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y'=x*x^x-1

で結局もとに戻ってしまうのですがそんな
はずは無いと思うんです。

答えのみでよいので教えてください。
(できれば導き方を教えていただければ幸いです)

A 回答 (4件)

高校生の方ですか?自然対数はlnで表現した方が自分は好きですが、見たことがないと思うのでlogを自然対数とします。


 まず、底の条件より
          x>0
で、このときy=x^xの両辺の自然対数をとります。
   logy=log(x^x)⇔logy=xlogx (∵対数の性質)
 次にこの式の両辺をxで微分します。
      y'/y=1*logx+x*(1/x)
⇔y'=y(logx+1)
⇔y'=x^x(logx+1) (∵y=x^xを代入)
この両辺の自然対数をとってから微分する解き方を
         「対数微分法」
といいます。ちょっと複雑な分数式やこのような普通には微分できない関数に有効です。
       
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両辺をlnするのがいやな場合



aが正の実数の時a^b=e^(b・ln(a))です
なぜならば両辺にlnを施せば両辺共にb・ln(a)だからです

従ってx^x=e^(x・ln(x))だから
(x^x)’=(e^(x・ln(x)))’=
e^(x・ln(x))・(x・ln(x))’=
e^(x・ln(x))・(ln(x)+1)=
x^x・(ln(x)+1)
と一発で求まります

さらにx^x^x=e^(x^x・ln(x))だから
上の結果(x^x)’=x^x・(ln(x)+1)を使って
(x^x^x)’=(e^(x^x・ln(x)))’=
e^(x^x・ln(x))・(x^x・ln(x))’=
x^x^x・((x^x)’・ln(x)+x^(x-1))=
x^x^x・((x^x・(ln(x)+1))・ln(x)+x^(x-1))です

さらにこの結果を利用すればx^x^x^xの微分もできます
(x^x^x^x)’を補足に記入してみてください
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正解が


(x^x)' = (x^x)・[(log x) + 1]
となることを理解したら、今度は
(誤) (x^x)' = x・x^(x - 1) = x^x
のどこがおかしいのかを理解すれば完璧です。
確かに、
(x^n)' = n・x^(n - 1)
という公式は存在します。例えば
(x^3)' = 3・x^2
(1 / x^2)' = [x^(-2)]' = -2・x^(-3) = -2 / x^3
(√x)' = [x^(1/2)]' = (1/2)・x^(-1/2) = 1 / 2√x
というふうに、適用範囲は広いです。
しかし、注意すべきことは、
「この公式は『nが定数である』という設定のもとで導かれたものである」
ということです。
例えば「2^x」といった「指数関数」の微分で、
(誤) (2^x)' = x・2^(x - 1)
などと用いてはなりません。
「x^x」の微分も同様です。

なお、
「微分して元に戻るなんておかしい」ということはありません。
有名な「e^x」は何回微分しても「e^x」のままですね。

y-syun00さんがどの辺まで学習を進めておられるのか
私には分からないので、不明な点があるかもしれません。
もしそうならば質問を補足してください(^^)
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xを実数とすると0<xでないとx^xが意味を持たない場合があるので0<xとします


従って0<yです

y=x^x
両辺をlogeして
loge(y)=x・loge(x)
両辺を微分して
y’/y=loge(x)+1
従って
y’=y・loge(x)+y=x^x・loge(x)+x^x
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