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僕は京大目指して数学の勉強を独学でしているのですが、
たまに解答に~~だからこのとき確かに成立する、とか
解説にこの時十分であることを示さなければいけない、とか
でてきます。数学好きなのにたまに出てくるこれらの意味が全く分かりません。
どういう時に逆に成立する事を確かめなければいけないのでしょうか?
また、十分条件についても教えてください・・。
お願いします。

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A 回答 (4件)

全般的な話しは既に回答されているとおりと思いますので,


蛇足ながらよく議論になる具体例を1つ追加してみます.

例題:[部分分数分解]
    1/(x-2)(x+1) = A/(x-2) + B/(x+1)
    が(常に)成り立つような定数A,B を求めよ.

この問題では,
   (1) x は,x = 2, -1 以外の任意の実数
   (2) このような実定数A,B は存在する
といったことが,題意として「暗黙の前提」となっています.

ここで「普通の解法」としては,
右辺をまとめて,恒等式の性質から,連立方程式を解いて求めるでしょうが,別解として,
別解:このような実定数A,Bがあったとしたら,
   与式の両辺に(x-2)(x+1) をかけて,
     1 = A(x+1)+B(x-2) ・・・(3)
   ここで,この式は(1) よりxについての恒等式だから,
   x = 2 のときを考えると,(3) の式は
     1=A*3
   となり,
     A=1/3 ・・・(4)
   と求まります(!?)
   同様にして,
   x = -1 のときを考えると,
     1=B*(-3)
   となり,
     B=-1/3 ・・・(5)
   と求まります(!?)

さあ,この別解は正しいでしょうか?

実はこの答(4),(5) は「正解」です.
しかし,この別解では,もし解があったとしたらこうならないといけない,
という最低限必要な条件(いわゆる「必要条件」)を示しているだけであって,
この答(条件)であれば十分だ(いわゆる「十分条件」),ということはまだ示されていない,
ということなのです!

つまり,この「別解」では正確には,
答が出た(4),(5) の後で,これらの値を(初めの)与式にそれぞれ代入して,
与式を満たしていることを確かめないといけないのです!

この確かめによって,(4),(5) で出てきた答が,
   与えられた条件を十分に満たす答
である,ということが示されて,「正解」となります.

ですから,こうした問題の場合には,「逆」も確かめないといけないのです.
(なお,入試などで答だけ書けばいいような場合に,
この例題ような問題の答を求めるのには,実際に「逆」まで確かめる必要はないでしょう.)
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うううう難問 徒然なるままに・・・



1、原則的な事は書けますが。
2、式変形のとき。
この変形は同値変形、これはそうじゃない。明白に意識できた時はOK。連立一次の時はOK。連立2次以上は経験上は無縁解に出会った事がない。
3、軌跡 これは曖昧 教科書さへ単に<逆も成り立つと書いて>誤魔(胡麻)化してある。ただ、逆の検証用・不要は無意識にわかるはず。
4、PARAMETER消去、文字消去
文字消去の時は逆どころか、完全誤答もありうる。今は昔、東大の問題で、(a+b,ab)の軌跡で判別式使用に気が付かず完全誤答、いまだにこの形を見ると、判別式虎馬。CHART曰く、虎は死して皮を残し、文字は死して変域を残す。やや脱線。ともかく怖い。PARAMETERでは著名な例として、cosθ=(1-t^2)/(1+t^2),sinθ=2t/(1+t^2) 所謂軌跡の限界、これは何度か見かけた、だいたい判断できるはず。
5、そもそも、逆が問題になるのは100問中何問あるんだろう。微積・行列・漸化式・函数・・・まずない。京大でもあまり記憶はない。
当方は逆で失敗した経験がない。というより、問題そのものがとけなかった。問題文に<必要とか充分とか記載されていれば別だが>。極端に言えば入学試験は数学5割でOK、そのかわり他教科は全て8割。

6.以上、貴殿にとっては全て既知と推測できる。何かひとつでも参考になる事はないかと呻吟しているがでてこない。
7.無意識に答を与式に代入(常識) 
8.微妙な問題があるのは確か。
9.当方は、国語5割、英語9割、世界史9割、物理8割、化学8割、そして数学6割で合格確信。
 I GAVE UP    SEE  YOU
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>たまに解答に~~だからこのとき確かに成立する、とか解説にこの時十分であることを示さなければいけない、とかでてきます。



中途半端なマニュアル風のコメントになりますが....。

(1) 提示された命題の条件を導く設問だったら「十分であることを示さなければいけない」。
(2) 計算問題でも演算の過程で原題とは異なる式の解がまぎれこんでしまう場合には、原題を成立させる解だけを
  選別してみせなきゃいけない。(無理方程式を二乗して解いたときなど)

ほかにもありそうですが、いつでもやるべきことではないと愚考します。(下手にやるとバカ呼ばわりされそう)
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>どういう時に逆に成立する事を確かめなければいけないのでしょうか?


 軌跡の問題には、「逆にこのとき、上の条件を満たす」というのが必要。また、恒等式の問題でも、「逆に・・・・」という文章が必要になります。
>十分条件についても教えてください・・。
 pとqの集合があり、pがqであるための□条件である。
このとき、p⇒qなら「十分条件」
     q⇒pなら「必要条件」

参考書のことを書いただけですが・・・・。
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この回答へのお礼

有難うございます。

お礼日時:2007/03/26 20:51

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Q必要条件と「逆に、このとき…」

lim x→-1 (x^3 + ax + b)/(x+1) =2
この等式が成り立つように定数a,bの値を定めよ。

のような、必要条件
 lim x→c f(x)/g(x) =d かつ lim x→c g(x) =0 ならば、
 lim x→c f(x) =0
を用いる問題で、
「体系数学」という教科書には、
「逆に、このとき…」という記述が必要だと書いていましたが、
青チャートには、
必要条件(b=a+1)を使って実際に極限を計算して、
=2となるように求めたa,bは、
与えられた等式が成り立つための必要十分条件であるから、
「逆に、このとき…」の記述は必要ないと書かれていました。

どちらが正しいのでしょうか?

Aベストアンサー

基本的には、十分条件の確認は必要。
一般論として、他の趣の異なる問題で、明らかに必要十分条件である場合は許されるとして。。。。

>青チャートには、必要条件(b=a+1)を使って実際に極限を計算して、=2となるように求めたa,bは、与えられた等式が成り立つための必要十分条件であるから、「逆に、このとき…」の記述は必要ないと書かれていました。

チャートの解を質問者の文面通りに解釈する。

この種の問題で、必要条件として求めたものが、十分条件でもある事は経験的に知っているが、チャートのように済ませるなら、論証が必要。
(その場合、その論証が十分条件の確認になってしまう)
それが出来るなら、チャートの解でも許されるだろう。
ただ“必要十分条件である”と書いただけなら、入試で減点の可能性はある。
必要条件として求めて十分条件でもある事を確認した答案と、論証もなしに必要十分条件であると書いた答案と2種類の答案が出てきたら、採点官が2つの答案に、差をつけても不思議ではない。

チャートは所詮は参考書、教科書ではない。

Qジアンミン銀(I)イオンの反応

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Aベストアンサー

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