２次関数（数I）

放物線ｙ＝ｘ２－４ａｘ＋２ｂ…(1)がｘ軸と異なる２点Ａ，Ｂで交わっている（ただし、ａ，ｂは定数）
(1)頂点の座標を求めよ。
(2)(1)が点(1/4,1/16)を通るとき、ｂをａを用いてあらわせ。さらにＡＢ＝２√３であるとき、ａの値を求めよ。
(3)２点Ａ，Ｂのｘ座標がともに０＜ｘ＜８を満たすような整数ａ，ｂの組の数を求めよ。このとき、Ａ，Ｂのｘ座標をそれぞれα、Βとすると、α＋Β＞８を満たすような整数ａ，ｂの値を求めよ。

(1)は
ｙ＝(x-2a)^2+2b-4a^2
より、頂点は(2a,2b-4a^2)と出ましたが、(2)と(3)がよく分かりません。
教えてください、よろしくお願いします。

No.1 回答者： kuruthiusu 回答日時： 2007/04/02 19:09

> １が点(1/4,1/16)を通るとき、bをaを用いて表せ

y = x^2-4ax+2b に x = 1/4, y = 1/16 を代入すると（途中省略）
0 = -a+2b なので・・・b = (1/2)a です。

> さらにAB = 2√3であるとき、aの値を求めよ
まず、上記で求めた b = (1/2)a を y = x^2-4ax+2b に代入。
y = x^2-4ax+a になる。次に、点Aと点Bの座標をaを用いて表す。
A,Bはx軸上なのでy = 0、またAB = 2√3なので頂点（x = 2a）より
√3を±して代入すると（途中省略）0 = -4a^2+a+3
つまり、(a-1)(4a+3) = 0となり a = 1または-3/4

(3)は(2)とは全く関係ないのですよね？

No.2 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/04/02 19:51

前回の投稿、お読みでしょうか。

出来たら学年も併記してください。
削除されるのが、見えていたので　ぶっきら棒な回答であった事をお詫びします。

念のため、加筆して投稿させて頂きます。
ーーー
＃０　ｆ（ｘ）＝ｘ＾２－４ａｘ＋２ｂ

＞ｘ軸と異なる２点Ａ，Ｂで交わってい・・・
と読んだ瞬間に→＜判別式が正＞とメモしましょう。

判別式は二通りの書き方がありますが
基本の方でかきます。最終的には同じ結果になりますので。
（びー自乗）ー（よん）（えー）（しー）て式です。ここでは、
（４ａ）＾２－４＊１＊（２ｂ）＞０　　となります。計算して後々のために、
＃１　【ｂ＜２（ａ＾２）】まで変形して置きます。

（２）
(1/4,1/16)を＃０に代入します。直ちに　
１/１６＝１/１６ーａ＋２ｂ　
【ａ＝２ｂ】　題意に合うように変形して　【ｂ＝（１／２）ａ】これを　＃０に代入すると、
＃２　ｆ（ｘ）＝ｘ＾２ー４ａｘ＋ａ　となります。この後が難解ですが、
＞ＡＢ＝２√３
＞Ａ，Ｂのｘ座標をそれぞれα、β
すなわち
|αーβ| ＝２√３　と書けます。両辺を自乗して＜解と係数の関係＞を使用できるように変形します。
（αーβ）＾２＝（２√３）＾２　
（α＋β）＾２ー４αβ＝１２・・・何故こうなるかは、考えて下さい。
　　　α＋β＝４ａ
　　　　αβ＝ａ　　　なので
１６（ａ＾２）－４ａ＝１２　　式変形して　
４（ａ＾２）ーａ－３＝０
（４ａ＋３）（ａ－１）＝０　　
　　　　【ａ＝１，－３／４】

（３）

次は＜解の分離＞と呼ばれる、高校生には不可避の問題です。
＃１００　　判別式　　　
＃２００　　軸
＃３００　　ｆ（ｘ）になにかを代入
全部使うかどうかの判断は訓練しかありません。グラフを書かないと意味不明です。
【本問題では＃２００は不要です。（難解）・・・・これはエラーです！！！！！　文末を、お読み下さい】
＃２０　ｆ（０）＞０
＃３０　ｆ（８）＞０　と判別式を使います。

ｆ（０）＝２ｂ＞０
ｆ（８）＝６４－３２ａ＋２ｂ＞０　　です。
すなわち
ｂ＞０
ｂ＞１６ａ－３２　　
ｂ＜２（ａ＾２）　　　準備しておいた判別式です。
連立の不等式に成ります。
ｘ軸、ｙ軸ではなくて、ａ軸、ｂ軸です。
さらに領域を明確にするために
放物線ｂ＝２（ａ＾２）と直線ｂ＝１６ａ－３２の交点　が必要です。
２（ａ＾２）＝１６ａ－３２　を解きます。計算すると重解となり、接すると判明します。
必ず鉛筆と消しゴムと計算用紙を準備して下さい。
ａ＝４　とでます。またｂ＝３２です。
とても描きにくい図なので、工夫してください。
三角形に似た形です。
領域の周は含まない事も要注意です。
＜格子点＞と呼ばれる問題です。上手い解法は本問題ではありません。
ひとつ、ひとつ吟味しながら判断します。
調べる範囲は限られています。
ａ＝１、２、３　だけで充分です。
ａ＝１のとき　ｂ＝１・・・・確かめながらです
ａ＝２のとき　ｂ＝１、２，３、４、５、６、７・・・（０、８は不要）
ａ＝３のとき　ｂ＝１７　のみ
　　　【計　９組】です。

条件　α＋β＞８　より　直ちに
　　　　　　　４ａ＞８
　　　　　　　　ａ＞２
つまり　ａ＝３　の時のみが解です。幸い一組だけです。
　　　【　（３、１７）　】　が　解です。

ＳＥＥ　ＹＯＵ

投稿直前で奇妙な事に気が付きました。
当方の、思い違いか、
領域が変です。
無数の格子点があるような気がします。
今は限界なので判明しましたら、ご報告させていただきます。

エラーが判明しました。
＃２００　　軸　　　は必要でした。

＞ｙ＝(x-2a)^2+2b-4a^2　より　軸の式は　ｘ＝２ａ　です。
０＜２ａ＜８
０＜ａ＜４
この条件が加わって、領域がひとつに限定されます。
ーーー

No.3 回答者： leap_day 回答日時： 2007/04/03 10:25

こんにちは

(1)は質問者様のまま
y = x^2 - 4ax + 2b
=(x - 2a)^2 + (2b - 4a^2)

頂点の座標　(2a , 2b - 4a^2)

(2) (1)が点(1/4,1/16)を通るとき→この点が放物線上にあるということなので　x = 1/4 , y = 1/16 を式に代入

1/16 = (1/4)^2 -4a * (1/4) + 2b
(全体に16をかけて）
1 = 1 - 16a + 32b
32b = 16a
b = a/2

図が描ければ分かりやすく説明できるのですが・・・
点Aの座標は頂点から p マイナスしたところの点ですので　A(2a-p,0)
点Bの座標は頂点から p プラスしたところの点ですので　B(2a+p,0)
頂点からｙ軸に平行に引いた線とｘ軸との交点を O とすると　O(2a,0)
　A　　　　　　O　　　　　B
－○－－－○－－－○－－(←ｘ軸)
　　　　←ｐ→　　←ｐ→
　　　　　　　　● (←頂点 (2a , 2b-4a^2) )

AB = AO + BO = |(2a+p)-2a| + |2a-(2a-p)| = 2√3
AOとBOの長さは同じなので　AO = √3

したがって　|2a-(2a-p)| = √3
|p| = √3

なので点Aの座標は(2a-√3,0) , 点Bの座標は(2a+√3,0)となります
この点が放物線上にあるので

0 = { (2a + √3) - 2a }^2 + (a - 4a^2)
(計算を楽にする為に(1)で導いた式を使っています
(2)の初めにb=a/2としたのでそれを代入)
0 = 3 + a - 4a^2
4a^2 - a - 3 = 0
(4a + 3) (a - 1) = 0
a = 1 , -3/4

(3)
0 < 2a < 8 (頂点のx座標が0より大きく8より小さい)
2b - 4a^2 < 0 (頂点のｙ座標は0より小さい)
f(0) = 2b > 0 (x=0のときy座標は0より大きい)
f(8) = 64 - 32a + 2b > 0 (x=8 のときｙ座標は0より大きい)


したがって
0 < a < 4
16a - 32 < b < 2a^2　かつ　0 < b

故に　a = 1 , 2 , 3

a = 1 のとき　
-16 < b < 2　かつ　0 < b
したがって　0 < b < 2 となり　b = 1

a = 2 のとき
0 < b < 8　かつ　0 < b
したがって　b =1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

a = 3 のとき
16 < b < 18　かつ　0 < b
したがって　b = 17

(2)の考え方のようにして
A(2a-p,0) , B(2a+p,0)
α = 2a - p , β = 2a + p
α + β = 4a > 8
a > 2

したがって　a = 3 , b = 17

※正規でやるとしたらNo.2の回答者様のようなやり方だと思います
あくまでも別解として御覧ください（＾＾）