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ある本に、不定積分
∫x^2 sin x dx
が40秒で解けると書いてありました。

普通の解法は部分積分を2回用いる方法だと思います。
裏技の解法を教えていただきたいです。

A 回答 (2件)

I(n,x) = ∫x^n*sin(x) dx としたとき、I(n,x) に関する良く知られた漸化式


I(n,x) = - x^n*cos(x) + n*x^(n-1)*sin(x) - n*(n-1)*I(n-2,x) --- (1)
を使えば、I(0,x) = ∫sin(x) dx = - cos(x) から、直ちに
∫x^2*sin(x) dx = I(2,x) = - x^2*cos(x) + 2*x*sin(x) + 2*cos(x)
となる!なんてダメでしょうね。式(1)を知っている人なんて普通いないですね。

∫x^2*cos(x) dx との関係も考えてみましたが、部分積分を2回使うのよりも簡単とは思えませんでした。
「x^2*sin(x) の積分」や「40秒で解ける」というのを、日本語と英語で検索しましたが、該当するものはありませんでした。
本当に裏技はあるのでしょうか。
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誠に遺憾ながら<裏>と聞くと、ときめいてしまいます。


しばらく、思考しましたが不明でHINTにと思い<表>をやってみました。
何と30秒もかかりません。
これより速いと言う事は、<一瞬にして>解が見える事になります。

蛇足ながら<表>を書いて置きます。
P=∫(x^2)sinxdx
=-(x^2)cosx+2∫xcosxdx
=-(x^2)cosx+2(xsinx+cosx)
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