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高校生で数IIICを習っています。

y=x^a (aは実数)の導関数はy´=ax^(a-1)

y=x^xの導関数はy´=(1+logx)x^x

これはともに別々で考えたときはわかるのです。(対数微分法を使うとか)

しかし、
log[a]x^b=b(log[a]x) (bは定数)
log[a]x^x=x(log[a]x)

この二つでは、前者と後者は定数と変数という違いがあるのに同様に成り立つのに、先に述べた導関数では同様の仕方では成り立ちません。
そもそも、考えをごちゃまぜにしているようなのですが、この違いが生まれる理由を、できれば教科書に載っている定義を超えずに、数学的に厳密に説明してほしいです。お願いします!

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A 回答 (3件)

対数関数であれば、logM^n = nlogMは、一般的に成立します。


x^x、x^aを対数にする場合は、x,aは変数か定数を区別することなく、どちらも、数字を表現する文字式と見なして上の公式に当てはめているものだと考えればよいのではないでしょうか。

だが、微分の場合はある変数に対して行うものであるので、定数と変数の区別はかなり重要です。例えば、sin(a)をxで微分すると、sin(a)は単なる定数なので、0になりますが、sin(x)の場合はcosxとなり、これは大きな違いになりますね。

なので、y = (x^a)'= ax^(a-1)の場合は、xが変数、aは定数という制約のもとで成立する公式です。よって、y=(x^x)の場合、

y = (x^x)' = x*x^(x-1)

のような(x^a)'=ax^(a-1)の公式に当てはめた微分はできません。(ただし、z = x^yをxで偏微分をする時など、yを定数と見なして微分する事はあります。)

だが、以下のようにすれば、

y = (f(x)^g(x))
log y = logf(x)^g(x) = g(x)logf(x)
(log y)' = (g(x)logf(x))' = g'(x)logf(x) + g(x)f'(x)/f(x)
y'/ y = g'(x)logf(x) + g(x)f'(x)/f(x)
y'=(f(x)^g(x))' = {g'(x)logf(x) + g(x)f'(x)/f(x)}f(x)^g(x)

○^△のタイプの関数を微分する時の一般的な公式が出来上がります。
上式は、任意の微分可能な関数f(x),g(x)に対して成立します。
ちなみに、x^aの場合は、f(x) = x , g(x) = aを、
x^xの場合はf(x)=x , g(x) = xを当てはめればそれぞれの導関数が導出されます。

話はそれますが、x^a,a^xなど一見似ているような式でも、微分法は全く異なりますし、前者は多項式関数、後者は指数関数と,関数の種類そのものが全く異なるという点に関しては面白いところですね。
だから、微分の場合は文字式が似たような形式であっても、それらが定数か変数かによって、先述のように、関数自体も大きく変わり、関数が違えばグラフの形式が全く異なるため、導関数もまったく異なってしまうのも、頷ける話ではないでしょうか。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
ちょっと形が似ているからといって、いっしょに思い込んでしまったのかもしれません。
このような説明を聞いて、なんとなく思い込みがほぐれてきました。ありがとうございました。

お礼日時:2007/04/06 14:01

log[a]x^x=x(log[a]x)


(x^x)'=(1+logx)x^x
というように等式で書くとわかりづらいですが、2つ目の式には微分の計算式が省略されています。
ちゃんと書くと
lim[h→0]{(x-h)^(x-h)-x^x/h}=(1+logx)x^x
となります。
極限をとるときに変数であるかないかによって出てくる答えが異なることは言うまでもありません。
この極限をとる操作はlog[a]x^x=x(log[a]x)の式には含まれていません。

今回の場合、(x^a)'=ax^(a-1)という公式にもlimが隠れているので、変数か変数でないかという判断が必要になります。
つまり、公式は公式でもその中に演算子(d/dx,lim,Σなど)が含まれていると、使う際に注意が必要だということです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
極限をとるかとらないかという操作を考えないといけないのですね。
少しずつですが、わかってきました。ありがとうございました。

お礼日時:2007/04/06 13:32

>> log[a]x^b=b(log[a]x)


>> log[a]x^x=x(log[a]x)
この式が成り立つのは log の公式どおりですね.ところが右辺で違うところは,
 ・y = b log[a] x は,関数 y = log[a] x の定数倍
 ・y = x log[a] x は,関数 y = x と 関数 y = log[a] x の積
ということです.
 
前者では,たとえば,
  y = 3 sin x
という関数式を微分するとき,これは y = sin x という関数を微分する手順とほぼ変わりありませんね.ただ定数 3 がかかっただけです.導関数は当然 y' = 3 cos x ですね.
一方後者では,
  y = x sin x
のような関数を微分するのと同じ考え方が必要になります.積の微分法です.それを用いて,
  y' = (x)' sin x +x (sin x)'
    = sin x +x cos x
のように導関数を求められるのですね.
 
ところで,この二者のどこが違うかということをよく考えてみましょう.実は,どちらも根本的には同じなのです.前者の定数倍 3 のところを,
 ・y = 3 sin x は,定数関数 y = 3 と 関数 y = sin x の積
として考えてみると,定数 3 を微分すると 0 ですから,積の微分法より,
  y' = (3)' sin x +3 (sin x)'
    = 3 cos x
となって正しいですね.
 
結局,定数倍の関数の微分というのは,突き詰めて考えてみれば,積の微分法で 0 がかかるところをすっ飛ばしたものと見ることができます.
ですから本題の,
  y = b log[a] x
を微分する際にも,
  y' = (b)' log[a] x +b (log[a] x)'
として計算して,b が定数だと分かっているから (b)' = 0 として計算して,
  y' = b (log[a] x)'
    = b/(x log a)
となるわけです.むろん y = x log[a] x の微分のほうは,素直に積の微分法を使うしかないですね.
 
というわけでまとめると,結局,違いはありません.ただ定数 b 倍のほうは (b)' = 0 だから積の微分で y' を求める際の第 1 項が消えてなくなってしまう,というだけの話です.
以上,厳密だったかは自信がありませんが,このような説明でどうでしょうか.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
うーん、でも、こちらが疑問をしっかり伝えられなかったのか、ちょっと疑問が解決するに至らないようです…。
しかし、これからもぜひ、回答を続けていってください!ありがとうございました。

お礼日時:2007/04/06 11:24

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