt)  …(12)
で、自作の回転計とディジタル時計をビデオに同時に写し込んで、t と Vo と V を測定すれば K が計算できます。で、(1)式から
  Cd = 2×(12)式 / (ρA)  …(13)
と。
ρは気温から計算、Aはデジカメ画像から。
厳密ではないですがけっこう遊べるようですね。厳密でないというのは走行系の機械損失や空気の粘性による空力を無視してることなどです。好きな人は強風時の向かい風を往復した測定から機械損失を出したりしますね。


 なお、分数の分子分母に同じものを掛けるけど、約分すれば掛ける前と変わらないんだから、掛けても変わらない。 というテクを使ってます。数式いじりに慣れてないとこの辺がワケワカの原因だったりするんで参考までに。
 
 

 
 
1.
>> Foは(N) <<

 です。kgw(昔の単位)は忘れ去りましょう。混乱するだけです。

>> MVoとは(質量*N) <<

 M は車体の質量で、単位はkg、Vo は 100km/h です、計算はすべて キログラム、メートル、秒にそろえてお願いします。時速100kmは、
  100×1000メートル÷(60×60秒) = 27.77m/s
です。



2.
 式をチェックしてみます。
車体質量を M、100km/h を Vo、時間を t(秒)、力走から惰走に入った瞬間をt=0、それ以後しだいに遅くなる速度を V、と書きます。
 それから、
空...続きを読む

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Qかなり低レベルなこと聞くようですがお願いします(抵抗力)

抵抗力が速度に比例するときと速度の2乗に比例するときって、それぞれどういうときに使い分けるんですか?
あと、雨粒の大きいのと小さいのでは大きいほうが速く落ちるとのことですが、重力は直径の3乗に比例(体積に比例)し、抵抗力は直径の2乗に比例(表面積に比例)するため、大きければ大きいほど重力のほうがきいてくるため速く落ちると聞きました。これも最初の質問と同じで、抵抗力の表面積を考慮にいれるときといれないときというのはどう使い分けるんですか?
(抵抗力=-CVでは表面積は関係ありませんよね?)
そもそも重力って直径の3乗に比例するんでしたっけ?

どなたかお願いします。

Aベストアンサー

 
 
>> 抵抗力が速度に比例するときと速度の2乗に比例するとき、それぞれどういう使い分け <<

 まずこの図で「1乗の式だけで済むのはかなり低速のときだけ」、「高速では2乗が圧倒的」、「しかしその中間は両方とも必要そうだ」、とイメージをとらえてください。
http://cgi.2chan.net/m/futaba.php?res=23464
(図をクリックすれば拡大します)

 下記は両方とも使った回答例です。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=901153
 途中までしか解いてませんが V = の形に変形してください。指数関数の前に付く係数が最終スピードです。それに球の場合の質量や面積を入れてみれば、ほぼ 求めてることの答が見えると思います。


 御存知と思いますが、1乗や2乗の項は 近似式でしかありません。それぞれ 粘性による空気抵抗、慣性による空気抵抗、の近似式です。 前者は 流れが物体の表面をなでて通る際に 空気分子同士がランダムに衝突して物体からの運動量を持ち去られる現象、 後者は 物体が空気分子と正面衝突して速度Vに加速する(圧縮で圧力が上がる)際に運動量を持ち去られる現象です。
 大胆に例えれば、槍のような棒が飛んでる場合、前者は棒の側面を気流がなでる抵抗、後者は棒の正面の面積が気流と正面衝突する抵抗です。


>> (抵抗力=-CVでは表面積は関係ありませんよね?)<<

 こうお考えください;棒と空気の立場を入れ替えて パイプの中を気流が通る場合を。長いほど抵抗が大きいのは 水道ホースの長さと水の勢いで実感されてると思いますが。


>> そもそも重力って直径の3乗に比例するんでしたっけ? <<

 です。球ならば 体積計算の式 そのままです。

 
 
 質問がありましたら追加請求してください。

参考URL:http://cgi.2chan.net/m/futaba.php?res=23464,http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=901153

 
 
>> 抵抗力が速度に比例するときと速度の2乗に比例するとき、それぞれどういう使い分け <<

 まずこの図で「1乗の式だけで済むのはかなり低速のときだけ」、「高速では2乗が圧倒的」、「しかしその中間は両方とも必要そうだ」、とイメージをとらえてください。
http://cgi.2chan.net/m/futaba.php?res=23464
(図をクリックすれば拡大します)

 下記は両方とも使った回答例です。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=901153
 途中までしか解いてませんが V = の形に変形してください...続きを読む


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