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昔から疑問に思っていたことです。
ドミノ倒しの倒れていく速度って、どのような式で表されるのでしょうか。
どなたか導出過程も含めて教えていただけないでしょうか。
機械工学の大学レベルの知識は持ってます。
よろしくお願いします。

gooドクター

A 回答 (7件)

まず、訂正があります。

#6の後半、先頭の一つに換算した等価運動量を求めるところ、重み付けは、角速度比では無く、角速度比の二乗で行うべきでした。すると周速のリップルはますます大きくなり、結果補正係数が0.81から0.78となって。望む実測値に一致するのですが・・・。しかしたまたまです。実は詳しい解析によれば、間隔が大きい時は周速のピークが√( 3 g h )から少し増加するようで、リップルの効果は真実なるも、伝播速度減少への寄与は目減りするのです。理想ドミノ(反発係数零、厚さ << 間隔 << 高さ)の伝播速度 √( 3 g h ) は、間隔/高さに対してとても鈍感なようです。

さて、#6に補足いただいた件、
> #5の ( 1 / 6 ) m V^3 = m g ( h / 2 ) V  --- (5) はおかしいように思います。これは、「初期ポテンシャルは全て損失となる」、「損失は回転エネルギーの減少量の総和である」、「回転エネルギーの減少量の総和は波頭での回転エネルギーに等しい」この3つから導いたものということでよろしいでしょうか。しかし、二つ目は成り立たないと思います。

に関してですが、誤りは無いと思います。ただし上記理想ドミノの場合ですが。後方裾野の崩落によるポテンシャルエネルギと回転エネルギの減少(損失)が前方ドミノを回転させるエネルギ源であり、真の損失は運動量は保存されるがエネルギは保存されない非弾性衝突で生じています。#5、#6を再点検してみましたが、先ほど冒頭で訂正した件以外、現在、訂正したい部分はありません。

間隔の効果に関して、あなたと私の結論の食いは、波頭の一スパンに着目するか、波全体の多数スパンに着目するかで生じていると思います。「スパンが短いと次にぶつかるまでにポテンシャルエネルギを得られないので遅くなる」というのが、あなたの手法のエッセンスのように見えます。しかしポテンシャルエネルギ供給源はもっと後方の傾いた所にあり、そのトルクで波頭ドミノが動かされているのではありませんか。

波全体(複数スパン)を扱うため連続系近似し、エネルギ収支に頼ればエネルギの取り逃がしはありませんが、細部は見え難いかもしれません。そこで、アプローチを変え、離散系のまま、運動方程式的に解いてみる事にしました。波全体を扱うのは、必須と考えますが、非線形性が強くとても解析的には解けません。でもプログラムを書くのなら容易です。計算結果もさることながら、私の考えが文章より正確に表現できると思います。

「(仮称)十進BASIC」: http://www.vector.co.jp/soft/win95/prog/se039185 …
を使わせてもらいました。フリーソフトです。

後方のドミノは重力の力を「折り重なったドミノの構造」で前方へ伝えます。後方ドミノは同時に回転が徐々に減速させられる事で発生するトルクも前方に送出します。仮に先頭が等速で回転しても、「変速比」が傾きの関数として変化しますから、ランディングに向けて減速します。これらの力で先頭ドミノは増速します。折り重なったドミノの運動はリンクしてますから、波全体の正味の力や慣性モーメントは等価的に一箇所に集約できます。加速度や衝突の計算に便利です。どこでも良いでしょうが先頭位置にしました。トルクは変速比で、慣性モーメントは変速比の二乗で、等価換算されます。先頭ドミノの前方ドミノへの衝突は非弾性的とします。運動量は保存しますが、エネルギは失われます。これが唯一の損失タイミングです。なお直立ドミノと傾斜ドミノ間の変速比は数学的に1です。

崩落過程は次のように計算されます。まず先頭直立で後部が折り重なった光景の角度分布を計算します。この状態から重力に引かれて動き始めます、角度分布は逐次変化しますが、先頭角速度(基準)と変速比、dt秒により更新されます。変速比はまた角度の関数として決定されます。なお角度比や変速比は隣り合う二つのドミノ間でしか数式で知れないので、繰り返しで全体に広めています。角度に関し次の関係があります。θは水平からの角度、θ1 にθ2 のドミノが寄り掛かっている時、
tan θ1 = sin θ2 / ( cos θ2 - ( s / h ) )
dθ2 / dθ1 = ( 1 - 2 * s / h * cos θ2 + ( s / h )^2 ) / ( 1 - s / h * cos θ2 )

先頭が傾斜し、前方ドミノに衝突する角度になるところを持って1サイクル完了として、全ての角度を初期状態に復帰させます。ただし衝突されたドミノの速度を新たな先頭とし、回転速度を継承させます。これでドミノ集団は加速し定常状態が観測されます。

√( 3 g h ) との関係ですが、s/h=0.1 で 99 %、0.5 で 96 %、0.7 で 93%、0.9 で 88% となります。s/h=0.7 のiPodですが170 [cm/s]となってしまいまい、120 [cm/s]と乖離しますね。摩擦等の余剰損失か底辺のスリップの性かも。上記の例、s/h=0.9 で 88% などという結果になっていますが、ちょうつがいで底辺が固定されているならいざ知らず、現実は足元をはらわれて無事なわけがありません。これとは逆に潰れる形の崩落時のスリップもあると思います。
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! ドミノ倒し
LET s=0.07 ! 間隔[m]
LET h=0.1 ! 高さ[m]
LET g=9.8 ! 重力加速度
LET Io=1/3*h^2 ! 慣性モーメント ただし m=1
LET N=INT(-2/LOG10((h-s)/h))+3 ! 波の構成として考慮するドミノ数目安
LET Nfd=N+20 ! ドミノ転倒総個数目安
LET v_ref=SQR(3*g*h) ! 伝播速度の目安、シミュレーションには無関係
LET dt=s/v_ref/200 ! Δt [sec] 1サイクルを200分割はしたい
PRINT "root(3gh): ";v_ref;" [m/s] dt: ";dt;" [SEC]"
OPTION BASE 0
DIM T(N),Tin(N),Kw(N),Kwd(N) ! T:角度[rad] Tin:復帰角度[rad] Kw,Kwd:角速度比
! 倒れ角度復帰値準備(先頭直立時の角度分布算出)、配列添字:先頭0
LET Tin(0)=PI/2 ! 先頭ドミノ角度
LET Tin(1)=ACOS(s/h) ! 次の角度
FOR i=2 TO N ! 順次角度計算
LET k=SIN(Tin(i-1)) ! 収束計算安定策、本論に関係なし
LET Tin(I)=Tin(i-1) ! 収束計算初期値
FOR J=1 TO 100
LET Tin(i)=k*Tin(i)+(1-k)*ASIN(TAN(Tin(i-1))*(COS(Tin(i))-s/h))
NEXT J
NEXT i
FOR i=0 TO N !
PRINT Tin(i)*180/PI;" [deg]"
NEXT i
! 崩落計算
LET Kw(0)=1 ! ドミノ角速度比、先頭を基準速度とする
LET Kwd(0)=1
LET W=0 ! 先頭角速度 [rad/sec] 崩落開始時零
FOR i_domino=1 TO Nfd ! ドミノ転倒個数
LET tp=0 ! 時間累積、1サイクル時間計測用
MAT T=Tin ! 角度復帰、1サイクルの開始
DO ! 先頭が直立から傾いて、前方のドミノに接触するまで
FOR i=1 TO N ! 各ドミノの現状角度分布における角速度比(変速比)算出
LET Kw(i)=(1-2*s/h*COS(T(i))+(s/h)^2)/(1-s/h*COS(T(i)))*Kw(i-1)
NEXT i
LET Trq_s_G=0
LET Isum=0
FOR i=0 TO N ! リンク機構を先頭ドミノに換算
LET Trq_s_G=Kw(i)*1/2*g*h*COS(T(i))+Trq_s_G ! 重力トルク(先頭換算)
LET Isum=Kw(i)^2*Io+Isum ! 慣性モーメント(先頭換算)
NEXT i
LET Trq_s_A=0
FOR i=1 TO N ! リンク機構の角度非線形性によりW一定でも加速度が生じる
LET Kwd(i)=(1-2*s/h*COS(T(i)-Kw(i)*W*dt)+(s/h)^2)/(1-s/h*COS(T(i)-Kw(i)*W*dt))*Kwd(i-1)
LET Trq_s_A=-(Kwd(i)-Kw(i))*W/dt*Io*Kw(i)+Trq_s_A ! 減速由来慣性トルク(先頭換算)
NEXT i
LET W=(Trq_s_G+Trq_s_A)/Isum*dt+W ! 加速度算出と新速度への更新
FOR i=0 TO N
LET T(i)=T(i)-Kw(i)*W*dt ! 各ドミノの角度更新
NEXT i
LET tp=tp+dt ! 時刻
LOOP UNTIL T(0)<ACOS(s/h) ! 前方ドミノへの接触検出
LET W_before =W ! 衝突直前角速度(印刷用記憶)
LET W=Isum/(Isum+Io)*W ! 衝突後、新先頭角速度
PRINT i_domino;" ";s/tp;"[m/s]";TAB(35);"root(3gh)比: ";s/tp/v_ref ! 伝播速度
! PRINT "衝突前周速/root(3gh)比: ";W_before*h/V_ref,"衝突後周速/root(3gh)比: ";h*W/V_ref
! PRINT "衝突損失/(gh/2)比: ";(Isum*W_before^2-(Isum+Io)*W^2)/(g*h)
! PRINT "先頭ドミノエネルギ/(gh/2)比: ";Io*W_before^2/(g*h)
NEXT i_domino
END
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この回答へのお礼

今回はプログラムまで作っていただいて、本当にありがとうございます。
プログラムをみてようやく理解することができました。

一つ大きな勘違いをしていました。各位置での摩擦損失により回転エネルギーが失われるとおっしゃっていると思っていたのですが、違うようですね。波頭以外の損失は無視して、波頭の衝突による損失と供給されるポテンシャルが釣り合うということでしたか。

確認のために整理させていただきます。Isum,Ioはプログラム中と同じ定義です。
運動量保存則より(ω0:衝突直後、ω1:衝突直前)
 Isum ω0 = (Isum - Io) ω1 …(1)
エネルギー保存則より(Lc:衝突損失)
 (1/2) (Isum - Io) ω1^2 - (1/2) Isum ω0^2 = Lc = m g (h/2) …(2)
長方形(Io = ( 1 / 3 ) h^2 m)として式(1),(2)を解くと
 ω0 = √{ (3 g / h ) (1 - Io / Isum) } …(3)
 ω1 = √{ (3 g / h ) / (1 - Io / Isum) }
ω0 = V / h とすると
 V = √{ (3 g h ) (1 - Io / Isum) } …(4)
ここで、間隔が無限小とすると、Io / Isum → 0 なので
 V = √(3 g h)

ようやく理解することができました。お手数かけて申し訳ありません。
間隔の効果に関しては、おっしゃる通りですね。気づきませんでした。ありがとうございます。
私のモデルよりもこちらのほうが実際の現象に近い気がします。

それでは、しばらく様子をみて回答を締め切ろうかと思います。
もし他にいいアイデアをお持ちの方がいたら投稿してください。

お礼日時:2007/04/08 20:09

#5の補足欄拝見しました。

まず、「後面からはポテンシャルエネルギー Pp(-) と回転エネルギー Pk(-) が流出し・・・」の件ですが、検査体積および、Pp(-) と Pk(-) という項の定義が、有意義に解釈できません。Pp は送り込まれるポテンシャル、Pk は熱や音として消え行く損失総量としてもともと導入しました。Pp(-)、Pk(-)とは波頭の微小体積を除いた後ろの波の全体積相当を示しているのでしょうか。それとも微小体積通過後のその面から後ろに送り込まれるエネルギの流れを示しているのでしょうか。ご提示の(1)式の形にふさわしい定義が発見できませんでした。

波頭から入って来たポテンシャルは「波尾で徐々に解放」されながら「波頭のドミノを回転させる」エネルギとなるのです。先頭のドミノはあくまでも後続ドミノ郡から押されて倒れるのです。 ポテンシャルは波尾(裾野)の折り重なるドミノの連結経路の力を介して自由回転面である波頭で運動エネルギとなって発現するのです。#5における Pk は回転エネルギでは無く、回転エネルギの総体積「損失」です。#5の手法では後方から前方に送られるような、波の内部のエネルギ流に触れていません。総エネルギで考えている限り、取り扱わなくて済むように思います。

( 1 / 6 ) m V^3 = m g ( h / 2 ) V  --- (5)
のように書くと単に「位置エネルギ = 回転エネルギ」に見えてしまいますが、#5での次の記述は疑問に答えることになりませんでしょうか。
>実はドミノの回転エネルギ"のみ"に着目する限りにおいては、・・・・ 散逸の総和は、回転の初期エネルギ(回転エネルギの最大点)に一致しているのは自明であり、それが、#2のように単純に「転倒によって放出される位置エネルギ = 回転エネルギ」でも速度が求められる理由でしょう。

#2での次の記述はいかがでしょう。
>mは集団の仮想的な総質量と考えても、あるいは一つあたりの質量と考えても良いでしょう。ただし後者の立場をとる時、両辺のmは数値的には等しくとも、概念的には同一個体のものではありません。いずれにせよmは消えますが・・・。

集団、波全体を使うのが肝ですが、もう一つ、「運動量は保存される」が「運動エネルギは保存さない」という所も肝です。

さて次のテーマですが、V = 0 も、解ですね。最初の一撃が加わっていなければ倒れませんし、またドミノが厚くて崩落後の傾斜で重心が底辺の外に出ないような場合はポテンシャルエネルギを獲得できません。厚さを a、 間隔「ピッチ」を s とするなら、V = √( 3 g h ) には、「 厚さ << 間隔 << 高さ 」の大小条件が付帯しています。厚さが間隔に対して無視できないような場合、崩落後留まる傾斜から、次のような最終重心位置が計算されます。
ho = ( a / 2 s )( h + √( s^2 - a^2 ) )
ポテンシャル経由の厚みの効果に限定すれば、h を ( h - ho ) を置きかえれば良いでしょう。ただしiPod 例では、ho は 1.2 cm に過ぎず、速度減少への寄与は 6 %に過ぎません。他の厚さ効果で打ち消される可能性があります。

ところで、間隔の効果に関して、一つ見逃していました。考察に誤りが無ければ、その補正項は大きいので有望です。iPod はツルツルで大丈夫になります。何かというと、先頭のドミノが倒れ初めてから、その一つ前のドミノに接触する間の速度変化です。無視できないリップルがあるようです。

ここからは簡単な関数では表現できない部分があるので、
h = 10 cm、 s = 7 cm (間隔はピッチ)、厚さは零(難しいので)
を扱います。

まず隣り合い接触したドミノの傾斜には次の関係があります。都合により水平からの角度にしました。θ1 が波頭に近い方、θ2 が波尾側とします。
tan( θ1 ) = sin( θ2 ) / ( cos( θ2 ) - ( s / h ) )
先頭を直立 90 度とし、続くドミノがどのような角度で寄り掛かっているか、また、微小回転を一群に加えた時の各ドミノの回転量の関係から角速度比(周速比)を、順次求めると下表のようになります。

角度 、 角速度比
90.0 、  1
45.5 、  1 (基準)
15.5 、  0.43
4.7 、  0.14
1.4 、  0.04

直立するドミノに接触した時にのみ、両ドミノの速度が一致するというのはおもしろいですね。と同時に、反発係数を無視した衝突の計算には特に好都合です。衝突時の合体運動速度が容易に計算できます。例えば直立ドミノBに後ろのドミノA一つが単独で衝突し、反発なく接触したままになれば、その瞬間のA、B 両速度は、運動量保存則から衝突前のAの速度の半分になります。そして時間が経過し、ドミノBがさらに前方のドミノCに衝突する頃までには、後ろから押され続けた結果、Aが衝突した時と同一の速さを獲得します。さて、実際には衝突する側のドミノは折り重なっています。それを含めて計算してみましょう。この等価運動量はどうなるでしょう。等価質量、等価モーメントと言い換えても良いでしょう。テコの原理、つまり角速度比で換算される筈です。それが、ドミノ一つの何倍か計算しましょう。上表より、
1 + 0.43 + 0.14 + 0.04 + ・・・ = 1.6
となります。これが単独ドミノAに換算した角運動量です。

衝突直後の速度は運動量保存より、衝突直前の
1.6 / ( 1 + 1.6 ) = 0.62
倍になります。では、衝突直前の速度はいくらかというと、そこは最大速度です。上述のように、これから回転エネルギは失われる一方の極値状態だからです。これが √( 3 g h ) で与えられる速度だと思います。それを Vm と書きましょう。
本当の速度変化詳細は難しそうなので一時近似しましょう。つまり
v = Vm ( 0.62 + 0.38 ( t / T ) ) ; t = 0~T
と近似します。これをならした等価平均速度 Ve は、
Ve = Vm ( 0.62 + 0.19 ) = 0.81 Vm
ここに約2割の補正項が得られました。#5で紹介の円弧の速度遅延効果:
( SIN θ ) / θ  (ここのθは垂直からの角度[rad]、一貫性がくずれて失礼)
すなわち、45度で、0.90 も併せて用いれば、、

伝播速度: 0.81 * 0.90 * √( 3 g h )
= 125 [cm/s] と計算されます。
#2で報告の実測値は、120 [cm/s] ですから、良く合っています。いささか、辻褄合わせ的な点も否めませんが。

この回答への補足

(お礼欄は字数制限に引っかかったので、お礼も含めて補足欄に投稿します。)
回答ありがとうございます。
厚さ・間隔の補正は効果がありそうですね。ですがまだ吟味できていないので、前半についてのみ述べさせていただきます。

検査体積については説明不足で申し訳ありませんでした。というか間違っていました!ごめんなさい(>_<)
一応説明しておきますと、検査体積は波頭を含み波頭と共に速度Vで移動する仮想の直方体を考え、その直方体についてエネルギー保存則を適用します。定常状態なので
 「前面から流入するエネルギー」=「後面から流出するエネルギー」+「検査体積内のエネルギー損失」
が成立します。Pk(-)は損失ではなく回転エネルギー流量としました。Pp(-),Pk(-)は後面位置でのエネルギーと伝播速度Vの積で、検査体積内の総和ではありません。摩擦損失Lfのみ検査体積内の総和としました。Lcは単位時間に波頭で生じる衝突損失です。それで前回の式
 Pp(+) = Pp(-) + Pk(-) + Lc + Lf (各項は非負)…(1)
が成り立つと思ったのですが、大事なものを忘れていました。検査体積界面での仕事によるエネルギーの授受です。この場合左辺に正の項が追加されるはずです。ドミノ間でのエネルギーの受け渡しがゼロとしてしまったら、速度はゼロとなるに決まってますね…失礼しましたm(_ _)m

ですが、やはり#5の ( 1 / 6 ) m V^3 = m g ( h / 2 ) V  --- (5) はおかしいように思います。
これは、「初期ポテンシャルは全て損失となる」、「損失は回転エネルギーの減少量の総和である」、「回転エネルギーの減少量の総和は波頭での回転エネルギーに等しい」この3つから導いたものということでよろしいでしょうか。しかし、二つ目は成り立たないと思います。

>実はドミノの回転エネルギ"のみ"に着目する限りにおいては、・・・・ 散逸の総和は、回転の初期エネルギ(回転エネルギの最大点)に一致しているのは自明であり、それが、#2のように単純に「転倒によって放出される位置エネルギ = 回転エネルギ」でも速度が求められる理由でしょう。

ここでいう散逸はあくまでも回転エネルギ"のみ"であって、それと同時に位置エネルギーも散逸しています。一つのドミノに注目してみます。そのドミノは、後方のドミノからエネルギーを受け取る、前方のドミノにエネルギーを渡す、摩擦等によりエネルギーを失う、この3つの結果として自分が持つエネルギー(「位置エネルギー」+「回転エネルギー」)を徐々に減少させ、最終的に無限後方でゼロとなります。そして、この関係を空間全体にわたり積分すると「波頭で供給される位置エネルギーは全体の損失に等しい」となります。#5は回転エネルギーの減少が損失となり、位置エネルギーの減少は前のドミノの回転エネルギーになるとおっしゃっているように解釈しましたが、これは何か理由があってこのように仮定したということでしょうか。

話が変わりますが、現在気になっている点が二つあります。高さhの効果が私のモデルとは逆になっている点と、#5でおっしゃっていた厚さ・間隔を無限小としたときの速度が二つのモデルで異なる点です。反発係数の効果については衝突をどう仮定するかで大きく異なるのは当然ですが、この2点については私のモデルでも#5のモデルでも同じ結果になるべきだと思うのですが。。。ということは、やはりどちらかのモデルのどこかが間違っているということでしょうか。うーん。

補足日時:2007/04/04 23:25
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#2の者です。

質問者様の投稿拝見しました。しかし、私の考える結論とは隔たりがあるようです。
1)反発係数で伝播速度が大きく変わるとの御意見ですが、私には、現実の伝播遅延に反発係数がそれほど関与しているとは思えません。
2)ドミノ間隔が狭くなるにつれ速度が零に向かって減少との御意見ですが、私の結論では速度変化は緩やかに増加、かつ有限です。

「#2で示した伝播速度 √(3gh) は、反発係数 e=0 、しかもドミノ間隔無限小という条件のものである」と言えば驚かれるでしょうか。真偽はともかくも、以前よりやや深く考察した結果、そのような結論を得ましたので報告します。

さて、「密に並んだ」ドミノの自然な倒れ方が、どのようなものか考えてみましょう。伝播する波のある瞬間のスナップショットには、折り重なって接触し、後部に向かって倒れ角を増す多数のドミノの一群が写る筈です。崩落は接触したまま進行します。そして後尾に向かいドミノの回転速度は徐々に落ちて、最終的には回転速度零でソフトランディングしていそうです。#2では、伝播により時々刻々供給されるポテンシャルは、最終的に「ドミノが床を叩くエネルギとして散逸する」旨の記述をしましたが、叩く圧力は生じているものの速度は僅少であり、この表現は不適当でした。ではドミノの回転エネルギはどこに散逸して行くのか・・・。非弾性的な材料ならドミノ同士の衝突損失としてでしょう。一方、弾性的な材料では、前後ドミノへの往復振動的な衝突などで上手く消えて行く以外、現実的な美しい崩落が得られる道は無いように思います。ちなみに運動エネルギは衝突に伴い消費されますが、運動量は勿論保存されています。広い裾野の多数のドミノの小さな速度へと分散されて床を押すのです。前記スナップショットを出発点として、数式により具体的な解析を行ってみました。あなたの出発点であるところの「(e)衝突時間は非常に短く、衝突中ドミノの傾きは一定とみなせる」と「(g)ドミノがA→B→Cと倒れていくとき、Bが運動を始めてからCに衝突するまでの間に、AとBは接触しない」に意義を唱えたことになります。

波を形作るドミノの折り重なった一群、それぞれの傾斜はどうなっているのか、また伝播する時、回転速度はどう推移するのかを求めてみましょう。ドミノの厚さは零、ドミノの高さ h、間隔 s、とします。イメージし易いよう「伝播の進行方向を左」に決めましょう。先頭から任意点で左に傾いて上辺の高さが y1 となっているドミノに、右のドミノが寄り掛かって上辺の高さが y2 になっています。 y1 > y2 で波尾、つまり右に向かうにつれて低くなっていく感じが掴めますでしょうか。隣り合う二つのドミノには次の関係が成り立ちます。
y1 / √( h^2 - y1^2 ) = y2 / ( √( h^2 - y2^2 ) - s )  --- (1)
先頭から波尾方向、つまり右方向を正として x 軸をとります。 x = 0 で 直立、すなわち y = h とし、s << h という条件で(1)式を繰り返し適用し、上辺の高さがどのように変化するかプロットして見て、なぞる曲線は、y = h / cosh( x / h ) らしき事を見つけました。解析的には、連続系として(1)式の y1 を y、y2 を y + dy、s を dx に置き換え、高次の項を消せば次の微分方程式が得られます。
dy / dx = - ( y / h ) √( 1 - ( y / h )^2 ) --- (2)
この式を解くのは労を要しますが、
y = h / cosh( x / h ) --- (3) 
が解であることの検証は簡単です。両辺に代入し等号成立の確認OKです。なお、y は、x点上方の高さを示すのでなく、x点に底辺を持つドミノの上辺の高さです。(x,y)でプロットした場合、波の見かけの形を表しているのではありませんので、混乱無きようご注意下さい。

それではドミノの回転角速度を求めてみましょう(左回転を正とします)。回転は波の進行と共に生じるので、波頭からの位置の微小変化という考えで求まります。
ω = - d ( arcsin( y / h ) ) / dt
= - d ( arcsin( y / h ) ) / dx ( dx / dt )
伝播速度を V と書けば、
ω = - d ( arcsin( y / h ) ) / dx V
= - ( 1 / √( 1 - ( y / h )^2 ) ) ( dy / dx ) ( V / h )
(2)式を使えば、
ω = ( y / h^2 ) V --- (4)
と書けます。波頭からxの距離に底辺を持つドミノの回転速度が、その上辺の高さを示す関数に等しいというのは興味深いです。波頭 x = 0 では、y = h ですから ω = V / h 、そして波尾に向い、hと共に減少する角速度が表現されています。

回転速度の減少と共に運動エネルギが散逸しますが、ある位置のドミノの時間当たり散逸量を求め、それを積分して波全体とすることにより、波が進む際の総散逸レートを求めてみましょう。その量を、ポテンシャルエネルギ供給レートと平衡させれば伝播速度が算出できます。

ある位置のドミノの回転エネルギ散逸レート[ワット]
P = d ( I ω^2 / 2 ) / dt
= d ( I ω^2 / 2 ) / dx ( dx / dt )
= d ( I ω^2 / 2 ) / dx V
波全体のドミノの回転エネルギ散逸レート(総和)[ワット]
Pk = ∫[0~∞] P dx
= [ ( I ω^2 / 2 ) V ] x=0~∞
 = ( 1 / 2 ) I V^3 / h^2
ここで慣性モーメント I は、x 方向分布質量(単位長当たり)を m として、矩形ドミノの場合、
I = ( 1 / 3 ) h^2 m
ですから、
Pk = ( 1 / 6 ) m V^3

一方、ポテンシャルエネルギ供給レート[ワット]は、
Pp = m g ( h / 2 ) V

Pk = Pp とおくことにより平衡進行速度として、伝播速度が求まります。
( 1 / 6 ) m V^3 = m g ( h / 2 ) V  --- (5)
従って、伝播速度:
V = √( 3 g h )
です。以上で、反発係数 e=0 、ドミノ間隔無限小での伝播速度が求まりました。これこそ、#2で予想した式です。実はドミノの回転エネルギ"のみ"に着目する限りにおいては、回転エネルギ散逸レートを求めたり、それを総和する必要は無いのです。散逸の総和は、回転の初期エネルギ(回転エネルギの最大点)に一致しているのは自明であり、それが、#2のように単純に「転倒によって放出される位置エネルギ = 回転エネルギ」でも速度が求められる理由でしょう。 ただし崩落の形態式(3)を基にして散逸の総和を求める様式は、摩擦などの余剰損失も含めて詳しく解析する場合に有効だと思います。

さて、ドミノ間隔が広がるとどうなるのか。V = √( 3 g h ) を衝突の円弧速度と捉えればよいのでしょう。すると伝播速度は、衝突時の角度をθとして、sin( θ ) / θ 倍に減じられると思われます。ただしこの補正量は、#2の実例で1割程度にしかならず、現実との差はまだ残ります。

伝播速度を減じる他の原因としては、次のものがあると思います。
1)接触しながら崩落する際の摩擦損失
速度平衡式は、Pk + α = Pp となり、速度が減少します。
2)底辺位置のスリップ
位置が後退しますから、速度減少に寄与します。

反発係数が増速に寄与するか減速に寄与するかは良くわかりませんでした。単純な崩落では無いからです。反発係数も含めて論じようとすると、特にドミノのような曲げモーメントが生じる衝突形態では、剛体近似に不公平があるように思われます。振動変形も併せて考察すべきでしょう。 ですが、それはドミノの転倒周期に対し非同期であり、もはや初等的な方法では解析困難と感じました。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
まさか全体の分布まで導出するとは。私は最初から諦めてました。

一つ気になる点があります。「Pk=Pp」とした点です。これは成り立たないような気がします。
波頭を含み速度Vで移動する検査体積についてエネルギー収支を考えてみます。検査体積の前面を波頭の前方(倒れていない側)、後面を波頭の後方に取ります。すると、単位時間あたり、前面からはポテンシャルエネルギー Pp(+) = m g (h/2) V が流入、後面からはポテンシャルエネルギー Pp(-) と回転エネルギー Pk(-) が流出し、検査体積内では波頭での衝突による損失 Lc および摩擦等による波頭以外での損失 Lfが生じています。なお(+),(-)は正負ではなく波頭の前後を表しています。定常状態なので、これらは釣り合っています。
 Pp(+) = Pp(-) + Pk(-) + Lc + Lf (各項は非負)…(1)
「Pk=Pp」とした場合、式(1)において Pp(-) + Lc + Lf = 0 と近似したことになってしまいますが、検査体積をどのように取ってもこのような結果は出てこないように思います。
さて、ここで検査体積の後面を波頭に限りなく近づけてみます。すると、Pp(-)→Pp(+)、Lf→0 となり、式(1)は次のようになります。
 0 = Pk(-) + Lc …(2)
右辺の各項は非負ですから、式(2)が成立するためには Pk(-), Lc ともにゼロ、すなわち V=0 でなければなりません。
また、V = √( 3 g h ) という結果は、式(5)において V≠0 の仮定の下で導かれた結果なので、V=0の可能性は残されています。

反発係数の影響に関しては、#4補足の「仮定(g)ドミノがA→B→Cと倒れていくとき、Bが運動を始めてからCに衝突するまでの間に、AとBは接触しない」が成り立てば影響大ですし、成り立たなければ影響は小さそうですね。今は仮定(g)は成り立たないかなぁという気分です。なんとなくですが。。。ほんとやっかいな問題ですね(>_<)

お礼日時:2007/04/02 03:21

#3を修正します。


ドミノの駒をA、Bとします。Aが倒れていってBにぶつかります。
駒の高さがh、ABの間隔がdです。厚みは無視します。ぶつかる時のAの傾きの角度をθとするとsinθ=d/hです。Aのてっぺんの初速をV0(=hω0)、ぶつかる時の速さをV(=hω)とします。
運動が定常状態になっているとすると衝突後Bの動き始める速さがV0です。
速さの表現をθに対して吟味しておきます。
θ=0°ではABがくっついていますから倒れません。V0=0です。
θ=90°ではぶつかりませんからV0=0です。
#3出だした式はこの条件を満たしていません。
ぶつかった時に働く力がBの面に垂直であるとしてN=Iω’の式で速度変化を出すとθに関係しなくなります。ボールが壁にぶつかる時は力を壁に垂直であるとするのですが棒がぶつかる場合は違う様です。
力がAの運動方向に働くとします。反発の式もAの運動方向での相対速度で考えます。

Aについてのエネルギー保存の式(Aが倒れる運動)
V^2-V0^2=3gh(1-cosθ)(式1)

ABの衝突
V0=(1+e)V(cosθ)^2/((cosθ)^4+1)(式2)

g=9.8,h=0.1,θ=45°の時
cosθ=1/√2=0.7ですから式1の右辺は0.85です。
e=1の時   V=1.53,V0=1.22
e=0.9の時 V=1.42,V0=1.08
e=0.8の時 V=1.33, V0=0.95
です。
実測の1.2に対応させるのが難しいですがかなり近いところが出ています。角度θ分を倒れるのに必要な時間を求めるのが出来るといいのですが難しいです。
単純にv=(V+V0)/2でやるかV0の方にウエイトをつけるかで対応させることも出来ます。

Vの方向は水平ではありませんので
v=(Vcosθ+V0)/2を対応させるという手もあります。

一応ここまで出来ました。

この回答への補足

遅くなりましたが、私なりの結論が出ましたので投稿させていただきます。
間違いやアドバイスなどがあればよろしくお願いします。
(質問者は回答を投稿できないようなので、補足として投稿しました)

■仮定■
---------------------------------------------
次のような仮定をします。
(a)ドミノは剛体である
(b)ドミノの形状は四角柱や円柱で、柱の軸方向がドミノの進行方向となるように並べる
(c)ドミノは床上を滑らず、1自由度の回転運動をする
(d)回転の抵抗は無視できる
(e)衝突時間は非常に短く、衝突中ドミノの傾きは一定とみなせる
(f)衝突による力 F は面に垂直に働き、重力よりも十分大きい
(g)ドミノがA→B→Cと倒れていくとき、Bが運動を始めてからCに衝突するまでの間に、AとBは接触しない
(h)定常状態が存在する
(i)θは小さい(sinθ=θと近似できるレベル。仮定(c)を満足するためにもθはこの程度である必要がある)

この中で(g)が一番怪しいと思います。もしAとBが衝突を繰り返しながらCへ衝突するならば、かなり複雑な問題になってしまいます。

■定義■
---------------------------------------------
h:ドミノの高さ
a:ドミノの厚さ
d:ドミノ間の距離(a+dが1ピッチの距離)
θ:衝突時のドミノAの傾き(sinθ=d/h)
m:ドミノの質量
I:慣性モーメント
H:直立時の重心の高さ(密度が均一でない場合やドミノが三角柱の場合などは H≠h/2)
A:回転軸から重心までの厚さ方向距離(密度が均一でない場合 A≠a/2)
e:反発係数
ω:角速度(回転開始時ω0、衝突直前ω1、衝突直後ω')
F(t):衝突時の力
T:ドミノが次のドミノに衝突するまでの時間
φ(t):鉛直方向からのドミノの傾き(φ(0)=0,φ(T)=θ)
V:伝播速度(=(a+d)/T)
E=2/(1+e), r=a/d, s=a/h

■導出■
---------------------------------------------
【角運動量】
ドミノAの回転軸回りの角運動量に着目すると、(Gmは重力による回転軸回りのモーメント)
 I・ω' - I・ω1 =∫(-F・h・cosθ + Gm)dt ≒ ∫(-F・h・cosθ)dt …(1)
ドミノBの回転軸回りの角運動量に着目すると、
 I・ω0 =∫( F・h・cosθ)dt …(2)
式(1)+式(2)より、
 ω0 + ω' = ω1  …(3)

【反発係数】
次に、反発係数eを導入する。垂直壁(ドミノB)に斜め上から物体(ドミノA)が衝突するということで、衝突部の水平方向速度に関して次のように定義する。(ドミノA、Bの接点におけるドミノBの水平方向速度は、厚さaによらず接点の高さと角速度の積 (h・cosθ)ω0 となる)
 e = (h・ω0・cosθ - h・ω'・cosθ) / (h・ω1・cosθ)
⇒ω0 - ω' = e・ω1 …(4)

【エネルギー】
位置エネルギーが全て回転エネルギーに変換されるから
 I/2・(ω1^2 - ω0^2) = m・g・{H - (H・cosθ + A・sinθ)}
= m・g・{H(1-cosθ) - A・sinθ} …(5)

ドミノが密度の均一な直方体の場合、I=m(h^2+a^2)/3, H=h/2, A=a/2 です。
その場合式(3)~(5)は、厚さを無視(a=0)し、先端速度(=hω)に関する式に変換すると、No3に書いていただいた式と同じものになります。

式(3)~(5)を解くと、
 ω0^2 = 2・m・g・{H・(1-cosθ)-A・sinθ} / {I・(E^2-1)} …(6)
= 3・g・{h・(1-cosθ)-a・sinθ} / {(h^2+a^2)・(E^2-1)} …(7)(密度一定の直方体の場合)
 ω1 = E・ω0 …(8)
 ω' = (1-e)/(1+e)・ω0 …(9)
ここで、E = 2/(1+e) としました。
θが90度でω0はゼロとなっていませんが、これはこの物理モデルが床との衝突を考慮していないためです。

補足日時:2007/03/21 02:26
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この回答へのお礼

ごめんなさい!回答をくれていたんですね。気づきませんでした。
何度もありがとうございます。
かなり近い値がでてますね。
慣性モーメントや重心位置等の誤差を考えると、ここまで出れば十分な気もします。
私も皆さんの意見を参考にして考えていますので、いい案が出たら投稿させていただきます。

お礼日時:2007/03/12 01:58

#2のご回答を参考にさせて頂いて少し修正をしました。



定常状態で考えるというところと慣性モーメントのところを使わせて頂きました。
変数を一つ追加しました。反発係数eです。
これは本当の意味の反発係数というのではなく斜めにぶつかるとかぶつかる位置が重心に対してどれくらいずれているかとかをつっこみにした量だと考えて下さい。ぶつかる方はてっぺんで力を受けますがぶつかられる方は腹に力を受けます。質量が同じでも有効質量が変わってくるかも知れません。でも無視して同じ質量の2質点の衝突で考えます。(ここが次の修正点だろうと思います。)

高さをh、間隔をdとします。倒れてぶつかる時の角度をθとします。
sinθ=d/hです。位置エネルギーの減少はgh(1-cosθ)/2です。
ドミノの運動が定常状態であるとすると倒れはじめの速度V0は何時も同じです。それがぶつかるときにはVになっています。衝突で次のドミノにV0の初速を与えます。ぶつかっていった方のドミノの速さはV’になっています。ぶつかるまでの変化に対するエネルギー保存の式は
gh(1-cosθ)/2=(1/2)(1/3)mh^2(V^2-V0^2)/h^2
ぶつかったときは
mV=mV0+mV’
(V0-V’)/V=e
これより V=2V0/(1+e)です。

此処でv=(V0+V)/2を実測に対応させたとします。
(V-V0)(V+V0)=4v^2(1-e)/(3+e)です。
V>V0のはずですからe<1です。
v^2=(3/4)gh(1-cosθ)(3+e)/(1-e)
#2の中にあるiPodの場合の数字 h=0.10m、d=0.07m、g=9.8m/s^2、v=1.2m/sを代入するとe=0.37になります。この場合はぶつかる高さがほとんど中央(重心の位置)になっています。
間隔を狭くして見るとどうでしょう。eが同じとすると
d=5の時、v=0.82となります。でもeの値は変わるようにも思います。間隔を変えたときの速さがわかるといいのですが。

e=1ではありませんのでエネルギーのロスがあります。ぶつかっていった方の速さをV’としてますがこれはその後、床に倒れるところで失ってしまいます。でもこれは衝突でエネルギーを渡してしまった後のことですからドミノ倒しが伝わっていく速さには無関係です。

#2ではhだけに依存していたのがd、hに依存する形になりました。その分、別の変数が1つ入ってきました。

※d~hの時sinθ~1ですからcosθ~0です。eが一定とするとvが一番大きくなります。でもd~hの時、衝突で上手く運動量を渡せなくなるはずです。その効果をうまくeに入れることが出来ている様には思えません。どなたか発展させて頂くといいのですが。

この回答への補足

ごめんなさい。ANo.4の補足に入りきらなかったので、続きをこちらに書かせてください。

【ANo.4補足の続き】
次にTを、振子の周期を求めるのと同じ手順で求めます。
ドミノの運動開始時とφだけ傾いた時で、エネルギー保存則を適用すると、
 (I・ω0^2)/2 + m・g・H = {I・(dφ/dt)^2}/2 + m・g・(H・cosφ+A・sinφ)
⇒dφ/dt = (ω0^2 + 2・m・g/I・{H・(1-cosφ)-A・sinφ})^0.5
⇒∫(φ:0→θ)[dφ/{ω0^2 + (2・m・g/I)・{H・(1-cosφ)-A・sinφ}}^0.5] = ∫(t:0→T)dt = T …(10)
よって、式(10)の積分が計算できれば、Tから速度が求められますが、難しそうです。
楕円積分になるのでしょうか?

ここで、仮定(i)よりsin,cosをテーラー展開して3次の項までで近似します。
なお、ここからはドミノを密度一定の直方体として話をすすめます。
 [式(10)の被積分関数の分母]
 = {3・g/(h^2+a^2)}^0.5・[{h・(1-cosθ)-a・sinθ}/(E^2-1) + {h・(1-cosφ)-a・sinφ}]^0.5
 = [3・g/{2・(h^2+a^2)}]^0.5・[{h・θ^2-2・a・θ}/(E^2-1) + {h・φ^2-2・a・φ}]^0.5 …(11)
式(11)を使って式(10)の定積分を計算します。(フリーソフトMaximaで積分しました。r=a/d, s=a/h です)
 T = {(1+s^2)・(2・h)/(3・g)}^0.5・ln[{E・(θ^2-2・s・θ)^0.5 + (θ-s)・(E^2-1)^0.5} / {(θ^2-2・s・θ)^0.5 - s・(E^2-1)^0.5}] …(12)
仮定(i)よりθ=d/h と近似できるので、
 T = {(1+s^2)・(2・h)/(3・g)}^0.5・ln[{E・(1-2・r)^0.5 + (1-r)・(E^2-1)^0.5} / {(1-2・r)^0.5 - r・(E^2-1)^0.5}] …(13)
さらに、a=0 の場合(r,s=0)、
 T = {(2・h)/(3・g)}^0.5・ln{E+(E^2-1)^0.5}
  = {(2・h)/(3・g)}^0.5・asinh(E^2-1) …(14)

Tが求まったので、伝播速度Vは V=(a+d)/T で求められます。
この結果から、h,a,dの比が一定の場合は、T,Vともに√hに比例することが分かります。

■検証■
---------------------------------------------
g=9.8, h=0.1, a=0.01, d=0.07 として、速度を計算してみます。
V(10)は式(10)を数値積分した値から算出した速度、V(13),(14)は式(13),(14)から計算した速度です。

e V(10) V(13) V(14)
1.0 ---- ---- ----
0.9 2.52 2.54 2.62
0.8 1.74 1.75 1.81
0.7 1.38 1.39 1.44
0.6 1.16 1.16 1.22
0.5 1.01 1.01 1.06
0.4 0.89 0.89 0.94
0.3 0.80 0.79 0.85
0.2 0.72 0.71 0.77
0.1 0.65 0.64 0.70
0.0 0.59 0.58 0.64

まずまずの値が出ています。この程度の厚さなら、厚さを無視したV(14)でも十分使えそうです。
反発係数をどう見積もるかが問題ですが…

次に、厚さaを変化させてみます。(g=9.8, h=0.1, d=0.07, e=0.5)

a V(10) V(13) V(14)
0.00 1.04 1.06 1.06
0.01 1.01 1.01 1.06
0.02 0.88 0.84 1.06
0.03 0.59 0.03 1.06
0.04 ---- ---- 1.06

厚さaが増すにつれて、V(14)は誤差が大きくなっています。a=0.04では厚すぎて倒れることができないようです。
a=0.03でV(10)とV(13)の差が大きいですが、この原因はよくわかりません。

次に、間隔dを変化させた場合です。(g=9.8, h=0.1, a=0.01, e=0.5)

d V(10) V(13) V(14)
0.02 ---- ---- 0.30
0.04 0.51 0.51 0.60
0.07 1.01 1.01 1.06
0.10 1.42 1.48 1.52

このように、同じドミノならば間隔が広いほど速くなります。
ただし、間隔が広くなるとドミノがすべるようになり、速度は落ちるはずです。

最後に、高さhを変化させた場合です。(g=9.8, a=0.01, d=0.07, e=0.5)

h V(10) V(13) V(14)
0.07 1.20 1.21 1.27
0.10 1.01 1.01 1.06
0.15 0.82 0.82 0.87
0.20 0.71 0.71 0.75

hが大きくなると遅くなっています。
このような感じで、とりあえず自分では納得のいく結果が出ました。

補足日時:2007/03/21 02:39
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
この反発係数はおもしろいアイデアですね。
間隔を変えたらどうなるのか気になりますねぇ。
実測と合うのかどうか…うーん、気になる!

お礼日時:2007/02/25 01:35

おもしろそうなので考察してみました。

稚拙な導出で恐縮ですが、現実との差も調べてみました。

ドミノが倒れる伝播速度が加速していかないのは何故でしょう。一定長、一定質量の動的集団で形作られた波頭の運動エネルギに、過去の転倒で解放された位置エネルギが累積蓄積していかないのは何故か、そこに着目しました。位置エネルギが解放供給され続けるにもかかわらず、一定速度を保つという事は、当然ながら等量のエネルギ損失が生じているのです。転倒が伝播する時、後方から運動エネルギを受け取り、同時に自分が倒れる位置エネルギも追加して前方に受け渡すことになります。しかし損失により、正味の増加は零に維持されているという事です。この損失の主たるものは、ドミノの回転を経由して床を叩くエネルギだと考えました。前方へでなく下に向う運動で、早晩、振動的変形の損失へと消費されそうです。このエネルギは回転速度、すなわち伝播速度に2次比例し、一方で解放される位置エネルギは転倒頻度、すなわち速度に1次比例しますから、平衡速度が安定に存在できます。

一つのドミノの時々刻々をシーケンス的に追うのは大変です。そこで動的なドミノ集団に注目し、定常速度でこの集団に持ち込まれるエネルギ収支を、アンサンブル的にとらえてみます。この集団が倒れていくことによる位置エネルギは、後方から注がれている運動エネルギへ追加されますが、ちょうどその増分はドミノの回転として床を叩いて同時に散逸されると・・・。 条件として、ドミノの間隔は狭いとしましょう。そうすれば、衝突がオーバーラップし、前後に橋渡しされるエネルギが、一つのドミノで追加される位置エネルギを十分に上回り、ドミノの衝突にまつわる時々刻々が平準化されて、「回転速度脈動絡み」が取り除けます。 

さて、ドミノ同士衝突の際の損失、ドミノの厚さ、等々詳細を無視し、上記の釣り合いの本質から伝播速度を求めてみます。ドミノの高さをh、脈動を無視したドミノの回転周速をv、とします。底辺回り慣性モーメントI = (1/3) h^2 m (ただし厚さ無視)ですから、「転倒によって放出される位置エネルギ = 回転エネルギ」を表せば、
m g ( h/2 ) = (1/2) ( (1/3) h^2 m ) ( v/h )^2
となります。ここでmは集団の仮想的な総質量と考えても、あるいは一つあたりの質量と考えても良いでしょう。ただし後者の立場をとる時、両辺のmは数値的には等しくとも、概念的には同一個体のものではありません。いずれにせよmは消えますが・・・。

結局、周速は、v = √( 3 g h ) 、
伝播速度は、これより少し割り引いたものと推測されます。間隔が密でなかったり、表面摩擦が大きかったりすれば遅くなります。

さて、ドミノの高さだけに依存したこの簡単な式、現実との開きを評価してみましょう。ドミノ倒しの実例を探してみたところ、
iPodのドミノ倒し:
http://www.youtube.com/results?search_query=domi …
一円玉のドミノ倒し:

が見つかりましたが、目視では速度が読み取れません。音声を分析してみましょう。
Craving Explorer:
http://www.vector.co.jp/soft/dl/winnt/net/se4150 …
を使うと、音声がWAVファイルで取り出せます。それを、ミニ・デジタル・シグナル・スコープ:
http://www.vector.co.jp/soft/win95/art/se331671. …
で見てみました。

iPodの場合、1秒のスパンに17個の衝撃波形が見られます。iPodの高さは10 [cm]。間隔は 7 [cm]程度でしょうか。つまり、120 [cm/s]くらいと推察されます。一方で見積もり値ですが、重量分布や厚さが無視できるとし、v = √(3gh)が適応出来るとすれば、170 [cm/s] です。

一円玉の衝撃間隔はわかりにくいですが、その代わり、22個全部、約30cm長 が 0.5 秒で倒れている事が音声波形から読み取れます。つまり、60 [cm/s]くらいと推察されます。さてv=√(3gh)という式、円盤の慣性モーメントではv=√((16/5)gh)となります(大差ないですが)。一円玉直径2cmをhに入れると、80 [cm/s] と見積もられます。

各々、見積もりは、実測より3~4割大きめですが、単純なモデルの割に良くあうように思います。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。お礼が遅れて申し訳ありません。
かなり綺麗な式で表されてますね。
実測と近い値が出てとても満足です。
音声分析までしていただいて、本当にありがとうございました。

お礼日時:2007/02/25 01:09

ドミノ倒しの倒れていく速度を表す一般的な式はないと思います。

いろんな仮定で式を立てて推測することになるでしょう。誰かがやって発表しているかも知れません。サイトを探してみられてはどうですか。貴方がやってみるのもいいのではないでしょうか。

ドミノ倒しは縦波です。コツコツとぶつかって行って伝わります。縦波の例に音があります。音速は圧縮率を使って求めています。

ドミノ倒しの場合、一つのドミノが倒れて次のドミノにぶつかる時間tが分かれば速度の目安がつきます。ドミノの間隔dをこのtで割ったd/tが速さです。でもこのtの見積もりが難しいのです。tが一定になる条件も必要でしょう。dもtに影響します。dが大きいと次のドミノにぶつかるまでの時間が長くなるからです。もしtがdに比例するとすると速さはdに関係しなくなります。これは実験してみれば分かります。どういう量に関係するかを推測して実験を繰り返していくと式が求められるかも知れませんね。
直方体の物体が一つの辺を支点にして回転するという運動を出す場合は慣性モーメントが必要になるでしょう。ドミノがぶつかったときに次のドミノがどういう速さで倒れはじめるかは衝突の問題になります。衝突係数には材質が関係します。
ぶつかるときに次のドミノのどの位置にぶつかるかによっても変わります。それによって間隔に制限が付きます。
とにかくどれだけの量に関係するかを決めるのだけでも大変です。頑張って下さい。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
音速のように簡単な式で表されないかと期待したのですが、そんなに単純ではないようですね。
見た目は単純な現象でも深いものですね。
もう少しじっくりと考えてみようと思います。
ありがとうございました。

お礼日時:2007/02/19 22:15

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