博士の愛した数式

映画でも話題になったオイラーの公式ありますよね。

　　e＾（iπ）＋1＝０

　e＾(x)をマクローリン展開して形式的にX=iθを代入して

　e＾（iθ）＝cosθ＋isinθ　→　e＾（iπ）＝-1

となるのはわかりますが、それは本質的な理解にはなりませんよね？

　そもそもe＾(i)はどう定義し、考えればいいのかわかりません。

　なにか、スッキリしないのでお分かりの方いればお願いします。
　　
　

No.2 ベストアンサー 回答者： zk43 回答日時： 2007/02/06 22:54

これは複素関数論を少しは勉強しないと、なんだかインチキ臭く見えるでしょうね。

実関数では、
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-…
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-…
e^x=1+x+x^2/2!+…
とテイラー展開されます。
これを利用して、xを複素数zとして、
cosz=1-z^2/2!+z^4/4!-…
sinz=z-z^3/3!+z^5/5!-…
e^z=1+z+z^2/2!+…
として、三角関数、指数関数を複素関数として定義します。
（本によっては別の定義から入る場合もあるかも知れません）
右辺のzを含む各項はzに関する四則演算のため計算でき、また任意の
複素数に対して収束することも示せます。
なお、複素関数にすると、cosもsinも値は[-1,1]にとどまらず、あらゆる複素数の値をとりえます。
（定義域を実数に限定すると値域は[-1,1]になる。）

上の式で、z=xi（xは実数）とすると、e^xi=cosx+i・sinxと計算されます。
x=πとすれば、e^πi=cosπ+i・sinπ=-1
x=1とすれば、e^i=cos1+i・sin1

また、e^(z1+z2)=e^z1・e^z2となることも計算で確認できます。
なので、z=x+iy（x,yは実数）とすると、
e^z=e^(x+iy)=e^x・e^iy=e^x・(cosy+i・siny)
となって、複素関数としての指数関数はzを、e^xを原点を中心としてyだけ回転する写像と見ることができます。したがって、虚軸方向に2πの周期を持つ周期関数です。

大まかな流れはこんな感じです。

オイラーの議論も厳密ではない部分もあるらしく、結構自由な計算をしているようです。でも、あとから厳密に吟味するとほとんどが正しいそうです。

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2007/02/06 03:21

＞ e＾(x)をマクローリン展開して形式的にX=iθを代入して…

解析接続という概念を勉強すると、実は、これこそが本質的な理解であることがわかります。