高１の数学 交代式と対称式

高１の数学Iの教科書の

a^2(b-c)＋b^2(c-a)＋c^2(a-b)について、aとｂを入れ替えて、この式がa,bについての交代式であることを示せ。

という問題の意味がわかりません。とくにどうやって交代式であることを示す方法がわかりません。

また、同じページにある、

次の式はa,bについての対称式であることを示せ

という問題もわかりません。

交代式と対称式を示す方法と、上の問題について教えてください。
よろしくお願いします。

No.7 回答者： kabaokaba 回答日時： 2007/04/15 13:06

＃まだ締め切られてなかったんですね

>＜交代式＞が冷遇される理由は、＜対称式＞の応用範囲の広さに反し＜交代式＞は

交代式は「差積」と対称式の積になる，それだけの理由でしょう
そして「差積」は行列式の定義で立派に生きてます．

>＜＃１だけで十分のはずですが、上手く説明できません、下手すると逆効果になるので、不本意ながら３回やります。＞

私がP(a,b)のように「二文字」だけにしたのは
問題が「a,bについての交代式」とあったのと
三文字以上の交代式では定義が煩雑だからです．
つまり「＃１」だけでは不十分です．

一般に n 文字の多項式P(a1,a2,...an)が交代式であるとは
次のように定義されます．
以下でSnはn次の置換群です．
Snの任意の元sに対して，
P(as(1),as(2),...as(n))=sgn(s)P(a1,a2,...,an)
ここで，as(i)はa1,...,anのうちで添え字がs(i)であるもの，
sgn(s)はsの符号です．
＃・・って。。この時点でさらに説明しなければいけない
＃言葉が山盛り・・・3文字に限定してもやっかい

つまり，P(a,b,c)が交代式であるとは
3文字の入れ換え「すべて」に対してチェックが必要です．
たとえば。。。
P(a,b,c)=(a-b)c^2
はaとbに対しては「交代」ですが，
a,b,cに対しては交代ではありません．

No.6 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/04/08 07:09

ーーーー

こんにちは、

＜交代式＞

　実に久しぶりに出会いました。教科書には通常記載されないようです。＜第一学習社＞に記載がある事を知って、聊か驚いています。参考書も、記載はされていても少量のようです。当方が貴殿と同じ年代の頃は、教科書には記載はなくとも参考書には明確に記載がありました。

　＜交代式＞が冷遇される理由は、＜対称式＞の応用範囲の広さに反し＜交代式＞は、＜因数分解＞ぐらいにしか出現せず、また＜因数分解＞ですら＜交代式の概念＞が＜絶対的に必要＞では無いからです。

　Ｑ＝(a^n)(b-c)＋(b^n)(c-a)＋(c^n)(a-b)として
ｎ＝３、４、５　などを計算して、喜んでいたのを思い出します。
因数分解では、(a-b)が因数ならば(b-c)も(c-a)も因数となり、Ｑの正負は適切に調整すれば良い。その程度の認識で充分でした。しかし、某有名高校では＜交代式＞を駆使した授業が展開されている事を知り、これまた驚きました。
ーーー
　さて＜交代式＞の定義ですが、＜Ａ、Ｂ、Ｃ、・・・のどの二つを入れ替えても元の式と正負飲みが異なる時、これを交代式と呼ぶ＞です。
http://www.suriken.com/knowledge/glossary/altern …
　実際上は文字はＡ、Ｂ、Ｃの３個の場合にしか出会った事がありません。

ご質問の
Ｐ＝a^2(b-c)＋b^2(c-a)＋c^2(a-b)においては
＃１　a、b　の交換
＃２ b、c　の交換
＃３ c　a　の交換を実行して、結果がーＰとなれば完了となります。
＜＃１だけで十分のはずですが、上手く説明できません、下手すると逆効果になるので、不本意ながら３回やります。＞
＃１
Ｐ’＝(b^2)(a-c)＋(a^2)(c-b)＋(c^2)(b-a)
＝ー(b^2)(c-a)ー(a^2)(b-c)ー(c^2)(a-b)
＝ー(a^2)(b-c)ー(b^2)(c-a)ー(c^2)(a-b)＝－ＰでＯＫ
ゴメン＃２、＃３もやるつもりでしたが余り意味がないので止めます。
ーーー
　＜対称式＞については文字Ａ、Ｂの二つの時、とＡ、Ｂ、Ｃの時に限定して書きます。
定義自身はＮ個の文字に関する整式Ｐにおいて、どの二つを交換してもＰとなる、のはずです。定義は明白なので余り意識したことがありません。
　＜全ての対称式は基本対称式で表せる＞の方が重要です。基本対称式のみ記して締めます。
文字Ａ、Ｂの時の基本対称式は
　Ａ＋Ｂ、ＡＢ　のふたつです。
文字Ａ、Ｂ、Ｃの基本対称式は
　Ａ＋Ｂ＋Ｃ、ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ、ＡＢＣのみっつとなります。
ｗｗｗこれは
　Ａ＋Ｂ＋Ｃ、ＢＣ＋ＣＡ＋ＡＣ、ＡＢＣ　と記した方が美しいです。応用は自然に身につきます。

あっと
対称式であることを示すには
Ｒ＝b【(a-c)^2】＋a【(c-b)^2】＋c【(b-a)^2】　とでも置いて
＃１　a、bの交換　＃２ b、c　の交換　＃３ c、aの交換を実行して
＃１　a、b　の交換は
Ｒ’＝a【(c-b)^2】+b【(a-c)^2】+c【(b-a)^2】
＝b【(a-c)^2】＋a【(c-b)^2】＋c【(b-a)^2】＝Ｒ
これは、さすがに此れで充分とは思いますが、大した手間も掛からないので、もう２回実行すれば無難ですが、
便利な言葉＜同様に　＃２ b、cの交換＃３ c、aの交換も成立＞でＯＫかと・・・

ＳＥＥ　ＹＯＵ
ーーー

No.5 回答者： noname#34242 回答日時： 2007/04/07 15:18

lmmさん、kabaokabaさんへ

本当に申し訳ありません。久しぶりに数学をやったもので（←言い訳）。

ただ、kabaokabaさんの書き込みを読んでやっと理解できました。その上で、
あえて言えば、NO3の、

「元の式の符号を変えた式になります。これを交代式というのではないでしょうか？」

は、kabaokabaさんのNO4「aとbについての多項式P(a,b)が交代式であるとはP(a,b)=-P(b,a)」と同じことを言いたかったわけです（舌足らずですが）。

つまり、「a^2(b-c)＋b^2(c-a)＋c^2(a-b)…(A)」が交代式であるとは、式(A)のaとbを入れ替えた式を式(B)とした場合に、(B)＝－(A)（あるいは(A)＝－(B)）になることを言うのでは？ということです。この点は間違っていないと思います。すなわち、

a^2(b-c)＋b^2(c-a)＋c^2(a-b)…(A)

上の(A)でaとbを入れ替えると、

b^2(a-c)＋a^2(c-b)＋c^2(b-a)…(B)

になります。これを式変形していくと、

(B)
＝b^2(a-c)＋a^2(c-b)＋c^2(b-a)
＝a^2(c-b)＋b^2(a-c)＋c^2(b-a)　←項の順番を入れ替えただけ
＝－a^2(b-c)－b^2(c-a)－c^2(a-b)　←(*)
＝－[a^2(b-c)＋b^2(c-a)＋c^2(a-b)〕
＝－(A)

よって、(A)はaとbの交代式である、ということです。

お詫びの印に、(*)の最初の項について少し丁寧に説明すると、

a^2(c-b)＝a^2(-b＋c)＝a^2[-(b-c)]＝a^2(-1)(b-c)＝(-1)a^2(b-c)＝-a^2(b-c)

ということです。

★おそらくlmmさんは中学を卒業したばかりで高校の宿題を解いているのでは？教科書を読んでも、あまり明確にはわからないような気がします。(*)は基本的な式変形ですが、中学卒業の段階では慣れていなくても無理はない気がします。P(a,b,c)と言った数学記号も未習ではないでしょうか。また、３文字以上の式の因数分解も習っていないと思います。
その上、私がよく理解もせずNO2の回答をしたので、lmmさんを混乱させているままではないか、と思って書きました（←言い訳かもしれない）。
もし、混乱するようでしたら、無視してください。もうこれ以上は回答を控えます。

最後にもう一度、理解もせず回答して申し訳ありませんでした。反省しています。

この回答へのお礼

いえいえ
あらかじめ私が新高校一年生であることを書いておくべきでした、すみませんでした。あまり気にしないでください。

お礼日時：2007/04/07 16:42

No.4 回答者： kabaokaba 回答日時： 2007/04/07 14:20

交代式・対称式であることを示せ

という問題が教科書にあるのであれば
かならず教科書にその定義があります．
それに従えばいいだけの話なんです．

そもそも
「aとｂを入れ替えて、この式がa,bについての交代式であることを示せ」
とあるので，その通りに計算すればよいだけのことです．
やってみましたか？

ちなみに定義は以下のような感じ．

aとbについての多項式P(a,b)が対称式であるとは
P(a,b,c)=P(b,a)
であることをいう．つまり，「文字を交換しても同じ式になる」こと．
一番基本的な例は，a+b，ab（これらを基本対称式という）．
性質は，任意の対称式は基本対称式の多項式で表せること．

aとbについての多項式P(a,b)が交代式であるとは
P(a,b)=-P(b,a)
であることをいう．つまり，
「文字を交換すると符号が反対になる」こと．
一番基本的な例は，a-b
性質は，任意の交代式は，a-bと対称式の積で表せること．

注意しなければいけないのは
この問題が「a,bについての」とあること．
cについては一切考慮しなくていいのです．

No.2さんは大分混乱しているようで・・・
a^2(b-c)＋b^2(c-a)＋c^2(a-b) （=P(a,b)とおく）
が，a,bについての交代式であることを示したければ
P(b,a) = b^2(a-c) + a^2(c-b) + c^2(b-a)
= - b^2(c-a) - a^2(b-c) - c^2 (a-b)
= - ( a^2(b-c)＋b^2(c-a)＋c^2(a-b) )
= -P(a,b)
とするだけです．
もっともこの式は簡単に因数分解できるので
因数分解してから示すのもありです．
a^2(b-c)＋b^2(c-a)＋c^2(a-b) = (a-b)(c-a)(c-b)
こうすると，a，bについて交代式なのは明らかです．

＃「因数分解するな」とは書いてないので，
＃因数分解してから「入れ替え」ても
＃「入れ替え」たことには変わりません．

No.3 回答者： noname#34242 回答日時： 2007/04/07 12:43

NO2です。

すいません。交代式について理解していませんでした。NO2は対象式についての説明です。

交代式については、よくわかりません。すいませんでした。
ただ、「a^2(b-c)＋b^2(c-a)＋c^2(a-b)」の式を、aとbを入れ替えてみると、

b^2(a-c)＋a^2(c-b)＋c^2(b-a)
⇒a^2(c-b)＋b^2(a-c)＋c^2(b-a)
⇒－a^2(b-c)－b^2(c-a)－c^2(a-b)
⇒－[a^2(b-c)＋b^2(c-a)＋c^2(a-b)〕

のように、元の式の符号を変えた式になります。これを交代式というのではないでしょうか？

とのかく、混乱させてすいませんでした。

No.2 回答者： noname#34242 回答日時： 2007/04/07 12:19

たとえば、

２a＋２b＝５…(A)

の方程式を考えて見ます。この式の答えは無限にありますが、たとえば「a＝２、b＝１／２」などがあります。あるいは、「a＝３、b＝－１／２」でもOKですね。

ところが、いま２組の解を挙げましたが、これらのaとbを入れ替えて、
「a＝１／２、b＝２　」「a＝－１／２、b＝３」としても、問題なく(A)の解になります。なぜか？それは、(A)の左辺の式を見ればわかります。つまりaもbも係数が同じ「２」です。そして、交換法則により、「2a」と「2b」を入れ替えても同じだからです。

２a＋２b＝２b＋２a

これが、「３a＋２b」ならこうは行きません。「３a＋２b＝７」の解のひとつに「a＝1、b＝２」がありますが、「a＝２、b＝１」は解にはなりません。

(A)の方程式の左辺のような式を対称式、あるいはaとbの交代式と言います。証明の仕方は、元の式を展開したものと、aとbを入れ替えたものを展開して、両者が同じなら証明終わりです。

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2007/04/07 12:11

教科書を読む

それで解決．

==============
>高１の数学Iの教科書の

どこの出版社？同一の出版社でも複数の
「高校数学I」の教科書を出すことだってある．

この回答への補足

教科書は

第一学習社　高等学校数学I　１８３　第一　数I０３４
です。

補足日時：2007/04/07 12:19