No.6ベストアンサー
- 回答日時:
#5 は、図形の変換にこだわり過ぎた暴論でした。
実戦的なのは、四辺形に座標を設定してしまう方法かも知れません。
四辺形の頂点を P0=(X0,X0),P1=(X1,Y1),P2=(X2,Y2),P3=(X3,Y3) として、P0 を原点、P1 を横軸、P2 を縦軸、と想定。
線分 P0-P1 上の点を {s*X0+(1-s)X1, s*Y0+(1-s)Y1} と凸表現(0≦s≦1)して、s座標を定義する。
線分 P2-P3 上でもs座標を定義する。< {s*X2+(1-s)X3, s*Y2+(1-s)Y3} >
線分 P0-P1 上と線分 P2-P3 上とで同じsの点同士は、s座標が同一とみなす。
同様にして、線分 P0-P2 上と線分 P1-P3 上でt座標を定義し、両線分上同じtの点同士は、t座標が同一とみなす。
たとえば、 {t*X0+(1-t)X2, t*Y0+(1-t)Y2} (0≦t≦1) 。
基本的な考えはこれだけです。
これを四辺形内部へ拡張できるのか否か、未検討です。吟味してみてください。
(うまくいけば、結果は辺長が1の正方形なので、所望のスケーリングをします)
多くの回答ありがとうございます。
#5は少々難解で、理解に手間取っていました。
本回答はかなり的を射ていると思います。
検証してみます
ありがとうございました。
No.5
- 回答日時:
#4 です。
>一般には「等角写像」で取り扱う問題のようです。
これは軽はずみでした。明らかに変換前後は「等角」じゃありませんね。
座標ずれの比率が低ければ、つぎの手で近似できそうです。(等角性は保持できませんけど.... )
-----------------------------------------------
(0) まず、回転 & 平行移動して四辺形の底辺をX軸上にのせ、一端を原点に合わせておく。
以下では、X-Y座標を複素平面とみなす。i.e. Z=X+iY=R(θ)*EXP[i*a(θ)]
四頂点の(R,θ) : P0=(0,0),P1=(R1,θ1=0),P2=(R2,θ2),P3=(R3,θ3)
(1) θ変換 : Lagrange 多項式 L2(θ) を作り、a(θ)=θ+ L2(θ) とする。
L2(θ1)=0, L2(θ2)=(π/2)-θ2, L2(θ3)=atan(R2/R1)
この変換で、P2は虚軸上へ、P3は長方形の対角線上へと移る。
(2) R変換 : Lagrange 多項式 R(θ) を作り、R(θ)=R+G2(θ)とする。
G2(θ1)=0, G2(θ2)=0, G2(θ3)=sqrt(R1^2+R2^2)-R(θ3)
< G2(θ)=θ(θ-θ2)/{θ3(θ3-θ2)}*{sqrt(R1^2+R2^2)-R(θ3)} >
この変換で、P3は長方形頂点の位置に移る。
怪しげなので座標変換式は省略します。くどいようですが、出来上がりは近似的な長方形です。
No.4
- 回答日時:
座標ひずみを表現する簡単な数式があれば、それを逆にたどれるのでしょうが。
一般には「等角写像」で取り扱う問題のようです。
内容豊富だがかなり古い「等角写像事典」があります。
図書館などで見れるかも。
-----------------------------------------------------------
Kober, H. Dictionary of Conformal Representations. New York: Dover, 1957.
http://mathworld.wolfram.com/ConformalMapping.html
No.3
- 回答日時:
四角形PQRSを,定長方形ABCDに変換したいということですね。
一次式による変換(アフィン変換)
x'=ax+cy+e
y'=bx+dy+f
では,平行四辺形が平行四辺形に移りますから,無理です。
ただ単に,P→A,Q→B,R→C,S→D にするだけなら,いろいろできますが,
中にある点がめちゃくちゃに移ってはいけないでしょう。
最低,これこれの条件を満たしてほしい,ということがあるのではないでしょうか。
No.2
- 回答日時:
全くの専門外で,あて外れかもしれませんが・・・
任意の凸四角形ABCDについて,その対角線ACとBDの交点をOとし,
点Oから,半直線OA,OB,OC,OD上の等距離にある4点を適宜とって,それらを順に,A’,B’,C’,D’とします.
すると,OA’= OB’= OC’= OD’ となっているから,
四角形A’B’C’D’は長方形になっています.
後は,個々の三角形について,適当な座標変換をすれば,
つまり,三角形OAB → 三角形OA’B’
三角形OBC → 三角形OB’C’
三角形OCD → 三角形OC’D’
三角形ODA → 三角形OD’A’
の座標変換は(ベクトルなどの考え方で)たやすく見つかるでしょうから,
それらのトータルして,四角形ABCD → 長方形A’B’C’D’
の変換が決められると思うのですが,どうでしょう?
これではダメかな?
この回答への補足
回答ありがとうございます。
私の説明不足で申し訳ありません。
変換後の四角形は、変換前の図形から求めるものではなく、すでに決まった固定座標になります。
それと対角線の交点を中心とすると、それぞれの3角形での変換比率が異なってしまいちょっと都合が悪くなります。
No.1
- 回答日時:
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