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極限の最初の所で行き詰って困っています。

lim[n→∞]an=a,lim[n→∞]bn=bの時

lim[n→∞]an/bn=a/bの証明についてです。

証明
(lim[n→∞]an・bn=abを証明済みという前提で)・・・※
※より、lim(1/bn)=1/bを証明すれば十分。
|1/bnー1/b|=|bnーb|/(|bn||b|)
b≠0だから∃N´;|bn|≧|b|/2 (n≧N´)・・・※※
また、∀ε>0,∃N;|bnーb|<ε (n≧N)
よって
|1/bnー1/b|=|bnーb|/(|bn||b|)<2ε/|b|^2 (n≧max(N,N´))

分からないのは※※の部分
|bn|≧|b|/2の式で、この式がどこから出てきたのかが分かりません。
分かる方、よろしくお願いします。

gooドクター

A 回答 (4件)

bn→bということは|bn|→|b|なので、任意のε>0に対してnを十分


大きく取れば、|b|-ε≦|bn|≦|b|+εになりますね。
(nを十分大きく取れば|bn|は|b|のε近傍に入る。別に=をつけても
つけなくてもよいです)
εは任意なので、特別にε=|b|/2と取れば|b|/2≦|bn|≦3|b|/2
になります。別に|b|/2でなくても、|b|/3でも|b|/4でもよく、
0から|b|の間の正の数なら何でもよいのです。
|b|/2を採用したのは、式がきれいになるようにするためだと思います。
数直線上で点を打って考えて見れば、良くわかると思います。
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この回答へのお礼

しばらく自分で考えていまして、御礼が遅くなってしまってすみません。

>|b|-ε≦|bn|≦|b|+εになりますね

これは
∀ε>0,∃N;||bn|-|b||<ε (n>N)
から来ているのですね。
だんだん分かってきました。

どうもありがとうございました。

お礼日時:2007/02/25 22:08

>「b と b_n はどんどん近づくから、ついには正数 |b|/2 よりも近づくだろうと」


>このことを使うのに多少の抵抗感を感じてしまいます。
きっと無意識の内に | 1/b - 1/b_n | の評価が {b_n} の極限値 b とは「無関係に」収まって欲しいという欲求があるのでしょう。

しかし、この証明の議論からわかるように、おおまかに言って、極限値 b が 0 に近ければ近いほど、| 1/b - 1/b_n | が 0 に近付くのに要する n はどんどん大きくなるということです。

これはグラフ y = 1/x を考えて、x 軸上に {b_n}をプロットすることを想像すればわかりやすいでしょう。
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この回答へのお礼

御礼が遅れてしまってすみません。

なるほど、グラフを使って考えるのですね。

まだちょっとしっくり来ない部分もあるのですが、
もう少しよく一人で考えてみます。

この度はどうもありがとうございました。

お礼日時:2007/02/25 22:12

>よって


>|1/bnー1/b|=|bnーb|/(|bn||b|)<2ε/|b|^2 (n≧max(N,N´))

は中途半端です。これではなぜ
|bn|≧|b|/2 なのかが、理解しにくいでしょう。

最後のところを
∀ε>0,∃N;|1/bnー1/b|<ε(n≧N)
と導きたいわけですから
|bnーb|<ε (n≧N)のところも
|bnーb|<ε(|b|^2)/2(n≧N)
としておけばよいですね。
それと|bn|≧|b|/2とすることによって
最後がきれいに
<ε とおさまります。

ただし確かにそれぞれで抑えられるということの理解はは大丈夫でしょうね。
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この回答へのお礼

御礼が遅れてすみません。

しばらく考えていたのですが、
このような直観的に明らかなことを証明する時、何を前提としてよいかが分からなかったようなきがします。

私なりに考えたのは
前提条件として
∀ε>0,∃N;|bnーb|<ε (n≧N)
より
-ε<bn-b<ε
b-ε<bn<b+ε
|b-ε|<|bn|<|b+ε|
でεをb/2と置いたと考えてみました。

慣れればもう少し自然に考えられると思います。

この度はどうもありがとうございました。

お礼日時:2007/02/25 22:02

|b_n| ≧ |b| - |b - b_n| から



b と b_n はどんどん近づくから、ついには正数 |b|/2 よりも近づくだろうと。
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この回答へのお礼

回答どうもありがとうございます。

2という数字に特に意味はないということでしょうか・・・。
直観的には当たり前の事の証明なので、

「b と b_n はどんどん近づくから、ついには正数 |b|/2 よりも近づくだろうと」

このことを使うのに多少の抵抗感を感じてしまいます。

お礼日時:2007/02/07 20:52

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