対角線の積

「半径１の円に内接する正n角形の一頂点から他の全ての頂点にひいた線分の長さの積はnになる」
ということを証明したいのですが…

外接円を原点中心の単位円とし一頂点A0を(1,0)にとります。
また円上に反時計回りに等間隔にA1,A2,…,A(n-1)をとります。
このとき余弦定理から
(A0Akの長さ)^2=1+1-2*1*1*cos(2π/n)
=2-2cos(2π/n)=4sin^2(π/n)
ゆえ求める積は
Π[k=1～n-1]2sin(π/n)

と変形したところで行き詰ってしまいました。
どのようにすれば証明できるでしょうか。

No.3 ベストアンサー 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/03/25 10:37

見付けたので貼っておこう。

直接的な証明は思い付かんかった。

参考URL：http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/column/col98.html

この回答へのお礼

とても参考になりました。ありがとうございます。
証明が技巧的で面白いですね。

お礼日時：2007/03/25 22:54

No.2 回答者： pocopeco 回答日時： 2007/03/24 22:52

すみません。

間違えました。

(A0Akの長さ)^2=1+1-｜2*1*1*cos(2πk/n)｜
=2-｜2cos(2πk/n)｜=4sin^2(πk/n)

式の途中に絶対値をとる必要がありますが、
最終的には同じです。

以下も絶対値が必要
Π[k=1～n-1]2｜sin(πk/n)｜

この回答への補足

申し訳ありません。写し間違いをしておりました。
その後の変形ができないのですが、どうすればよいでしょうか。

補足日時：2007/03/24 23:28

No.1 回答者： pocopeco 回答日時： 2007/03/24 22:45

間違いを訂正します

(A0Akの長さ)^2=1+1-2*1*1*cos(2πk/n)
=2-2cos(2πk/n)=4sin^2(πk/n)