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曲面x^2+y^2-9z^2=2
に点P(3,2^(1/2),1)で接する平面の式を求めよ。
と言う問題です。

純粋な球ではなく、zが引き算になっているところで頭の中が固まってしまっています。

解決のヒントがわかる方がいたら、ヒントを教えてください。

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A 回答 (4件)

曲面は鼓(つづみ)を立てた様な形状になります。


垂直面で切断すれば切断面は双曲線(原点を通る切断では原点で交差する2直線)、水平面で切断すれば切断面は円になります。
接平面の式の導出は参考URLに載っています。
接平面の公式は
曲面z=f(x,y) の点 P(x0,y0,z0)における,接平面の式が
  z-z0=fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0)---(1)
であることを使います。fx,fyはそれぞれfのx,yの偏微分です。
P点がz>0の領域にあることから
(x0,y0,z0)=(3,√2,1)
z=f(x,y)=(1/3){(x^2)+(y^2)-2}^(1/2)
fx=(1/3)2x{(x^2)+(y^2)-2}^(-1/2)
fy=(1/3)2y{(x^2)+(y^2)-2}^(-1/2)
fx(x0,y0)=fx(3,√2)=1/3
fy(x0,y0)=fy(3,√2)=(√2)/9
(1)式に代入して接平面の式
z=(x/3)-(2/9)+(√2)(y/9)
が得られます。
(数学ソフトMaple10で3次元プロットしてみましたがP点で曲面に接していることを確認してみましたが、P点での接平面になっていましたので合っていると思います。)

参考URL:http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/459_ …
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この回答へのお礼

円の例に引き戻して、考えたら、大変よくわかる考え方でした。
偏微分を利用するアイデアにとても感心しました。

お礼日時:2007/04/19 15:06

名称は、一葉双曲面


http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E6%AC%A1% …
http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathCurves …
結果は
二次曲線AX^2±BY^2=1の接線の方程式と同形になり、
3X+√2Y-9Z=2 です。
導出過程は、次のURLに
(((x^2)+(y^2)-2)/9)^(1/2)   3    2^(1/2)
を代入して下さい。
http://webmath.ecip.osakac.ac.jp/webMathematica/ …
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この回答へのお礼

web上にいろいろそろえてあることに、感心しました。
純粋な球で同じことをやってみて、考え方を確かめました。
ありがとうございます。

お礼日時:2007/04/19 15:12

すみません。

局面とありますのは、曲面の誤りです。
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その点の法線を求め、同じようにその点を通り、同じ法線を持つ平面を作ればよいのではないかな、と思います。


法線は、局面あるいは平面が、F(x,y,z)=0であらわされるとき、
(Fx,Fy,Fz)であらわすことができます。Fxは関数Fをxで偏微分したものです。
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