お酒好きのおしりトラブル対策とは

共分散について教えていただきたいのですが、
互いに独立の確率変数x、yがある場合、
共分散が0になることはどうすれば証明できるのでしょうか?

よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

kumav113さんの考えている共分散の定義を書かれていないので,


一般的と思われる定義でやりますが,いずれにせよ
XとYとが互いに独立 <=> E(XY)=E(X)E(Y) (E(X)はXの期待値)
であることを用いればできるはずです.

確率変数X, Yに対して,共分散Cov(X, Y)を
  Cov(X, Y) = E((X-E(X))(Y-E(Y)))
と定義すると,

XとYとが互いに独立 <=> E(XY)=E(X)E(Y)
ならば,
Cov(X, Y)
= E((X-E(X))(Y-E(Y)))
= E(XY) - E(E(X)Y) - E(E(Y)X) + E(E(X)E(Y))
= E(X)E(Y) - E(X)E(Y) - E(Y)E(X) + E(X)E(Y)
= 0.

E(E(X)Y) = E(X)E(Y)などはよいですね.
逆は成り立たない(共分散が0であっても,互いに独立とは限らない)ことに注意する.
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この回答へのお礼

良く理解できました。感謝します。
ありがとうございました。

お礼日時:2007/02/13 22:21

回答がないので・・・ちょっと



xの平均をE(x)=μx、yの平均をE(y)=μy、x,yの共分散をC(x,y)
と表わす。

共分散の定義と、x,yが独立なことから、
C(x,y)=E((x-μx)(y-μy))=E(x-μx)・E(y-μy)
=(E(x)-μx)(E(y)-μy)=(μx-μx)(μy-μy)=0×0=0

また、一般に
C(x,y)=E(xy)-E(x)E(y)
と変形できるので、x,yが独立なら
C(x,y)=E(x)E(y)-E(x)E(y)=0

ほとんど定義からすぐわかります。
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この回答へのお礼

良く理解できました。感謝します。
ありがとうございました。

お礼日時:2007/02/13 22:21

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Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q確率変数が独立であることの証明

「3つの確率変数 x1,x2,x3 が独立 ⇒ u=x1+x2 と x3 は独立 」

という直感的には明らかな事実を厳密に証明したいのですが、
以下の証明で日本語表現も含めておかしな点はあるでしょうか?

(証明)
x1,x2,x3は独立なので、同時確率密度関数 P(x1,x2,x3) は
それぞれの密度関数の積で以下のように表される。

P(x1,x2,x3)=Q(x1)・R(x2)・S(x3)  (※)

ここで、u=x1+x2 とし、uとx3の同時確率密度関数を φ(u,x3) とするとφ(u,x3)は(※)の式においてx1とx2の和がuになる組み合わせの確率の合計となる。
よって、

φ(u,x3)=∫[-∞~+∞]Q(u-t)R(t)S(x3)dt

=∫[-∞~+∞]Q(u-t)R(t)dt・S(x3) となる。

これは、φ(u,x3)がuの関数と、x3の関数の積となることを示しており、
uとx3が独立であることが示された。
                            証明終

よろしくお願いします。



 

「3つの確率変数 x1,x2,x3 が独立 ⇒ u=x1+x2 と x3 は独立 」

という直感的には明らかな事実を厳密に証明したいのですが、
以下の証明で日本語表現も含めておかしな点はあるでしょうか?

(証明)
x1,x2,x3は独立なので、同時確率密度関数 P(x1,x2,x3) は
それぞれの密度関数の積で以下のように表される。

P(x1,x2,x3)=Q(x1)・R(x2)・S(x3)  (※)

ここで、u=x1+x2 とし、uとx3の同時確率密度関数を φ(u,x3) とするとφ(u,x3)は(※)の式においてx1とx2の和がuになる組み合わせの確率の合計とな...続きを読む

Aベストアンサー

ヨイと思います。

Qデータが i.i.d であるとはどういう意味を持つ?

まず,i.i.d についての自分の理解が正しいか確認させてください。
(この時点で理解を誤っている可能性もあるので。)
i.i.d は,独立に同一の確率分布に従うということなので,ある n個のデータ{X1,・・・,Xn}がi.i.d であるとは,
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各Xiは,その他のXj(i≠j)からの影響を受けない(独立である)。
これらが満たされるとき,i.i.d である。
この理解でいいでしょうか?

また,重回帰においては,以下の資料の3ページに書かれているように
(http://www.econ.hit-u.ac.jp/~bessho/lecture/06/econome/060524MOLS2.pdf)
X,Yは,i.i.d である必要があるといわれていますが,なぜ,i.i.d でなくてはならないのでしょうか?
i.i.d である場合とそうでない場合とで何が違うのでしょうか?

Aベストアンサー

i.i.d.の定義についてはそれでいいのでは。
http://en.wikipedia.org/wiki/Independent_and_identically-distributed_random_variables

後半について。
別に、i.i.d.でなくても、形式的に回帰を考えることは可能ですが。
もともと、回帰を考えるのは、
ある集団があるとして、そいつらの、平均的な性質を知りたいからでしょう。
とすれば、
・「独立であること」はつまり、考えている集団からサンプルを偏りなく選んだ、ということです。世論調査するときに、特定の年齢層ばかり集めてくれば(サンプルの間に相関がある)、でてきた結果もおかしいでしょう。
・「同分布であること」は、そもそも、サンプルを考えている集団からとってきた、てことです。日本の世論調査をしているときに、アメリカ人に聞いたらダメでしょう。

Q標本分散と不偏分散の使い分けについて。

標本分散と不偏分散の使い分けについて。

私はメーカーに勤めており、電子部品のばらつきなどでよく標準偏差σを目にします。
自分で少し調べてみると標準偏差にも標本分散を使うときと不偏分散を使うときがあることを知ったのですが、説明が難しくどのように使い分けていいのか分かりません。

標本分散と不偏分散はどのように使い分ければいいのでしょうか。
例えば電子部品の性能や実験データのばらつきにはどちらが使われているのでしょうか?

ご存知の方、教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

 母集団から全ての標本を抽出して得た、すなわち、全てのデータを使った分散を標本分散、というようです。しかし、標本分散の文字から、抽出した標本の分散という意味から、不偏分散の意味でも使う(私もそうでした)こともあり、標本分散がどちらなのか、混乱しています。質問者も標本分散をこの意味で使っていると想います。

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 すなわち、全数検査(文字通り全数、一つ欠けてもダメ)なら標本分散(この用語は混乱を招くので、私は使いませんが)、抜き取りなら不偏分散を利用しています。

Q期待値と平均

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どちらも同じ意味なのに、なぜ使い分けるのですか?
どのようにして使い分けるのですか?

解答をよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

「期待値」と言えば、意味は明確ですが。
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正確には「○○平均」と書かねばならないところを、文脈上通じそうなら、
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期待値とは、正確には「確率による加重(算術)平均」のことですね。

No.4 さんの例
> 確率1/3で10になり
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(1/3)10+(2/3)20 でしょうが、実は、単純平均 (10+20)/2 のつもりだった
というオチが隠れていないとは言いきれないのです。(天邪鬼ですが。)

数学用語は正確に使ったほうがいい。「期待値」がオススメです。

Qカイ2乗検定って何??;;

タイトルのとおりですが…大学で統計の基礎な授業を一般教養で受けています。だけど知らない&説明のない言葉がいっぱぃで、全くついていけません(>_<))
「人が一番選ばなさそうな数字」を何度か投票した結果があって、その数字は無作為に選ばれてるかどうか、有意水準1%としてカイ2乗検定をして判断する、という問題があるのですが、カイ2乗検定自体、授業でちらっと言葉は使ったものの、計算の仕方、使い方の説明等はなく、まったく手がつかずにいます;;ネットでも調べてみましたが、どう使っていいのかまでは分かりませんでした。
知識の無い私でもわかるようなものがあれば教えて下さいっっ!お願いします。

Aベストアンサー

こんにちは.χ2(カイ二乗)検定を厳密に理解するには,数学的素養を持っている状態できっちりと統計学を学習する必要があるのですが,統計データを解析するための手段として統計学を「使う」のであれば,多少の原理を知っておけばよいでしょう.
以下初学者向けにかなり乱暴な説明をしています.正確な理解をしたければ,後で統計学の教科書などで独学して下さい.

χ2検定とは,χ2分布という確率分布を使ったデータ解析法と考えてもらう……のが一番なのですが,多分χ2分布って何? と思われるでしょう.χ2分布とは,二乗値に関する確率分布と考えることができるのですが,この辺もさらりと流して下さい.

例を使って説明します.今,道行く人にA,B,C,Dの四枚のカードの中から好きなもの一枚を選んでもらうとしましょう(ただし,選んでもらうだけで,あげるわけではありません.単にどのカードを選択仕方の情報を得るだけです).一人一枚だけの条件で,160人にカードを選んでもらいました.
さて,ここで考えてみて下さい.4枚のカードには大きな違いはなく,どれを選んでもかまわない.でたらめに選ぶとなれば,どのカードも1/4で,同じ確率で,選ばれるはずですよね? ならば,160人データならば,Aは何枚ほど選ばれる「はず」でしょうか? 同様に,B,C,Dは何枚選ばれる「はず」でしょうか?
……当然,A=B=C=D=40枚の「はず」ですよね? この40枚という数値はでたらめに(無作為に)選ばれたとしたらどんな数値になるかの【理論値】を意味します.

さて,上記はあくまでも理論値であり,実際のデータは異なる可能性があります.というよりはむしろ違っているのがふつうでしょう.そのような実際に観測された数値を【観測値】と呼びます.
仮に理論値と観測値が以下のようになったとします.

        A    B    C    D
(1)観測値   72   23   16   49
(2)理論値   40   40   40   40

当然のように観測値と理論値にズレが生じています.しかし現実と理論が異なるのはある意味当然なのですからぴったり一致することなどありえません.そこで,「ある程度一致しているか(ズレは許容範囲か)」を問題にすることになります.しかし,「ある程度」といわれても一体どのぐらいであれば「ある程度」と言えるのでしょうか? なかなか判断が難しいではないですか?
確かに判断が難しいです.そこで,この判断のために統計学の力を借りて判断するわけで,更に言えばこのような目的(理論値と観測値のズレが許容範囲かどうか)を検討するときに使われるデータ解析法がχ2検定なのです.

        A    B    C    D
(1)観測値   72   23   16   49
(2)理論値   40   40   40   40
(3)ズレ    +32   -17   -14   + 9
(4)ズレ二乗 1024   289   196   81
(5)(4)÷(2) 25.6  7.225  4.9  2.025

 χ2=25.6+7.225+4.9+2.025=49.25

計算過程をさらりと書いていますが,早い話が観測値と理論値のズレの大きさはいくらになるのか,を求めることになります.最終的には「49.25」というズレ値が算出されました.

さて,この「49.25」というズレ値が許容範囲かどうかの判定をするのですが,ここで,χ2分布という確率分布を使うことになります.詳細は統計学教科書を参考してもらうとして,χ2分布を使うと,○○というズレ値が(ある条件では)どのぐらい珍しいことなのか,という「珍しさの確率」を教えてくれます.
かりに「有意水準1%=1%よりも小さい確率で発生することはすごく珍しいと考える(許容範囲と考えられない)」とすれば,「珍しさ確率」が1%以内であれば「許容範囲ではない」と判断します.

以上,長々と書きました.今までの説明を読めばわかるように,χ2検定とはある理論値を想定した時,実際の観測値がその理論値とほぼ一致しているかどうかを調べるための統計解析法のことです.

χ2検定では,理論値をどのように設定するかは分析者の自由です.その設定の仕方で,χ2検定は「適合度の検定」や「独立性の検定」など異なる名称が付与されますが,本質は同じなのです.

質問者さんの場合は

> 「人が一番選ばなさそうな数字」を何度か投票した結果があって、その数字は無作為に選ばれてるかどうか、

これを理論値としてうまく設定することが鍵となるでしょう.

こんにちは.χ2(カイ二乗)検定を厳密に理解するには,数学的素養を持っている状態できっちりと統計学を学習する必要があるのですが,統計データを解析するための手段として統計学を「使う」のであれば,多少の原理を知っておけばよいでしょう.
以下初学者向けにかなり乱暴な説明をしています.正確な理解をしたければ,後で統計学の教科書などで独学して下さい.

χ2検定とは,χ2分布という確率分布を使ったデータ解析法と考えてもらう……のが一番なのですが,多分χ2分布って何? と思われるでしょう.χ2分布...続きを読む

Q金利が上昇すると、債券価格は下落するのはなぜですか?

金利が上昇すると、債券価格は下落するのはなぜですか??

この場合の「金利」って何を指すのでしょうか?教えて下さい。

後、下のようなケースが理解できません。よければこちらも教えて下さい。
下にある金利が何を指すのかも教えて下さい。

【Q】
2005年1月1日に、表面利率1%、額面100万円の10年満期の国債が発行されました。
あなたは、それを100万円で購入します。
その後金利が上昇し、
2006年1月1日に、表面利率2%、額面100万円の10年満期の国債が発行されました。
さて、あなたの持っている2005年債は一体いくらで売却できるでしょうか?
大切なのは、答えの絶対値ではなく、その算出の仕方にあります。
だから答えを先に書いてしまいましょう。およそ918,378円です。
金利が上昇した結果、債券価格は下落したとこになります。
その理屈と計算方法を答えてください。



よろしくお願いします^-^

Aベストアンサー

証券マンです。このような質問をよくお客様から受けます。だいたいの場合、疑問の理由は「金利」「利率」「利回り」の意味合いを把握されていないことから来るようです。

>この場合の「金利」って何を指すのでしょうか?
↑一般的には長期金利や短期金利、公定歩合などでしょう。

>金利が上昇すると、債券価格は下落するのはなぜですか??
↑理解しやすくするためにものすごく簡略化して書きます。
今の公定歩合が0.5%とします。利率が0.5%だと並と考えられる時代とします。ところが明日から公定歩合を5%に引き上げになるとします。すると明日以降に発行される債券は利率5%が並になる、と考えれば、今日までに発行されていた0.5%の債券を売却して明日以後発行になる5%の債券を求める動きが出るでしょう。
したがって、「金利が上昇すると、(今までの)債券は売られて価格が下落」します。金利下落時は逆です。

>【Q】
利率1%、残存9年の債券がある。今の長期金利は2%である。
これが50円ならあなた買いますか?普通買いますよね。なぜ? だって9年で値上がり分の50円と利息9年分9円の合計59円が入るから。50円の投資で9年かけて59円手に入るんだから。すごい効率ですよね。
じゃ60円なら買い?80円なら?95円なら?
これの損益分岐点を求めたものが回答です。利回り計算をすればいいんです。

〔{1+(100-x)/9}/x〕*100 =2
参考URL(最終利回り)をご覧ください。

この式の分子に来ているのは、結局「今後1年あたりどれだけの収入があるか」ってことです。
(毎年決まった利息)プラス(償還までの差益・差損の1年当たり分の合計)ですから。
(それをいくらの投資によって得られるか)が分母(購入価格)です。

参考URL:http://www.daiwa.co.jp/ja/study/knowledge/bond02.html

証券マンです。このような質問をよくお客様から受けます。だいたいの場合、疑問の理由は「金利」「利率」「利回り」の意味合いを把握されていないことから来るようです。

>この場合の「金利」って何を指すのでしょうか?
↑一般的には長期金利や短期金利、公定歩合などでしょう。

>金利が上昇すると、債券価格は下落するのはなぜですか??
↑理解しやすくするためにものすごく簡略化して書きます。
今の公定歩合が0.5%とします。利率が0.5%だと並と考えられる時代とします。ところが明日から公定歩合を5...続きを読む

Q統計学(データ分析)を活かせる仕事

率直にいって統計学(データ分析)を活かせる仕事って何かあるでしょうか。よく「品質管理やマーケティングの分野で役立つことがある」みたいなことを聞きますが、具体的にどの程度のものか分かりません。

就職までまだ2年間の猶予がありますが就職関連のwebサイトを見ていると、統計学(データ分析)を活かせるような仕事は研究職(特に生物や医療関係)しかないような感じです。

研究職以外でデータ分析を使われているような仕事というか業種などを教えていただけたらありがたいです。

Aベストアンサー

大学で統計の勉強をされているという事でしょうか。

統計は様々な分野で活かされていますよ。
業種も様々なので、この分野です!というのは難しいですね。。。

統計学を学んだ私の仲間が就職しているのはこんな業界です↓

・大手ゲーム会社の商品企画(マーケティング)
・大手たばこ製造会社の品質管理(品質管理)

就職サイトで「品質管理・マーケティング・商品企画」等のキーワードで検索してみて下さい。
そのキーワードでヒットする会社は、統計学を活かせる職業だと思います。

因みに私もマーケティング会社へ勤めていますが、統計の知識が必要です。

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Q固有値、固有ベクトル、対角化...何のため?

私は文系出身の32歳会社員です。

ふとしたきっかけで数学を学び直そうかなと
独学で最近始めました。

そこで...
本当に素朴で基本的な疑問で恐縮なのですが...

(1)何のために固有値を求めるのでしょうか?
(2)何のために固有ベクトルを求めるのでしょうか?
(3)何のために行列の対角化を行うのでしょうか?

回答は歴史的背景、学術的背景、感情...etc、なんでも結構です。
例)
・特定の法則で計算すると固有値が求められるので求めた。
・固有ベクトルは縦に並べてベクトルとしてみた方がすっきりするから「数列」ではなく「ベクトル」と呼んでみた。
・意味はない!目的はない!ただ数学として突き詰めているだけだ!
...などなど

あっ、でも急を要している訳ではないので
もしご存知の方、もしくは自論をお持ちの方は
お時間のある方はご回答いただければ幸いです。

ちなみにテキストは共立出版の『やさしく学べる基礎数学~線形代数・微分積分~です。
やっと線形代数が終わって、微分積分に入ろうというところで、ふと疑問を持ってしまいました...(~~;

本当に漠然とした質問で恐縮ですが、どうぞよろしくお願いいたしますm(__)m

私は文系出身の32歳会社員です。

ふとしたきっかけで数学を学び直そうかなと
独学で最近始めました。

そこで...
本当に素朴で基本的な疑問で恐縮なのですが...

(1)何のために固有値を求めるのでしょうか?
(2)何のために固有ベクトルを求めるのでしょうか?
(3)何のために行列の対角化を行うのでしょうか?

回答は歴史的背景、学術的背景、感情...etc、なんでも結構です。
例)
・特定の法則で計算すると固有値が求められるので求めた。
・固有ベクトルは縦に並べてベクトルとしてみた方がすっ...続きを読む

Aベストアンサー

行列を 1個固定して考えてみます.
この行列は何かよくわからないんですが線形変換を表します.
たいていのベクトルはこの線形変換によって変な方向を向いてしまうんですが, まれに方向が変わらず長さだけが変わるベクトルがあります.
このように「長さだけが変わるベクトル」がこの線形変換 (ひいては行列) の固有ベクトルとなります. で, 長さの変化率が固有値.


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