試験勉強として、近代科学社から出版されている教科書の
章末演習問題をやっているのですが、
証明問題は略解も省略されていて、解答できない問題があります。

その1
 ある集合S上の同値関係Rによって生成される同値類[a]と同値類[b]において、
いかが成り立つことを示せ。
・aが[b]の要素でないa(aは[a]の要素)が存在することと、
[a]かつ[b]=(空集合)が成り立つことは同値である。

その2
 Qを有理数全体とし、K={a+b√2 | a,bはQの要素}において、
和+ 積 X を定義すると、(K;+,X)は、
実数体(R;+,X)の部分体であることを証明せよ。

という2問の証明ついて誰か教えてください。
 
 他の演習問題も同じようなやり方で解けるものがあると思うもですが、
証明の仕方の例すらないので、まったくどうアプローチしていいかわかりません。

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A 回答 (4件)

どちらも、用語の意味を理解していれば自明と言える問題です。

問題が解けないという以前に、まず概念の理解をしなくては駄目ですね。教科書の定義をよく読み返してみれば、簡単にできるはずなんですが....

その1
 ある集合S上の同値関係Rによって生成される同値類[a]と同値類[b]において、
いかが成り立つことを示せ。
・aが[b]の要素でないa(aは[a]の要素)が存在することと、
[a]かつ[b]=(空集合)が成り立つことは同値である。

同値類とは同値関係で結ばれたもの同士でRを分類して作った部分集合のことです。以下読みやすいようにRの代わりに~を使います。
同値関係~とは、p~q⇒q~p(反射律), p~q ∧ q~r ⇒ p~r(推移律)が成り立つ2項関係のこと。[a]とはx~aであるようなxの集合という意味です。
十分性: [a]かつ[b]=(空集合)が成り立つ:すなわち、[a]∩[b]=φ言い換えれば∀x;¬(x∈[a]∧x∈[b])が成り立つとします。つまりx∈[a]であり同時に x∈[b]であるようなxは存在しない。一方、a∈[a]ですから、x∈[a]であるようなxは存在する(x=aとすれば良い。)従って、∃x; x∈[a]である。以上から、∃x; (x∈[a]∧¬(x∈[a]∧x∈[b]))ゆえに、∃x; (x∈[a]∧¬x∈[b])となります。x=aとおけば、a∈[a]∧¬a∈[b]ですね。
必要性:  x∈[a]となるxが存在することは自明です。どのx∈[a]も[b]にも含まれるとします。∀x: x∈[a] ∧ x∈[b]。同値類の定義から、x~aかつx~bであり、従ってa~b。ゆえに[a]=[b]ということになる。[a]は空集合ではないから、[a]∩[a] は空集合でない。
これで命題の同値性が証明されました。

その2
 Qを有理数全体とし、K={a+b√2 | a,bはQの要素}において、
和+ 積 X を定義すると、(K;+,X)は、
実数体(R;+,X)の部分体であることを証明せよ。

体というのは、+と×について閉じていて、+に関する逆元が存在し、また零元を除くどの元についても×に関する逆元が存在するもの。K⊂Rは自明ですから、あとはKが体であることを証明すればいいんです。
単位元1∈K、零元0∈K、そしてa+b√2の+に関する逆元は-a-b√2∈K。×に関する逆元は1/(a+b√2) = (a-b√2)/(a^2-2b^2)=a/(a^2-2b^2) - {b/(a^2-2b^2)}√2∈K。あと、足し算とかけ算について閉じている(x∈K∧y∈K ならば x+y∈K, x×y∈K)を証明するのはご自分で。
これでおしまいです。

なお、^2は二乗、¬は否定、∧は「かつ」の意味です。念のため。
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訂正します。

最初の回答の中で、

> 同値類とは同値関係で結ばれたもの同士でRを分類して作った部分集合

という記載がありますが、これは「同値類とは同値関係で結ばれたもの同士でSを分類して作った部分集合」の間違いです。
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この回答へのお礼

わかりやすい解説ありがとうございました。
教科書よりわかりやすかったです^^

お礼日時:2001/01/18 11:52

自明だとは思いますが、一応念のため補足しておきます。


 その2において、a+b√2≠0の場合に×に関する逆元を作る際に、分母(a^2-2b^2)がゼロになることはない、というのはa,bが有理数であることから証明されます。
 もしa^2=2b^2となる0でない有理数a,bが存在するのなら、a=√2 b、従って、√2=a/bとなり、√2が有理数である、ということになってしまうからですね。
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ちょっと書き間違いをしました。


> どのx∈[a]も[b]にも含まれるとします。∀x: x∈[a] ∧ x∈[b]。
のところは、∀x: (x∈[a] → x∈[b])が正解です。
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Q9月からのX-LEAGUE(EAST)の日程を教えてください!

タイトルのとおりです。
9月から始まるX-LEAGUEの日程をどうか教えてください!

Aベストアンサー

シーガルズのオフィシャルサイトにありました。
http://www.seagulls.jp/sgs/play/

参考URL:http://www.seagulls.jp/sgs/play/

Q∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx の証明

ある本(微分積分学)を読んでいて、次のような定理の証明を考えています。

有界なf(x),g(x)が[a,b]でリーマン積分可能であるとき、f(x)+g(x)もそうであり、∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dxが成り立つ。

定積分に関するごく初歩的な定理ですが、これを、上限と下限の不等式を使って証明しようとしているのですが、うまくいきません。ヒントには次のようになっています。

#以下の記述ですが、上の本は記号の表示に誤りを含んでいるように思われましたので正しい表示に直してあります。

ヒント
fに対する不足和、過剰和を、それぞれ、 s(f,Δ)、S(f,Δ)というふうに書けば、s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ) に注意せよ。

同書の略解
分割Δの小区間[a(i-1),a(i)]における f+g,f,g の下限をm(i),n(i),p(i)とすれば m(i)≧n(i)+p(i)、ゆえにs(f,Δ)+ s(g,Δ)=Σn(i)(a(i)-a(i-1)) + Σp(i)(a(i)-a(i-1))≦Σm(i)(a(i)-a(i-1))=s(f+g,Δ)同様にS(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ) だから、inf(S(f,Δ))=sup(s(f,Δ))、inf(S(g,Δ))=sup(s(g,Δ))なら、inf(S(f+g,Δ))=sup(s(f+g,Δ))=、sup(s(f,Δ))+sup(s(g,Δ))

となっていますが、最後の等式がどうしても出てきません(その前までは理解できました)。行間を埋めていただけるとありがたいです。

s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)

からそれぞれの辺のsup、infを考えるとできるのではないかとも思われるのですが、どうしてもわかりませんでした。

よろしくお願いいたします。

ある本(微分積分学)を読んでいて、次のような定理の証明を考えています。

有界なf(x),g(x)が[a,b]でリーマン積分可能であるとき、f(x)+g(x)もそうであり、∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dxが成り立つ。

定積分に関するごく初歩的な定理ですが、これを、上限と下限の不等式を使って証明しようとしているのですが、うまくいきません。ヒントには次のようになっています。

#以下の記述ですが、上の本は記号の表示に誤りを含んでいるように思われましたので正しい表示に直してあります。

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Aベストアンサー

おそらく、同じ分割Δに対して、不等式、
s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)
を考えているからわかりにくいのだと思います。

分割Δ1と分割Δ2を合体させた分割をΔ3とします。
Δ1の分割点x1,…,xmと、Δ2の分割点y1,…,ynを合わせた分割点
x1,…,xm,y1,…,ynによって[a,b]を分割するのがΔ3という意味。

小区間[x(i-1),xi]が2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]に分割された
とすると、小区間[x(i-1),xi]でのinf(f)(xi-x(i-1))よりも、
2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]での
inf(f)(yj-x(i-1))+inf(f)(xi-yj)の方が大きくなる。
sup(f)では逆に小さくなる。
(グラフを描いてみればわかると思います)

すなわち、分割を細かくすると、不足和は大きく、過剰和は小さくな
る。

なので、s(f,Δ1)≦s(f,Δ3)、s(g,Δ2)≦s(g,Δ3)
辺々足して、
s(f,Δ1)+s(g,Δ2)≦s(f,Δ3)+s(g,Δ3)
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ください。

このように、別個の分割に対する不等式が示せたので、
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たのでは、やや曖昧な気がします。

しかし、私の大学時代の関数論が専門の教授は、一松信先生は大先生
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おそらく、本の中で論理は通っているものと思われますが・・・

おそらく、同じ分割Δに対して、不等式、
s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)
を考えているからわかりにくいのだと思います。

分割Δ1と分割Δ2を合体させた分割をΔ3とします。
Δ1の分割点x1,…,xmと、Δ2の分割点y1,…,ynを合わせた分割点
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とすると、小区間[x(i-1),xi]でのinf(f)(xi-x(i-1))よりも、
2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]での
inf(f)(yj-x(i...続きを読む

QThe Art Students League of New Yorkを日本で取り扱っているエージェント

妻が6月から1年間The Art Students League of New Yorkへの留学を考えています。
現在、直接資料請求等行っているところですが、時間もそれほどありませんし、日本にこの学校を扱うエージェントがあるなら、料金しだいではお願いしようかと思っています。
どなたか、この学校の取り扱い実績のあるエージェントをお知りではないでしょうか?
回答よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

エージェントに何を取り扱いしてほしいかによって回答が違ってくると思うのですがどんな 取り扱いをしてもらいたいのでしょうか?

まず私の経験から言うと
取り扱い実績のある学校しか取り扱わないエージェントもありますが 基本的に取り扱いをしていなくても 代行的な作業はどこのエージェントでもしてくれるとおもいます。 反対に実績があっても無理な場合もあると念押しをされるという場合があります。 その場合 第二候補などの学校も同時に申し込みされたほうがいいという場合もあります
実際取り扱い実績がありましても 留学先の学校が入学生徒の人数制限などある学校もあります
 
ご自分で手続きを進められる予定だったみたいですので信頼できるエージェントを探しながら 同時にご自分での手続きも進めていかれたらどうでしょうか?
6月からですのでまだ時間もありますし 金額もかかるので…

The Art Students League of New YorkのHPをちょっと見てみたんですが mail add が見たところでは 見落としてるかもしれませんがないので phone と Fax 番号があったので 直接連絡されてみたらいかがでしょうか?

聞きたい事を書いてFAXすればアドミッションオフィスがしっかりしている学校でしたら すぐに回答はくると思います
たとえば資料請求しているのでしたら それが送付されているかどうかも聞けると思いますし
取りたいクラスの空き状況もきけると思います
資料も至急送付して欲しいとも伝えれますし
速達でともいえると思います
速達の場合追加金額を払えばすぐきますよ

ちなみに
他校ですがアメリカに留学し卒業してから8年以上たいちますが 在学中の資料請求したり 成績証明書を取り寄せる時に必要金額がある場合クレジットカード番号を書いて要求事項を書いてfaxを送ると今でも先日リクエストしましたがすぐに送付されてきてます

student visaも資料をそろえて領事館に行ってその場ですぐとれましたので

お役に立てたかわかりませんが
頑張って手続きしてくださいね

エージェントに何を取り扱いしてほしいかによって回答が違ってくると思うのですがどんな 取り扱いをしてもらいたいのでしょうか?

まず私の経験から言うと
取り扱い実績のある学校しか取り扱わないエージェントもありますが 基本的に取り扱いをしていなくても 代行的な作業はどこのエージェントでもしてくれるとおもいます。 反対に実績があっても無理な場合もあると念押しをされるという場合があります。 その場合 第二候補などの学校も同時に申し込みされたほうがいいという場合もあります
実際取り...続きを読む

Q数列a[n+1]=a[n]/(1+a[n])^2,a[1]=1/2

数列a[n+1]=a[n]/(1+a[n])^2,a[1]=1/2
のとき、
lim[n->∞](a[1]+・・・・+a[n])/n の値を求めよ。
(小問で、1/a[n]>2nは解決済み。)

はさみうちをするのだとは思うのであるが、その前のひと工夫がわからない。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>はさみうちをするのだとは思うのであるが、その前のひと工夫がわからない。

ひと工夫ってこんなこと?小問の利用?

0<(1/n)Σ[k=1,n]a[n]/n<(1/n)Σ(1/2k)=(1/2n)(∫[1,n]dx/x+1)
これで、n→∞ とすればよい。

Qjapan baseball league β がなくなってしまいました

 japan baseball league β という、野球のオンラインゲームがあって、ずっとやっていたのですが、ある日突然そのゲームがなくなってしまいました。そのページにアクセスしても、「このページは表示されません」みたいなのがでてきます。もちろん更新ボタンをクリックしても変わりません。
 事情を知っている方はぜひ教えてください。

Aベストアンサー

β版だったのでしょうか?
おそらくですが、オープンβでの稼働だったのではないでしょうか?
正式稼働する前にクローズβ(応募して選ばれた小人数)とオープンβ(登録すればだれでもできる)が在るのですが。
遊ばれてたのは、オープンβ版だったのでしょうね。
正式に稼働する前にゲームを公開してる会社の方針が合わなくなり(清算が取れるかとか)
で 正式稼働を止めたのだと思います。
課金制とか課金アイテム制かは、判りませんが
課金できない状態、又は始まってない状態だったら お金が関わらないので、行き成り無くなるかもしれませんまね。

Qexp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

フィボナッチ数列F[n]は、
F[1]=1,F[2]=1,F[n+2]=F[n+1]+F[n]
で定義され、リュカ数列L[n]は、
L[1]=1,L[2]=3,L[n+2]=L[n+1]+L[n]
で定義されます。このとき、

exp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

が成り立つそうなのですが、どうしてなのですか?

右辺は、フィボナッチ数列の母関数と似ていてなんとか求められるのですが、左辺をどうして求めていいかわかりません。

なお、式は
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
の(68)を参照しました。

Aベストアンサー

↓ここに証明がありますね。
http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf
(2.7 A surprising sum を見てください。)

参考URL:http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf

Q2^a=3^bを満たす整数(正の整数、0、負の整数)はa=b=0のみ。これは2と3に限った話なのか。

2^a=3^bを満たす整数(正の整数、0、負の整数)はa=b=0のみですがこれは2と3に限った話なのか。
それとも
A^a=B^bとおくと
4^a=5^b
2^a=4^b
などのようにA,Bは正の整数ならばなんでもいいのか。それともA,Bは互いに素など条件がありますか。

A,Bともに正の整数でかつA,Bは互いに素のときA^a=B^bを満たす整数a,bはa=b=0のみ。
なのか
A,Bともに正の整数のときA^a=B^bを満たす整数a,bはa=b=0のみ。
なのか。どちらですか。

さらにA,Bは負の整数、0ではダメだと思っていますがこれは正しいでしょうか。

Aベストアンサー

A^a=B^b で、AとBが互いに素でなければ、a=b=0以外が存在します。

2^2=4^1
6^2=3^4

81^a=64^b は、a=b=0 のみ

Q確率E[aX+b]=a[X]+bの証明について

基本的な部分ですが、すっきりせず困っています。
確率変数Xに対し、新しい確率変数aX+bを考えたとき、
E[a*X+b]=Σ{(a*x_i+b)*f(x_i)} ------------------(*)
=Σ{(a*x_i)*f(x_i)}+Σ{b*f(x_i)}
=a*Σ{(x_i)*f(x_i)}+b*Σ{f(x_i)}
=a*E[X]+b*1
=a*E[X]+b
という証明がよく教科書に載っていると思います。
しかし、確率変数Xが確率分布f(x)に従うとき、
E[X]=Σ{(x_i)*f(x_i)}=x_1*f(x_1)+x_2*f(x_2)+…+x_n*f(x_n)
ですから、確率変数がXからaX+bになると、掛け合わせる確率分布もf(aX+b)でなければならず、結局、(*)式は
E[a*X+b]=Σ{(a*x_i+b)*f(a*x_i+b)}
のようになると思うのですが・・・。
でもそれだとE[aX+b]=a[X]+bにならないですよね・・・。何か勘違いをしているでしょうか?もしわかる方がおられましたら、どうぞご助力下さい。

基本的な部分ですが、すっきりせず困っています。
確率変数Xに対し、新しい確率変数aX+bを考えたとき、
E[a*X+b]=Σ{(a*x_i+b)*f(x_i)} ------------------(*)
=Σ{(a*x_i)*f(x_i)}+Σ{b*f(x_i)}
=a*Σ{(x_i)*f(x_i)}+b*Σ{f(x_i)}
=a*E[X]+b*1
=a*E[X]+b
という証明がよく教科書に載っていると思います。
しかし、確率変数Xが確率分布f(x)に従うとき、
E[X]=Σ{(x_i)*f(x_i)}=x_1*f(x_1)+x_2*f(x_2)+…+x_n*f(x_n)
ですから、確率変数がXからaX+bになると、掛け合わせる...続きを読む

Aベストアンサー

f(x_i) は、確率変数 X が値 x_i をとる確率です。
新しい確率変数 aX+b とは、X が値 x_i をとるときに値 a(x_i)+b をとるような確率変数
という意味だったのではないですか? ならば、
aX+b が値 a(x_i)+b をとる確率は、X が値 x_i をとる確率と同じ f(x_i) であるハズです。

QTr[sl[a]sl[b]]=a・bの計算について

Tr[sl[a]sl[b]]=a・bの計算について教えてください。

aのスラッシュをsl[a]、bのスラッシュをsl[b]とすると下記のようになると思います。
sl[a]={{a0,0,a3,a1-a2 i},{0,a0,a1+a2 i,-a3},{-a3,-a1+a2 i,-a0,0},{-a1-a2 i,a3,0,-a0}};
sl[b]={{b0,0,b3,b1-b2 i},{0,b0,b1+b2 i,-b3},{-b3,-b1+b2 i,-b0,0},{-b1-b2 i,b3,0,-b0}};
この積のトレースは、
Tr[sl[a].sl[b]]=4 a0 b0-4 a3 b3+(a1-a2 i) (-b1-b2 i)+(-a1-a2 i) (b1-b2 i)+(a1+a2 i) (-b1+b2 i)+(-a1+a2 i) (b1+b2 i);
となります。
また、a・bは、下記になると思います。
a・b={{a0 b0-a1 b1-a2 b2-a3 b3,0,0,0},{0,a0 b0-a1 b1-a2 b2-a3 b3,0,0},{0,0,a0 b0-a1 b1-a2 b2-a3 b3,0},{0,0,0,a0 b0-a1 b1-a2 b2-a3 b3}};
このトレースは、
Tr[a・b]=4 a0 b0-4 a1 b1-4 a2 b2-4 a3 b3;
になります。引き算をすると、
Tr[sl[a].sl[b]]-Tr[a・b]=0;
となります。

質問1、
Tr[sl[a]sl[b]]=a・bは、Tr[sl[a].sl[b]]-Tr[a・b]=0;でよろしいのでしょうか?
自分では、納得できませんが?

質問2、
sl[a].sl[b]は、多分、非対角成分が0でないはずですが、トレースを取るということは、対角成分のみを拾い出すことになりますが、非対角成分は廃棄して良いのでしょうか?

Tr[sl[a]sl[b]]=a・bの計算について教えてください。

aのスラッシュをsl[a]、bのスラッシュをsl[b]とすると下記のようになると思います。
sl[a]={{a0,0,a3,a1-a2 i},{0,a0,a1+a2 i,-a3},{-a3,-a1+a2 i,-a0,0},{-a1-a2 i,a3,0,-a0}};
sl[b]={{b0,0,b3,b1-b2 i},{0,b0,b1+b2 i,-b3},{-b3,-b1+b2 i,-b0,0},{-b1-b2 i,b3,0,-b0}};
この積のトレースは、
Tr[sl[a].sl[b]]=4 a0 b0-4 a3 b3+(a1-a2 i) (-b1-b2 i)+(-a1-a2 i) (b1-b2 i)+(a1+a2 i) (-b1+b2 i)+(-a1+a2 i) (b1+b2 i);
となります。
また、a・bは...続きを読む

Aベストアンサー

(1) 4次元運動量の共変成分(添字が下の成分)をp0,p1p2,p3としたときsl[p]の定義は
 sl[p] ≡ p0γ0u + p1γ1u + p2γ2u + p3γ3u
です。質量を0にしたからといってp0が0になったりしません。 4次元ベクトルの内積も
 p・k ≡ p0k0 - p1k1 - p2k2 - p3k3
(2) 質量をmとすると
 p^2 ≡ p0^2 - p1^2 - p2^2 - p3^2 = m^2
質量0はp0^2 - p1^2 - p2^2 - p3^2 が0になるということであって、p1^2 やp2^2 や p3^2のそれぞれが0になることではありません。k^2についても同じ。
(3) Mathematica で虚数単位は小文字のiではなく、大文字の I またはパレットから選んで入力するようです。

QA=([a,b],[c,d])に対し,A^2+xA+yE=0,E=([

A=([a,b],[c,d])に対し,A^2+xA+yE=0,E=([1,0],[0,1])となるx,yを求めよ。できるだけ詳しく教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

> x,yを求めよ。とあると,
> 文字を使わない数字で答えが出なければいけないと思ってるのですが

文字にも「既知量」の文字と「未知量」の文字があります。
今の場合、a, b, c, d が既知量の文字として与えられているので、
x = (a,b,c,d の式)
y = (a,b,c,d の式)
の形であらわせ、というのが、ここで求められていることです。

ちなみに k は問題文中にありません。 注意してください。
(alice_44さんの解答の意味を分かっていれば k を a,b,c,d に関係づけるのは簡単なことですが、ここにはあえて書きません。 自分で考えないと勉強にならないから。)

あと「初心者」ということですが、だったらケーリー・ハミルトンみたいな「教えてもらった便利な公式」に頼るのはそれこそ邪道であって、正直にA^2を計算して連立方程式に持ち込むべきでしょう。 しょせんxとyについての連立1次方程式なのですから。


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