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すごくシンプルな質問なんですが、0*∞はなぜ0ではなく、不定形なのでしょうか。無理かもしれませんが、厳密な証明などではなく、感覚的なものを日本語で教えていただけるとうれしいです。

A 回答 (3件)

感覚的でいいということであれば、


「0」は実際には0ではなくて0に限りなく近づくという状態です。
例えば、x→∞のとき
    x → ∞ (1/x → 0)
    logx → ∞(1/logx → 0)
ですが、(logx)/x が0*∞の状態になります。
この場合はlogxよりもxの方が大きくなるのが速いので、0になります。
(logxが大きくなるよりも、1/xの方がより小さくなる)

x/(logx)も0*∞ですが、logxよりもxの方が大きくなるのが速いので、
この場合は∞となり発散します。
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この回答へのお礼

わかりやすい例をありがとうございます。例はグラフを考えればすぐわかりますよね。

「0」は実際には0ではなくて0に限りなく近づくという状態です。とあり、これで「0*∞=不定形」ということはわかりましたが、「0に限りなく近づくという状態」というのは極限の分野に限っていえることなのでしょうか?

お礼日時:2007/02/12 15:17

0*∞は極限値が0と∞ということです。



これが、一つに決まらないということです。

たとえば、an=1/nとbn=nという二つの数列を考えると、
n→∞とするとき、それぞれの数列の極限はan→0、bn→∞ですが、
an×bn=1なので、an×bn→1です。

他に、an=2/n、bn=nとすると、an→0、bn→∞ですが、
an×bn=2なので、an×bn→2です。

他にも無数に例はありますが、0に収束するものと、無限大に発散する
ものを掛けたものの極限値は、場合によって何にでも値をとりうる、
あるいは発散する場合もあるので、1つに定まらないという意味で
不定形と言っているものと思います。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2007/02/12 15:29

全くの普通人ですので、感覚で答えます。


0は無です。無に形は有りません。形の無いものをどれだけ何倍(拡大)しても形が無い。形が無い以上不定形と言うしかないのでは。ダメですか。
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